数学分析11反常积分总练习题

dx，p>0；111u1π1π1111dx，p>0；111u1π1π1111第一

反积总习1、(1)

xx-pxp-1x-pxx0x

dx，0<p<1.证(1)，令x=，t

xx

limu

=lim

tt

lim1u

1u1

tx-ptx

(2)∵0<p<1

xp-11xp-1xxx

由(得

xp-1xx

令x=t

xp-1x

u

xx

=

lim0

tt

d

lim0u

11u

t-pt

x-px

xp-1x-px-px-px1xx0

2、(1)22

dx1-

4

<；2

12

1

1

0

e

-x

2e证(1)

1

<

<

,x∈

)

1-x

4

x

2

12

0

dx1-

2

<0

dx1-

4

<0

dx1-x

2

1=.∴<<.111111ecosbx(a>0)；-ax1-ax0-ax-ax-axa1=.∴<<.111111ecosbx(a>0)；-ax1-ax0-ax-ax-axa，-ax1-ax0

12

1dx0-x2

=

π22

0

dxπππ1-21-42(2)

-xdx+-x00

0

+xe-x

12e

0

e

-x

0

e

-x

1

e

-x

0

e

-x

0

-x

12

12

<0

e

2e3、(1)

e

sinbx

dx(a>0)；

(3)

1

dx；(4)

π

θ)

d(1)

lim

1b

-ax

lim|uu

-

1b

lim

=

b

lim

b

lim0

=-

u

ab2

|0

+

b

lim0

=-b2

ecosbx

a

b

e

-ax

aae-axb2a(2)

e

sinbx

1

lim0

sinbx

=-|u+u

1

lim0

-ax

=lnxlnxd2sinbxsinbxxxλλ111π1bbBλλ=lnxlnxd2sinbxsinbxxxλλ111π1bbBλλλ=

b

bacosbxaa2(3)

1

dx+dx=dx+1x2121

1

ln1=

lnx011x211012x

(4)令tanθ

π

θ)

dθ=

1

4、

sinbxxλ

dx0)，λ敛设记

sinbxx

dx，=dx，=12b对I当λ≤1x0

xλ

=limbxλx0

=∴I分b当λ>1，x=0是

limxx

λ-1

x

=b∈(0,+∞当1<λ<2I绝对当2时，11对I，当λ，令=(2nπ+)B=(2nπ+)2nn则→+∞，+(n∞nn|A

sinbxxλ

2n2n

sinu

du

π2nπ2n

πsin(2n)λ

=b

π)1-(2n)241

1-

∴λ时，发散2当0<λ知I收2

sinbx2bxdx21sinbx12dxdxdxAdt，同理Asinbx2bxdx21sinbx12dxdxdxAdt，同理Adt=dt-dtdu=[f(εξ)-f(Aη)]+dx又||=+xλxλ2xλ2xλ

1b

sin2bx2xλ

dx发散，0<λ≤，敛λb当λ>1，||，敛xλxλI1I2I

λ

0<λ1

1<λ

λ5、设f[0,+∞(1)若

limx

f(ax)-bxa(2)若

f(x)f(ax)f(bx)xa令ax=t，ε

f(ax)f(t)Af(bx)bAf(t)xatεxεt

ε

f(ax)-f(t)bAf(t)εf(t)f(t)xεataAt=a

f(

a

f(Au)bf(εf(Au)bduuaau

,中ξ,η∈ε,∞,得

f(ax)f(bx)duxaa

f(x)f(ax)f(x)dx=f(εξ+dx=f(0)f(x)f(ax)f(x)dx=f(εξ+dx=f(0))dxf(x)AAA(2)

dx，何ε>0,dx，xεa

f(ax)f(bx)f(x)f(x)εf(x)bf(x)dxxaεεaa

令ε0,

f(ax)f(bx)dxxa6、(1)设f为[∞)上的非负连续函

xf(x)

dx收

dxa

(2)设f为[∞)上的连续可微函数且当x∞时f(x)于0

f(x)

dx

xf

dx取M=max{|a|,1}，

a

xf(x)

dx敛M

a∵f[M,+∞)，0≤f(x)，∈[M,+∞

f(x)

dx敛M

(2)∵’为a,+∞)上，

xf

A-a

A

f(x)

dx当∞时，递于0，

limA

Aa

Aa

xf

dx存a

xf

dx.

xf

dx给ε>0,有当a|

A

tf

dt|<ε，f≤0,ξ∈，使得x

A

tf

dt=ξ

dt=ξ[f(A)-f(x)]，0≤x|f(A)-f(x)|ξ|f(A)-