2017中考复习：数与式

第一章数与式

第一章教与式

第1讲实数及其运算

2012~2014年安徽中考命

2015年安徽中考命题预测

题分析

预测2015年安徽省中考仍

将主要考查：有理数、数轴、

相反数、绝对值、平方根、

算数平方根、立方根、无理

数、实数、近似数等的相关

概念；有理数的加、减、乘

方运算；有理数的大小比

较，用科学记数法表示数

等.题型多以选择题、填空

题为主，偶尔也有解答题出

现，但难度都属于基础题的

要求.科学记数法、实数的

运算，都是安徽中考的重点

考查对象，要求考生熟练掌

握.

题分

年份考察内容题型

号值

2014

有理数的乘法选择题14

科学记数法填空题115

2013

倒数选择题14

科学记数法选择题24

2012

有理数的加法选择题14

科学记数法填空题115

自主学习夯实基础____

qr要占,梳理

1•实数的有关概念

(1)数轴：规定了_原点一，一正方向一和一单位长度一的直线叫做数轴，数轴上所有

的点与全体—实数——对应.

(2)相反数：只有_符号一不同，而一绝对值一相同的两个数称为互为相反数.a，人互

为相反数0。+〃=0.

(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的，叫做这个数的倒数.a，b互为倒

数㈡出>=1.

(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的3离，叫做这个数的绝对值.

(a-(<2>0)

闷=10,(a=0)

—g>(a<0)

同是一个非负数，即㈤》0.

(5)科学记数法，近似数：

科学记数法就是把一个数表示成土aXIO"(lWa<10，〃是整数)的形式；一个近似

数，一四舍五入一到哪一位，就说这个数精确到哪一位.

(6)平方根，算术平方根，立方根：

如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作x=£a；正数a的正的平方根，叫做这

个数的算术平方根；如果丁=。，那么x叫做a的立方根，记作尸般.

(7)识记:

112=，12?=>132=-142='152=-162

=>172=，182=，192=，202=，212=

，222=，232=,24?=,25?=.

13=，23=，33=>43=-53=，63=

，：3=，>93=，］。3=.

2•实数的分类

按实数的定义分类：

有理数有限小数或无限循环小数

实数〈

无理数.|正诟无氤理悭数限］不循环小数

'正实数

根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数(零

.负实数

3■零指数幕，负整数指数鬲

任何非零数的零次幕都等于1-即4°=13r0）:任何不等于零的数的一。次嘉，等

于这个数p次暴的倒数，即，〃为止整数）..

4■实数的运算

实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算.加减.，如果有括号，

先算_小括号一，再算一中括号一，最后算一大括号一，同级运算应一从左到右依次进行..

学法卷导：

五种大小比较方法

实数的大小比较常用以下五种方法：

（1）数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

（2）代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大

的数反而小.

（3）差值比较法：设〃，力是两个任意实数，则：a-b>o^a>b;a-b=O=^a=b:a-b

<O^a<b.

（4）倒数比较法：若（>[1«>0，h>0，则a<b.

（5）平方比较法：•.•由a>b>0，可得如>福，工可以把也与福的大小问题转化成比较

〃和。的大小问题.

qc三年中考》

1•（2014•安徽）（-2）X3的结果是（C）

A•15B.1C.一6D.6

2・（2013•安徽）-2的倒数是（4）

A•—3^2C,2D.~2

3•（2012•安徽）下面的数中，与一3的和为0的是（A）

A-3B.-3C.1D.

4•（2014•安徽）据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中

25000000用科学记数法表示为2.5义1（）7.

5•（2012•安徽）2011年安徽省棉花产量约37800吨，将37800用科学记数法表示应是

3.78X10」.

归类探究考点呈现_______________________________________________

考点i►实数的分类

[例1]（2014•合肥模拟）实数乃，卜0,一1中，无理数是（A）

A•nC.0D.-1

【点评】判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见

的无理数共分三种类型：（1）化简后含〃（圆周率）的式子；（2）含根号且开不尽方的数；（3）有

规律但不循环的无限小数.掌握常见无理数类型有助于识别无理数.

对应训练而彳玩国举二发h;

1•⑴（2013•安顺）下列各数中-3.14159，一诋，0.131131113…，一万，叵，一物理

数的个数有（B）

A•1个B.2个C.3个D4个

（2）（2014•安庆模拟）下列各数中，为负数的是（B）

4•0B.-2C.1

考点》实数的运算

【例2】（2014•重庆）计算：V4+（-3）2-2014°X|-4|+（1）

解：原式=2+9—1X4+6=11-4+6=13

【点评】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重

要的.

对应训练…红还亩…第二

□

2•（2014•东营）计算：（一1严4+（应“30。尸+（匚后）。一|31+83x（—0.125）3.

解：原式=1+2+1—3^2+3—1=6-3^2

考点》科学记数法与近似值、有效数字

【例3】（1）（2014•芜湖模拟）餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，

舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这

个数据用科学记数法表示为（A）

A-5Xl（）i°千克B.SOX/千克

C-5X1（）9千克£）.0.5X10“千克

（2）下列近似数中精确到千位的是（C）

A-90200B.3.450X102

C-3.4X104D.3.4X102

【点评】（1）科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n

的值时，把大数的总位数减1即为n的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0"

的个数（含小数点前的那个"0"）即为n的值；（2）科学记数法写出这个数后可还原成原数进行

检验；（3）用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断.

对应训练印时巩固举一反三：：

3•(1)近似数2.5万精确到±位.

(2)(2014•内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为(C)

A-4X106B.4X106

C-4X10-5D.4X105

考点3与实数相关的概念

【例4】(1)(2014•河北)—2是2的(B)

A•倒数B.相反数C.绝对值D.平方根

(2)已知⑷=1，⑸=2，|c|=3，且。>b>c，那么a+b-c=2ag0.

【点评】(1)互为相反数的两个数和为0:(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值

是它的相反数，。的绝对值是0:(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.

对应训练,百分无山…系二爱工二：

I111

?・8-

-_2-_2

(-1)°=_!_;(-1)~1=--2—-

(2)若ah>0,则号+卑一鬻的值等于1或一3..

考虑。数轴

【例5】(2014•呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中

正确的是(。)

aboc

A-ac>bcB.|a—b|=a—b

C•-a<_b<cD.—a-c>-b-c

【点评】数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反

数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减

大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号.

对应训练…冠.亩…率二值二:

5•(1)(2014•蚌埠模拟)在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对

应的实数分别是小和一1，则点C所对应的实数是(。)

BAC

iiii

-1073

A-1+^3B.2+小C.2A/3-1D.2小+1

（2）（2014•宁夏）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（D）

-2-1012

A•a+b=0B.b<a

C-ab>0D.|b|<|a|

考点@实数的大小比较

【例6】（1）（2014•绍兴）比较一3，1，一2的大小，下列判断正确的是（A）

A--3V-2VlB,-2<-3<l

C-l<-2<-3D.l<-3<-2

⑵（2014•河北）a，b是两个连续整数，若a<巾<b，则a，b分别是（A）

A-2'3B.3,2C.3,4O.6,8

【点评】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行.

对应训练而诃灰山第二££二：

6・（1）（2014・阜阳模拟）比较大小：—2—3.

（2）比较2.5，-3-市的大小，正确的是（A）

A•一3V2.5〈市B.2.5V-3〈市

C-3〈币<2.5。.市<2.5<—3

C请完成考点跟踪突破多

---------——

第2讲整式及其运算

2012〜2014年安徽中考命

2015年安徽中考命题预测

题分析

预测2015年安徽省中考

仍将主要考查：用字母表

示数，代数式的实际背景

或几何意义，求代数式的

值，代数式的分类，整式

力口、减、乘、除运算，运

用乘法公式进行计算，整

数指数募的简单计算，这

里要重点指出的是用字母

表示数中渗透合情推理思

想，它是安徽中考的一个

重点，同时也是难点，要

求复习时重点突破.

题分

年份考察内容题型

号值

2014

乘方运算选择题24

整式加减解答题158

2013整式运算选择题44

2012

乘方运算选择题34

代数式的表示选择题54

整式加减解答题158

自主学习夯实基础

要点梳理｝;■

1•单项式：由一数与字母一或_字母与字母一相乘组成的代数式叫做单项式，所有字

母指数的和叫做—单项式的次数—，数字因数叫做―单项式的系数—.单独的数、字母也是

单项式.

2•多项式：由几个单项式相加.组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项

的次数叫做这个.多项式的次数一，其中不含字母的项叫做常数项一.

3•整式：单项式和多项式统称为整式.

4•同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同

类项.

5­鬲的运算法则：

(1)同底数基相乘：

a"1•an=am+n(m，n都是整数，a#0):

(2)基的乘方：

(am)n=ag(m，n都是整数，a#0):

(3)积的乘方：

(ab)n=an•lAn是整数，a¥。，bWO)；

(4)同底数基相除：

an-a』amf(m，n都是整数，aNO).

6•整式乘法：

单项式与单项式相乘，把系数、同底数基分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含

有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘多项式：m(a+b)—ma+mb：

多项式乘多项式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

7■乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2:

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

8•整式除法：

单项式与单项式相除，把系数、同底数基分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里

含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，将这个多项式的每一项

分别除以这个单项式，然后把所得的商相加.

qc学乐指导：

一座“桥梁”

用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学习的基础，用字母表示数能够简明

地表示出事物的规律及本质特征.只有借助字母，才能把一些数量规律及数量更简洁、准确

地表示出来.用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的

限制性.

二种思维方法

法则公式既可正向运用，也可逆向运用.逆向运用和灵活变式运用既可简化计算，又能

进行较复杂的代数式的大小比较.当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用，可起到化难为

易的功效.

△at三年中考，-

1•(2014•安徽*-x4=(»)

A-x5B.x6C.x8D.x9

2•(2013•安徽)下列运算正确的是(8)

A-2x+3y=5xyB.5m2,m3=5m?'

C-(a—b)2=a2—b2D.m2,m3=m6

3•(2012•安徽)计算(-2x2)3的结果是(3)

A--2x5B.-8x6

C--2x6D.-8x5

4•(2012•安徽)某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比

4月份增加了15%，则5月份的产值是(8)

A♦但一10%)3+15%)万元

B-a(l—10%)(1+15%)万元

C♦(a—10%—15%)万元

D•a(l—10%—15%)万元

5(2014•枣庄)如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2)，

将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(C)

2a

A-a2+4B.2a2+4a

C-3a2-4a—4D.4a2-a-2

归类探究

考点@整式的加减运算

[例1](1)(2014•邵阳)下列计算正确的是(A)

A-2x—x=xB.a3,a?=a6

C•(a-b)2=a2-b2D.(a+b)(a-b)=a2+b2

(2)(2014•威海)已知x?—2=y，则x(x—3y)+y(3x—1)—2的值是(B)

A--2B.0C.2D.4

【点评】整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没

有同类项，就是最后的结果.

对应训练方*一百事二注二:

1・(1)(2014•威海)下列运算正确的是(C)

A-2x2-rx2=2xB.(-%b)3=-

C-3X2+2X2=5X2D.(X-3)3=X3-9

(2)(2014•厦门)先化简下式，再求值：(f2+3—7x)+(5x—7+2x2),其中乂=也+1.

解：原式=x?—2x—4=(x—1)2—5，把X=A/2+1代入原式，原式=(也+1—1)?—5=

-3

考点》同类项的概念及合并同类项

[例2]若一4x5+x2yb=13x?y，贝lja+b=3.

【点评】(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相

关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并.

对应训练与啄a年二又三二:

2•(2014•淮南模拟)已知京1口父与一*3丫2n是同类项，则(mn严。的值为(C)

A-2010B.-2010C.1D.-1

考点目索的运算

【例3】(1)(2014•济南)下列运算中，结果是a5的是(A)

A•a3,a2B.a104-a2

C-(a2)3D.(-a)5

(2)Q014•芜湖模拟)计算道尸+(a2)2的结果是(B)

A•aB.a2C.a3D.a4

【点评】(1)幕的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运

算的类型，正确运用法则；

(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理.

3寸应训练

3•⑴(2014•新疆)下列各式计算正确的是(。)

A-a2+2a3=3a5B.(a2)3=a5

C-a6-ra2=a3D.a,a2=a3

(2)(2014•随州)计算(一为2)3，结果正确的是(5)

A.1x2y4B.—|x3y6

C.1x3y6D.—|x3y5

考点E＞整式的混合运算及求值

【例4】(2014•绍兴)先化简，再求值：a(a—3b)+(a+b)2-a(a—b)，其中a=l，b=—

1

2,

解：原式=a?-3ab+a?+2ab+b2—a?+ab=a2+b2=1+[=/

【点评】注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，

另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算.

对应训练而诃4后举二友三；

4《2014•合肥模拟)化简2[(m—l)m+m(m+l)][(m—l)m—m(m+l)]，若m是任意整数，

请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？

W：2[(m—l)m+m(m+l)m—m(m+1)]=2(m2—m+m2+m)(m2-m—m2-m)

=—8n?.原式=(-2m)3，表示3个一2m相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等

考点及乘法公式

【例51(2014・芜湖模拟)如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小

正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形.

(1)设图①中阴影部分面积为Si，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式

表小S1和S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.

(l)Si-a2-b；S2=1(2b+2a)(a—b)=(a+b)(a—b)

(2)(a+b)(a—b)=a2—b2

【点评】(1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：

®a2+b2=(a+b)2-2ab：

②a2+b?=(a—b)2+2ab:

@(a+b)2=(a-b)2+4ab;

④(a—b)2=(a+b)2—4ab.

注意公式的变式及整体代入的思想.

(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的

原则.

对应训练j

5•⑴整式A与m2—2mn+n2的和是(m+n/，则A—4mn.

(2)(2014•广州)已知多项式A=(x+2y+(l-x)(2+x)-3.

①化简多项式A；

②若(x+1/=6，求A的值.

解：©A=(x+2)2+(l—x)(2+x)—3=x2+4x+4+2—2x+x—X2—3=3x+3

②(X+1)2=6,则x+l=±^，二A=3x+3=3(x+l)=±3#

U二请完成考点跟踪突破

笫3讲因式分解

2012〜2014年安徽中考命题

2015年安徽中考命题预测

分析

预测2015年安徽省中考仍

将主要考查：用提取公因式

法、公式法(直接用公式不超

过两次)分解因式等.题型多

以选择题、填空题为主，偶

尔也有解答题出现，但难度

都属于基础题的要求.

题分

年份考察内容题型

号值

2014因式分解选择题44

2013因式分解填空题125

2012因式分解选择题44

自主学习夯实基础

要点梳理

1­因式分解

把一个多项式化成几个积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法

是互逆运算.

2•基本方法

(1)提取公因式法：

ma+mb-me=m(a+b-c).

(2)公式法：

运用平方差公式：a?—1?=(a+b)(a—b):

运用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.

3•因式分解的一般步骤

(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；

(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并

完毕，若有相同因式写成哥的形式，这样才算分解彻底；

(4)注意因式分解中的范围，如X4-4=(X2+2)(X2-2)，在实数范围内分解因式，x“一4

=(X2+2)(X+V2)(X-V2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解.

qc学法能导

思考步骤

多项式的因式分解有许多方法但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的.因

此，拿到一道题目，

先试试这个方法，再试试那个办法.解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式：(2)看

有几项；(3)分解彻底.在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重

复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止.

变形技巧

当n为奇数时»(a-b)n=—(b—a)n;当n为偶数时»(a-b)n=(b—a)n.

三年中考〉■

1•(2014•安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是(8)

A-a2+1B.a2—6a+9

C,x2+5yD.x2—5y

2•(2014•毕节)下列因式分解正确的是(A)

A-2X2-2=2(X+1)(X-1)

B-X2+2X-1=(X-1)2

C-x2+l=(x+l)2

D•x?—x+2=x(x—1)+2

3•(2013•安徽)因式分解：x2v-v=y(x+l)(x-l).

4•(2012•安徽)下面的多项式中，能因式分解的是(O)

A•m2—nB.m2-m—1

C-m2+nD.m2-2m+1

5•(2014•哈尔滨)把多项式3m2—6mn+3n2分解因式的结果是3(m-,

归类探究

考点份因式分解的意义

[例1](2014•泉州)分解因式x?y—y3结果正确的是(£>)

A-y(x+y)2B.y(x—y)2

C-y(x2—y2)D.y(x+y)(x—y)

【点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积

的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底.

对应训练a*无国举二或三；

1•(2014•玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是(。)

A,x2+y2B.x2-y

C•x2+x+1D.x2一2x+1

考点》提取公因式法分解因式

【例2】阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.

例如：(l)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)；

(2)x2—y2—2y—1=x2—(y2+2y+l)=x2—(y+l)2=(x+y+l)(x—y—1).

试用上述方法分解因式：a2+2ab+ac+be+b2=(a+b)(a+b+c).

【点评】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；

(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多

项式.

3寸应训练j

2•(1)多项式ax?-4a与多项式x2—4x+4的公因式是，,x—2..

(2)把多项式(111+1)(111—1)+(01—1)提取公因式(111—1)后，余下的部分是(。)

A-m+1B.2m

C-2D.m+2

考点*运用公式法分解因式

[例3](1)(2014•东营)3x2y—27v=3y(x+3)(x—3):

(2)(2014•邵阳)将多项式m2n—2mn+n因式分解的结果是n(m—1)，.

【点评】(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2-b2的形式，需注

意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”

也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方

公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征.

对应训练j

3•分解因式：

⑴9x2-1；

(2)25(x+y)2—9(x—yR

(3)(2014•淮北模拟)a—6ab+9ab2；

(4)(2013,湖州)mx2—my2.

解：(1)9X2-1=(3X+1)(3X-1)

(2)25(x+y)2-9(x-y)2=[5(x+y)+3(x-y)][5(x+y)—3(x-y)]=(8x+2y)(2x+8y)=

4(4x+y)(x+4y)

(3)a-6ab+9ab2=a(1-6b+9b2)=a(1-3b)2

(4)mx2—my2=m(x2—y2)=m(x+y)(x—y)

考点D综合运用多种方法分解因式

【例4】给出三个多项式：#+x-l，#+3x+l，52—X，请你选择其中两个进行

加法运算，并把结果分解因式.

解：(Jx^+x—l)+(；x:+3x+l)=x?+4x=x(x+4)；(^x2+x—l)+(^x2—x)=x2—1=(x

+l)(x—1)；(；x?+3x+1)+(¥—x)=x?+2x+l=(x+if

【点评】灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑

用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止.

对应训练*-A.X'j

4•(1)(2014•武汉)分解因式：a'—a=a(a+l)(a—1):

(2)(2014•黔东南州)分解因式：x3—5x?+6x=x(x—3)(x—2):

考虑。因式分解的应用

【例5】⑴(2014•河北)计算：852-152=(D)

A•70B.700C.4900D.7000

(2)已知a2+b2+6a-IOb+34=O，求a+b的值.

解：Va2+b2+6a-10b+34=0>/.a2+6a+9+b2-10b+25=0，即3+3/+(1)—5)2=0，

.♦.a+3=0且b-5=0，，a=-3，b=5，，a+b=-3+5=2

【点评】（1）利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；（2）一个问题有两个未

知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它

们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解.

对应训练…而彳无山…就二良三？

5,（1）（2014•马鞍山模拟）若ab=2，a—b=-1»则代数式a?b-ab?的值等于一2.

（2）已知a，b，cMAABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，MAABC的

形状是（C）

A•等腰三角形

B■直角三角形

C•等腰三角形或直角三角形

。•等腰直角三角形

（3）（2014•北京）已知x-y=4>求代数式（x+l/—2x+y（y—2x）的值.

解：原式=x?—2xy+y?+l=（x—y1+l，把x—y=小代入>原式=3+1=4

请完成考点跟踪突破

第4讲分式及其运算

2012~2014年安徽中考命

2015年安徽中考命题预测

题分析

预测2015年安徽省中考仍

将主要考查：分式的概念、

分式的基本性质、约分与通

分，分式的加、减、乘、除

运算等，题型有选择题、填

空题，也有解答题，但难度

都属于基础题和中档题的要

求.这里要重点指出的是分

式的加减乘除运算，它一直

是安徽中考的一个重点，这

是因为分式的加减乘除运算

几乎可以涵盖所有代数式的

基本运算，因此考生一定要

注意.

年份考察内容题型题号分值

2014分式方程的计算填空题135

2013分式方程的应用解答题20(2)8

2012分式计算选择题64

自主学习夯实基础

要点梳理

1•分式的基本概念

(1)形如自A(A，B是整式，且B中含有字母，B¥0)的式子叫分式:

AA

⑵当q2_时’分式五有意义；当3^_时’分式萨意义；当—A=Q且BWO.

时，分式意A的值为零.

D

2•分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表

示为—织AAX金MA卧A-M(M是不等于零的整式)一

3•分式的运算法则

(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

用式子表示.2=_,=二£=_二._a=」_=二

用衣小.b_b_bb-b-bb,

(2)分式的加减法：

同分母加减法：三詈

异分母加减法：—aic—-

(3)分式的乘除法：

acac

bd=—bd—;

a.c_ad

b'd-be—•

(4)分式的乘方：

钞=—越为正整数).

4­最简分式

如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式.

5­分式的约分、通分

把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质.

把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通

分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

6■分式的混合运算

在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减

运算.若有括号，先算括号里面的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式.

7•解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根.使分母为0的未

知数的值是增根，需舍去.

百学历卷导厂

两个技巧

(1)分式运算中的常用技巧

分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解.如：

①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为

差，裂项相消.

(2)分式求值中的常用技巧

分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化.主要有以下技巧：①

整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法.

qt三年中考)

x+1

1•(2014•温州)要使分式不石有意义，则x的取值应满足(A)

A•x#2B.x#—1C.x=2D.x=—1

Y~—4

2•（2014•广州）计算:―7，结果是（B）

x—4x+2

A•x—2B.x+2C.~2~D.~~~

2x

3-（2012♦安徽）化简x占+意的结果是（。）

A•x+1B.x—1C,—xD.x

m—1m-1

4・（2014•济南）化简的结果是（A）

A•mB.LC.m—1D.-

mm—1

4x—12

5.（2。14・安徽）方程不子=3的解是*=」

归类探究,考点呈现

考成i>分式的概念，求字母的取值范围

2

【例1】（1）（2014•贺州）分式言有意义，则x的取值范围是（A）

A•xHlB,x=lC.xW—1D.x=-1

x2_i

（2）Q014•毕节）若分式=的值为零，则x的值为（C）

A-0B.1C.-1D.±1

【点评】（1）分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根

式有意义；（2）首先求出使分子为0的字母的值，再检脸这个字母的值是否使分母的值为0，

当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值.

对应训练…而*Si首…第二—一：：

1•（1）（2014•铜陵模拟）若代数式杏有意义，则实数x的取值范围是（力）

A•xWlB.X20

C-x>0D.x，0且xWl

（2）当x=-3.时，分式号式的值为0.

考点》分式的性质

a2+2a+1

[例2]⑴（2014•贺州）先化简，再求值：（a2b+ab）^——，其中a=，5+l，b=小

a\1

a+1

解：原式=ab（a+l）・2=ab，当a=，5+l，b=<§—1时，原式=3—1=2

（a+1）

(2)(2014•济宁)已知x+y=xy，求代数式(1—x)(l—y)的值.

xy

]y+xX+V

解：；x+y=xy，A-+--(l-x)(l-y)=2Z7--(l-x-y+xy)=—1+x+y-xy

AyAyAy

=l-l+0=0

【点评】(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违

背，否则分式的值改变；

(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，

要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分