人教数学A版《三角恒等变换》综合检测题

第三章《三角恒等变换》综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，又sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，则sinβ＝()A．0B．0或eq\f(24,25)\f(24,25)D．±eq\f(24,25)[答案]C[解析]∵0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π且sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(4,5)，eq\f(π,2)＜α＋β＜eq\f(3,2)π，∴sin(α＋β)＝±eq\f(3,5)，当sin(α＋β)＝eq\f(3,5)时，sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(3,5)＝eq\f(24,25)；当sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)时，sinβ＝－eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))×eq\f(3,5)＝0.又β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinβ＞0，故sinβ＝eq\f(24,25).[点评](1)可用排除法求解，∵eq\f(π,2)＜β＜π，∴sinβ＞0.故排除A，B，D.(2)由cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)及sinα＝eq\f(3,5)可得sinβ＝eq\f(4,3)(1＋cosβ)代入sin2β＋cos2β＝1中可解得cosβ＝－1或－eq\f(7,25)，再结合eq\f(π,2)<β<π可求sinβ.2．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是()A．π＜θ＜eq\f(3π,2)\f(5π,4)＜θ＜eq\f(7π,4)\f(3π,2)＜θ＜2π\f(π,4)＜θ＜eq\f(3π,4)[答案]B[解析]∵cos2θ＜0，∴1－2sin2θ＜0，即sinθ＞eq\f(\r(2),2)或sinθ＜－eq\f(\r(2),2)，又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－eq\f(\r(2),2)，由正弦曲线得满足条件的θ取值为eq\f(5π,4)＜θ＜eq\f(7π,4).3．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象()A．向左平移eq\f(π,8)个单位得到B．向右平移eq\f(π,8)个单位得到C．向左平移eq\f(π,4)个单位得到D．向右平移eq\f(π,4)个单位得到[答案]C[解析]y＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin2(x＋eq\f(π,8))y＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin2(x－eq\f(π,8))其中x＋eq\f(π,8)＝(x＋eq\f(π,4))－eq\f(π,8)∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．4．下列各式中，值为eq\f(\r(3),2)的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°[答案]B[解析]2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，排除A.cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故选B.5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是()\f(\r(6),2)\f(5,4)\f(3,2)\f(2,3)[答案]B[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).6．若f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值是()A．－eq\f(4\r(3),3)B．－4eq\r(3)C．4eq\r(3)D．8[答案]D[解析]f(x)＝2tanx＋eq\f(cosx,\f(1,2)sinx)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)＋\f(cosx,sinx)))＝2·eq\f(1,sinx·cosx)＝eq\f(4,sin2x)，∴f(eq\f(π,12))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.7．若－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)，则函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的最大值和最小值分别是()A．1，－1B．1，－eq\f(1,2)C．2，－1D．2，－2[答案]C[解析]∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∵f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，∴f(x)最小值为－1，最大值为2.8．设函数f(x)＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a(a为实常数)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为－4，那么a的值等于()A．4B．－6C．－3D．－4[答案]D[解析]f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋1＋a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1，∴f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋a＋1＝－4，∴a＝－4.9．(09·重庆理)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(eq\r(3)sinA，sinB)，n＝(cosB，eq\r(3)cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()\f(π,6)\f(π,3)\f(2π,3)\f(5π,6)[答案]C[解析]∵m·n＝eq\r(3)sinAcosB＋sinB·eq\r(3)cosA＝eq\r(3)sin(A＋B)＝eq\r(3)sinC＝1－cosC，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，故C＝eq\f(2π,3).10．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是()\f(\r(3),2)\r(3)\f(\r(15),8)\f(\r(15),7)[答案]D[解析]如图，令BD＝1，则AB＝4，AD＝eq\r(15)，tanθ＝eq\f(1,\r(15))，tanA＝tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(\f(2,\r(15)),1－\f(1,15))＝eq\f(\r(15),7)，故选D.11．(09·江西理)若函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx,0≤x<eq\f(π,2)，则f(x)的最大值为()A．1B．2\r(3)＋1\r(3)＋2[答案]B[解析]f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2cos(x－eq\f(π,3))．又∵0≤x<eq\f(π,2)，∴当x＝eq\f(π,3)时，y取最大值为2.12．已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是()\f(2\r(14),5)B．－eq\f(2\r(14),5)C．±eq\f(2\r(14),5)D．±eq\f(5\r(14),28)[答案]B[解析]由已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝\f(4,9),cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝\f(4,9)))，相加得cos(x－y)＝eq\f(5,9)，∵x、y均为锐角且sinx－siny<0，∴－eq\f(π,2)<x－y<0，∴sin(x－y)＝eq\f(－2\r(14),9)，∴tan(x－y)＝－eq\f(2\r(14),5)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝________.[答案]eq\r(3)[解析]∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋eq\r(3)tan20°·tan40°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°·tan40°＋eq\r(3)tan20°·tan40°＝eq\r(3).\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),sin80°)的值为________．[答案]4[解析]原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°·cos10°)＝eq\f(2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°),\f(1,2)sin20°)＝eq\f(4cos70°,sin20°)＝4.15．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.[答案]－eq\f(56,65)[解析]∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∵sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，∴cos(α＋β)＝eq\f(4,5).∵β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(5,13).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((α＋β)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(56,65).16．关于函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，有下列命题：①y＝f(x)的最大值为eq\r(2)；②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上单调递减；④将函数y＝eq\r(2)cos2x的图象向左平移eq\f(π,24)个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)[答案]①②③[解析]化简f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))∴f(x)max＝eq\r(2)，即①正确．T＝eq\f(2π,2)＝π，即②正确．由2kπ≤2x－eq\f(π,12)≤2kπ＋π得，kπ＋eq\f(π,24)≤x≤kπ＋eq\f(13π,24)，即③正确．将函数y＝eq\r(2)cos2x的图象向左平移eq\f(π,24)个单位得y＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,24)))))≠f(x)，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝eq\f(\r(10),10)，0<φ<eq\f(π,2)，求cosφ的值．[解析](1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得，sinθ＝±eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝±eq\f(\r(5),5)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).(2)∵0<φ<eq\f(π,2)，0<θ<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<θ－φ<eq\f(π,2)，则cos(θ－φ)＝eq\r(1－sin2(θ－φ))＝eq\f(3\r(10),10)，cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝eq\f(\r(2),10).18．(本题满分12分)(2022·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－eq\r(3)sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为eq\f(π,2).(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求点A的坐标．[解析](1)f(x)＝sin2ax－eq\r(3)sinaxcosax＝eq\f(1－cos2ax,2)－eq\f(\r(3),2)sin2ax＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(3,2)，由题设知，函数f(x)的周期为eq\f(π,2)，∴a＝2，所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(3,2)，a＝2.(2)∵f(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴令sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＝0，得4x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq\f(kπ,4)－eq\f(π,24)(k∈Z)，由0≤eq\f(kπ,4)－eq\f(π,24)≤eq\f(π,2)(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,24)，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,24)，\f(1,2))).19．(本题满分12分)函数f(x)＝2asin2x－2eq\r(3)asinxcosx＋a＋b，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，值域为[－5,1]，求a，b的值．[解析]∵f(x)＝a(1－cos2x)－eq\r(3)asin2x＋a＋b＝－2a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))＋2a＋b＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴0≤2x≤π，∴eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1，当a＞0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝1,b＝－5))，∴a＝2，b＝－5，当a＜0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1,3a＋b＝－5))，∴a＝－2，b＝1.20．(本题满分12分)已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．[解析]方法一：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，即sinB(sinA－cosA)＝0.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，从而cosA＝sinA.由A∈(0，π)知，A＝eq\f(π,4)，从而B＋C＝eq\f(3π,4)，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(eq\f(3π,4)－B)＝0，即sinB－sin2B＝0.即sinB－2sinBcosB＝0.由此得cosB＝eq\f(1,2)，B＝eq\f(π,3).所以A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(5π,12).方法二：由sinB＋cos2C＝0得sinB＝－cos2C＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2C)).因为0<B、C<π，所以B＝eq\f(3π,2)－2C或B＝2C－eq\f(π,2).即B＋2C＝eq\f(3π,2)或2C－B＝eq\f(π,2).由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0.即sinB(sinA－cosA)＝0.因为sinB≠0，所以cosA＝sinA.由A∈(0，π)，知A＝eq\f(π,4).从而B＋C＝eq\f(3,4)π，知B＋2C＝eq\f(3π,2)不合要求．再由2C－B＝eq\f(1,2)π，得B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(5π,12).所以A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(5π,12).21．(本题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x＋m)．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)f(x)＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋m＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋m＋1.∴函数f(x)最小