2019-2020学年天津市第一高二下学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年天津市第一高二下学期期末数学试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.【详解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.2．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3．“，”的否定是（）A．， B．，C．，使得 D．，使得【答案】D【解析】先将量词由全称量词改为特称量词，然后将结论否定，即得．【详解】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，故“，”的否定是“，使得”故选D.【点睛】本题考查含有全称量词的命题的否定，注意全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于,本题难度较易.4．已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝A．－4 B．－3C．－2 D．－1【答案】D【解析】【详解】由题意知：，解得，故选D.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5．从某随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：由频率分布直方图可知，，所以后组的频数比为，即，所以身高在内的学生中选取的人数应为，故选B.【考点】分层抽样与频率分布直方图．6．某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】固定节目甲、丙的位置，将节目乙放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，由分步计数原理可知，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选B.【点睛】本题考查分步乘法计数原理，在求解排列组合综合问题时，若元素限制条件较多，可优先考虑该元素，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A．512 B．12 C．7【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=1【考点】相互独立事件概率的计算．8．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A． B． C． D．【答案】A【解析】将甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.分别计算两种情况的概率，然后相加求得甲队获得冠军的概率.【详解】甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为，甲第一场输第二场赢的概率为.故甲赢得冠军的概率为.故选A.【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，考查分类计数原理的应用，属于基础题.解题的突破口在于对甲获得冠军的方式进行分类，然后利用独立事件的概率计算公式进行计算.也可以考虑用对立事件来计算，即先计算得乙赢的概率为，用可求得甲赢的概率.9．若f(xa>b>e,则有()A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)C．f(a)=f(b) D．f(a)f(b)>1【答案】B【解析】分析：求导数，令其小于0，可解得函数在区间上单调递减，由函数单调性的定义可得答案.详解：，，令，解得，即在区间上单调递减，，.故选：B.点睛：本题考查导数解决函数单调性的问题，属于基础题.10．已知函数，若存在的极值点，满足，则实数的取值范围是（）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】根据函数的解析式，利用三角函数的性质得到极值，求得绝对值最小的零点，根据不等式有解的意义，代入不等式求解即得.【详解】解：的极值为，极值点,满足,,当或时，取得最小值,于是,整理得,解得或,故选A.【点睛】本题考查三角函数的性质，涉及极值的概念，不等式存在性问题，属典型题，题型新颖，关键在于寻找绝对值最小的零点，理解不等式有解的意义另一个要点.二、填空题11．已知集合，，则______.【答案】【解析】计算集合，然后根据交集的概念可得结果.【详解】由，所以故答案为：【点睛】本题考查集合的运算，属基础题.12．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】是假命题，，解得，由是真命题，，解得，实数的取值范围是，故答案为.13．的展开式中常数项的值是.（用数字作答）【答案】【解析】求出展开式的通项公式，即可求出常数项．【详解】解：展开式的通项公式为，令得．即展开式的常数项为，故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出展开式的通项公式是解决二项式定理的关键．14．从一副扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为______.【答案】【解析】总事件是从52张扑克牌中随机抽取2张共有种不同的结果，而抽出的2张是红桃共有种结果，根据古典概型公式得到结果．【详解】总事件是从52张扑克牌中随机抽取2张共有种不同的结果，而抽出的2张是红桃共有种结果，根据古典概型公式可得故答案为：【点睛】本题考查等可能事件的概率，熟练应用古典概型的概率计算公式，属于基础题．15．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．【答案】﹣1【解析】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．16．已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是________【答案】【解析】原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点,画出函数图象,求出临界值直线的斜率,结合图象可得结果.【详解】根据题意,令得,原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点,当时,易知临界位置为)过点(0,2)和(1,0),分别求出这两个位置的斜率和,由图可知此时,当时,设过点(-1,0)向函数,的图象作切线的切点为,则由函数的导数为得,解得,所以切线斜率为,而过点和的斜率为,由图可知,此时.综上可得实数的取值范围是,故答案为.【点睛】函数零点的几种等价形式:函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、解答题17．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）求古典概型概率，先确定两次检测基本事件个数：，再确定第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的基本事件个数，从而得所求事件概率为（2）先确定随机变量：最少两次（两次皆为次品），最多四次（前三次两次正品，一次次品），三次情况较多，可利用补集求其概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：解:（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，（Ⅱ）的可能取值为200,300,400（或）故的分布列为X

200

300

400

P

【考点】1.古典概型概率；2.分布列和数学期望.【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.18．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.【答案】（I）（II）见解析【解析】（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【详解】解：设事件“张同学至少取到1道乙类题”则张同学至少取到的全为甲类题（A）的所有可能取值为0，1，2，3的分布列为0123【点睛】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．设，，在点处的切线与轴相交于点.（1）确定的值；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为；极小值为.【解析】（1）求出导数，得，写出题中切线方程，代入点可得.（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点，并可得极值.【详解】（1）由题可知：，所以，切点在点处切线方程为令，则，∴（2），函数的定义域令，则或23+0－0+极大值极小值故单调递增区间为和单调递减区间为极大值为极小值为【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性以及极值，理解函数在某点处的导数即在该处切线的斜率，考验计算能力，属基础题.20．已知函数，.（1）若函数是上的增函数求的取值范围；（2）若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）问题转化为对恒成立.求导后分离参数得到，设，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由，为两个极值点不妨设，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a,将要证不等式转化为只含有，的不等式，适当变形转化为只含有的不等式，作换元，转化为关于t的不等式，