优选教案：高中数学人教B版 必修 第二册 指数函数与对数函数的关系

教学设计(教师独具内容)课程标准：1.了解反函数的概念.2.知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．教学重点：反函数的概念及互为反函数图像间的关系，对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像和性质，深刻理解两者的关系．教学难点：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像的对称关系.互为反函数的两个函数的关系(1)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称，故函数y＝ax的图像与y＝logax的图像关于直线y＝x对称(其中a＞0且a≠1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都有反函数．()(2)函数y＝2x的定义域是函数y＝log2x的值域．()(3)函数y＝x2的反函数是y＝eq\r(x).()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝logeq\s\do10(\f(1,3))x的反函数为________．(2)函数y＝logeq\s\do10(\f(1,3))(x－1)的反函数为________．(3)若点(1,2)在函数y＝f(x)的图像上，则点________必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．题型一求函数的反函数例1求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋3；(2)y＝logeq\s\do10(\f(2,3))x；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x－1；(4)y＝0.2x＋1(x≤1)．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])求下列函数的反函数：(1)y＝logeq\s\do10(\f(1,3))(2x＋1)；(2)y＝eq\f(2x＋1,2x－1).题型二反函数性质的应用例2已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．eq\a\vs4\al([跟踪训练2])已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，求f(x)的表达式．题型三指数函数与对数函数图像间的关系例3已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是()eq\a\vs4\al([跟踪训练3])y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的()题型四指数函数与对数函数的综合应用例4(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求函数f(x)的定义域、值域；②判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．eq\a\vs4\al([跟踪训练4])(1)已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知f(x)＝log4(4x－1)．①求f(x)的定义域；②讨论f(x)的单调性；③求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域．1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图像()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logeq\s\do10(\f(1,2))x D．2x－23．(多选)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则()A．f(x)＝lnx(x>0)B．f(2x)＝－e2x(x∈R)C．f(x)＝－ex(x∈R)D．f(2x)＝lnx＋ln2(x>0)4．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．5．若点A(1,2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在f(x)的反函数f－1(x)的图像上，求a，b的值．一、选择题1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是()A．有且仅有一个实根B．至少有一个实根C．至多有一个实根D．0个，1个或1个以上实根2．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得函数y＝log2(x＋1)的图像．横线处应填写()A．先向左平移1个单位 B．先向右平移1个单位C．先向上平移1个单位 D．先向下平移1个单位3．若指数函数y＝ax当x<0时，有0<y<1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图像是()4．函数f(x)与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x互为反函数，则函数f(4－x2)的单调递增区间是()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－2,0] D．[0,2)5．(多选)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)C．g(a)<g(b)<g(1) D．g(a)<g(1)<g(b)二、填空题6．函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函数是________．7．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(－log92)＝________.8．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图像经过A(－4,1)，B(0，－1)两点，函数f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是________；不等式|f(x－2)|<1的解集是________．三、解答题9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．10．已知函数f(x)＝lg(x＋1)．(1)当x∈[1,9]时，求函数f(x)的反函数；(2)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围．1．已知函数f(x)＝x2－3tx＋1，其定义域为[0,3]∪[12,15]．(1)当t＝2时，求函数f(x)的反函数f－1(x)；(2)如果函数f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．2．已知奇函数f(x)＝eq\f(a·2x＋b,2x－1)的反函数f－1(x)的图像过点A(－3,1)．(1)求实数a，b的值；(2)解关于x的不等式f－1(x)>－1.(教师独具内容)课程标准：1.了解反函数的概念.2.知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．教学重点：反函数的概念及互为反函数图像间的关系，对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像和性质，深刻理解两者的关系．教学难点：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像的对称关系.互为反函数的两个函数的关系(1)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称，故函数y＝ax的图像与y＝logax的图像关于直线y＝x对称(其中a＞0且a≠1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都有反函数．()(2)函数y＝2x的定义域是函数y＝log2x的值域．()(3)函数y＝x2的反函数是y＝eq\r(x).()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝logeq\s\do10(\f(1,3))x的反函数为________．(2)函数y＝logeq\s\do10(\f(1,3))(x－1)的反函数为________．(3)若点(1,2)在函数y＝f(x)的图像上，则点________必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．答案(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋1(3)(2,1)

题型一求函数的反函数例1求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋3；(2)y＝logeq\s\do10(\f(2,3))x；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x－1；(4)y＝0.2x＋1(x≤1)．[解](1)由y＝2x＋3得x＝eq\f(1,2)y－eq\f(3,2)，所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,2).(2)y＝logeq\s\do10(\f(2,3))x的底数是eq\f(2,3)，它的反函数是指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x.(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝logeq\s\do10(\f(2,3))(x＋1)(x>－1)．(4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，对调其中的x和y得y＝log0.2(x－1)，因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)．金版点睛eq\a\vs4\al(求给定解析式的函数的反函数的步骤,1求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；,2从y＝fx中解出x；,3x，y互换并注明反函数的定义域.)eq\a\vs4\al([跟踪训练1])求下列函数的反函数：(1)y＝logeq\s\do10(\f(1,3))(2x＋1)；(2)y＝eq\f(2x＋1,2x－1).解(1)由y＝logeq\s\do10(\f(1,3))(2x＋1)，得2x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))y，所以x＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))y－eq\f(1,2)，对调x，y得y＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－eq\f(1,2)，所以y＝logeq\s\do10(\f(1,3))(2x＋1)的反函数是y＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－eq\f(1,2).(2)由y＝eq\f(2x＋1,2x－1)，得2x(y－1)＝y＋1.∵y≠1，∴2x＝eq\f(y＋1,y－1).①∵2x>0，∴eq\f(y＋1,y－1)>0，解得y>1或y<－1.故反函数的定义域是{x|x>1或x<－1}．由①式，得x＝log2eq\f(y＋1,y－1).因此，所求的反函数为y＝log2eq\f(x＋1,x－1)(x<－1或x>1)．题型二反函数性质的应用例2已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．[解]解法一：∵y＝ax＋b的图像过点(1,4)，∴a＋b＝4，①由y＝ax＋b得ax＝y－b，∴x＝loga(y－b)，对调x，y得y＝loga(x－b)，将点(2,0)代入y＝loga(x－b)得loga(2－b)＝0，∴2－b＝1.②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))解法二：∵y＝ax＋b的图像过点(1,4)，∴a＋b＝4.①又∵y＝ax＋b的反函数图像过点(2,0)，∴点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图像上，∴a0＋b＝2.②联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))金版点睛利用反函数的性质解题互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点a，b在函数y＝fx的图像上，则点b，a必在其反函数y＝f－1x的图像上.eq\a\vs4\al([跟踪训练2])已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，求f(x)的表达式．解∵y＝f－1(x)的图像过点(4,0)，∴y＝f(x)的图像过点(0,4)，∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.题型三指数函数与对数函数图像间的关系例3已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是()[解析]∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则b＝eq\f(1,a)，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．结合选项可知选B.[答案]B金版点睛利用反函数的性质识图指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y＝x对称.在有关指数函数与对数函数的图像识别问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题.eq\a\vs4\al([跟踪训练3])y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的()答案C解析∵y＝log2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，故排除A，B.又此函数图像过(0,2)，故正确答案为C.题型四指数函数与对数函数的综合应用例4(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求函数f(x)的定义域、值域；②判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．[解](1)①要使函数f(x)＝loga(a－ax)(a>1)有意义，需满足a－ax>0，即ax<a，又∵a>1，∴x<1，故定义域是(－∞，1)，又a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1)．②设x1<x2<1，则ax1<ax2<a，Δy＝f(x2)－f(x1)＝loga(a－ax2)－loga(a－ax1)＝logaeq\f(a－ax2,a－ax1)<0，所以函数f(x)为减函数．(2)将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，n是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)．而A，B都在直线y＝－x＋3上，∴n＝－m＋3(A点坐标代入)，或m＝－n＋3(B点坐标代入)，故m＋n＝3.金版点睛指数函数与对数函数综合问题的解决方法1指数函数y＝axa>0且a≠1与对数函数y＝logaxa>0且a≠1互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.2利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决函数零点方程的根问题.eq\a\vs4\al([跟踪训练4])(1)已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知f(x)＝log4(4x－1)．①求f(x)的定义域；②讨论f(x)的单调性；③求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域．答案(1)B(2)见解析解析(1)函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图像的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图像，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图像的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.(2)①由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．②设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③因为f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，log415]．

1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图像()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称答案D解析∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logeq\s\do10(\f(1,2))x D．2x－2答案A解析y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，∴a＝2.故f(x)＝log2x.3．(多选)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则()A．f(x)＝lnx(x>0)B．f(2x)＝－e2x(x∈R)C．f(x)＝－ex(x∈R)D．f(2x)＝lnx＋ln2(x>0)答案AD解析由题意可得，y＝f(x)是y＝ex的反函数，∴f(x)＝lnx(x>0)，∴f(2x)＝ln(2x)＝ln2＋lnx(x>0)．故选AD.4．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．答案(2，＋∞)解析函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋∞)，∴log2x＋2>3，即log2x>1，∴x>2.则此函数的定义域为(2，＋∞)．5．若点A(1,2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在f(x)的反函数f－1(x)的图像上，求a，b的值．解∵f－1(1)＝2，∴f(2)＝1.又f(1)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,4a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(7,3).))一、选择题1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是()A．有且仅有一个实根B．至少有一个实根C．至多有一个实根D．0个，1个或1个以上实根答案C解析若f(x)＝0有根m，则f(m)＝0，又因为f(x)有反函数，所以0在y＝f－1(x)关系下有唯一的值与之对应，故m必唯一，所以y＝f(x)的图像与x轴至多有一个交点，即方程f(x)＝0至多有一个实根．2．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得函数y＝log2(x＋1)的图像．横线处应填写()A．先向左平移1个单位 B．先向右平移1个单位C．先向上平移1个单位 D．先向下平移1个单位答案D解析与函数y＝log2(x＋1)的图像关于直线y＝x对称的曲线是函数y＝2x－1的图像．为了得到它，只需将y＝2x的图像向下平移1个单位．故选D.3．若指数函数y＝ax当x<0时，有0<y<1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图像是()答案A解析∵x<0时，y＝ax∈(0,1)，∴a>1.∴y＝logax单调递增，y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x单调递减．结合选项知，选A.4．函数f(x)与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x互为反函数，则函数f(4－x2)的单调递增区间是()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－2,0] D．[0,2)答案D解析∵函数f(x)与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x互为反函数，∴f(x)＝logeq\s\do10(\f(1,2))x＝－log2x(x>0)，则函数f(4－x2)＝－log2(4－x2)．由4－x2>0，得－2<x<2.∴函数f(4－x2)的单调递增区间是[0,2)．故选D.5．(多选)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)C．g(a)<g(b)<g(1) D．g(a)<g(1)<g(b)答案AD解析分别作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2－x的图像，如图所示，不难发现a<1<b，而函数f(x)，g(x)均为增函数，所以f(a)<f(1)<f(b)，g(a)<g(1)<g(b)．故选AD.二、填空题6．函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函数是________．答案y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1))解析当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝lnx，x≥1.故原函数的反函数为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1.))7．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(－log92)＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析∵loga9＝2，∴a＝3，而f－1(x)＝ax，∴f－1(x)＝3x，∴f－1(－log92)＝3－log92＝3eq\s\up15(log3eq\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).8．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图像经过A(－4,1)，B(0，－1)两点，函数f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是________；不等式|f(x－2)|<1的解集是________．答案－4(－2,2)解析由题意，可知f－1(x)的图像过点(1，－4)和点(－1，0)，∴f－1(1)＝－4；∵|f(x－2)|<1，∴－1<f(x－2)<1，即f(0)<f(x－2)<f(－4)，又函数f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，∴－4<x－2<0，即－2<x<2，∴不等式|f(x－2)|<1的解集为{x|－2<x<2}，即(－2,2)．三、解答题9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．解(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax.(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2.∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，∵a>1，x1<x2，∴ax1<ax2，即ax1－ax2<0，∴f－1(x2)<f－1(x1)，∴y＝f－1(x)在R上是减函数．10．已知函数f(x)＝lg(x＋1)．(1)当x∈[1,9]时，求函数f(x)的反函数；(2)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围．解(1)令y＝f(x)＝lg(x＋1)，所以当x∈[1,9]时，y∈[lg2,1]，且x＋1＝10y，即x＝10y－1，互换x，y得，y＝1