优选教案：高中数学人教A版 必修 第二册 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.2.能用坐标表示平面向量共线的条件．教学重点：1.平面向量数乘运算的坐标表示.2.平面向量共线定理的坐标表示．教学难点：平面向量的共线问题．核心素养：1.通过用坐标表示平面向量共线条件的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过运用平面向量共线的条件来解决问题提升数学运算素养.1．线段定比分点的坐标公式(1)线段定比分点的定义如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足eq\f(|\o(P1P,\s\up6(→))|,|\o(PP2,\s\up6(→))|)＝λ，即eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，λ叫做点P分有向线段eq\o(P1P2,\s\up6(→))所成的比，点P叫做有向线段eq\o(P1P2,\s\up6(→))的以λ为定比的定比分点．(2)定比分点的坐标表示设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))当λ≠－1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特别地，①当λ＝1时，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，这就是线段P1P2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P在P1P2的延长线上或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).2．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例．3．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b.()(2)已知A(0,2)，B(4,4)，则线段AB的中点坐标为(2,3)．()(3)已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9,1)．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b时，有eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)成立．()2．做一做(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知向量a＝(2，－3)，若a＝2b，则b＝()A．(4，－6) B．(－6,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))(3)若平面内三点A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共线，则m为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2(4)已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量，则D点的坐标为____.题型一向量数乘运算的坐标表示例1设向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量：(1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b.[跟踪训练1]在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对称中心为O，则eq\o(CO,\s\up6(→))等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))题型二向量数乘运算的简单应用例2已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1 B．1，－2C．2，－1 D．－1,2[跟踪训练2]已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求λ与y的值．题型三向量共线例3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝____.(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？题型四三点共线问题例4(1)若点A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(x,1)共线，则x＝____.(2)设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[跟踪训练4]已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线；(2)当向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？题型五向量共线的应用例5(1)线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且eq\o(M1M,\s\up6(→))＝－2eq\o(MM2,\s\up6(→))，则点M的坐标为()A．(3,8) B．(1,3)C．(3,1) D．(－3，－1)(2)在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，求点M的坐标．[变式探究]若将本例(2)中的“eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))”改为“eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))”，其他条件不变，再试求M点的坐标．[跟踪训练5](1)已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))满足eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，求λ及y的值．(2)如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标．1．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．1 D．22．设点P是P1(1，－2)，P2(－3,5)连线上一点，且eq\o(P2P,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PP1,\s\up6(→))，则点P的坐标为()A．(5，－9) B．(－9,5)C．(－7,12) D．(12，－7)3．(多选)已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标可能是()A．(－9,6) B．(－1，－2)C．(－7，－2) D．(6，－9)4．与a＝(12,5)平行的单位向量为____.5．平面内给出三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求解下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.一、选择题1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)B．a＝(－1,2)，b＝(5,7)C．a＝(3,5)，b＝(6,10)D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6)2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与eq\o(AB,\s\up6(→))平行且方向相反的向量a可能是()A．(1，－2) B．(9,3)C．(－1,2) D．(－4，－8)3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)4．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，tanα))，b＝(cosα，1)，且a∥b，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝()A．－eq\f(\r(2),3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)5．(多选)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，则下列结论正确的是()A．直线OC与直线BA平行B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))二、填空题6．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝____.7．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝____.8．已知两点A(1,0)，B(1，eq\r(3))，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°.若eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ＝____.三、解答题9．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－x，－3－y)，其中O为坐标原点．(1)求线段AB的中点M的坐标；(2)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；(3)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，求x，y的值．1．已知A，B，C三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求证：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).2．已知P1(2，－1)，P2(－1,3)，P在直线P1P2上，且|eq\o(P1P,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(PP2,\s\up6(→))|.求点P的坐标．6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.2.能用坐标表示平面向量共线的条件．教学重点：1.平面向量数乘运算的坐标表示.2.平面向量共线定理的坐标表示．教学难点：平面向量的共线问题．核心素养：1.通过用坐标表示平面向量共线条件的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过运用平面向量共线的条件来解决问题提升数学运算素养.1．线段定比分点的坐标公式(1)线段定比分点的定义如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足eq\f(|\o(P1P,\s\up6(→))|,|\o(PP2,\s\up6(→))|)＝λ，即eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，λ叫做点P分有向线段eq\o(P1P2,\s\up6(→))所成的比，点P叫做有向线段eq\o(P1P2,\s\up6(→))的以λ为定比的定比分点．(2)定比分点的坐标表示设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))当λ≠－1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特别地，①当λ＝1时，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，这就是线段P1P2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P在P1P2的延长线上或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).2．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例．3．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b.()(2)已知A(0,2)，B(4,4)，则线段AB的中点坐标为(2,3)．()(3)已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9,1)．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b时，有eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)成立．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．做一做(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知向量a＝(2，－3)，若a＝2b，则b＝()A．(4，－6) B．(－6,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))(3)若平面内三点A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共线，则m为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2(4)已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量，则D点的坐标为____.答案(1)D(2)C(3)A(4)(1，－1)题型一向量数乘运算的坐标表示例1设向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量：(1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b.[解](1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)．(2)a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．(3)3a＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a＋5b＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．[跟踪训练1]在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对称中心为O，则eq\o(CO,\s\up6(→))等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))答案B解析eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)(1,10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).题型二向量数乘运算的简单应用例2已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1 B．1，－2C．2，－1 D．－1,2[解析]因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))解得λ1＝－1，λ2＝2.[答案]D利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．[跟踪训练2]已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求λ与y的值．解(1)设B(x1，y1)，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1.所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))题型三向量共线例3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝____.(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解析](1)因为a＝(1,2)，b＝(2,3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.(2)解法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，因为λ＝－eq\f(1,3)<0，所以ka＋b与a－3b反向．解法二：由题意知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).这时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．所以当k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．[答案](1)2(2)见解析向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟踪训练3]已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b与c共线，则k＝____.答案1解析因为a－2b＝(eq\r(3)，3)与c＝(k，eq\r(3))共线，所以3k＝eq\r(3)×eq\r(3)，故k＝1.题型四三点共线问题例4(1)若点A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(x,1)共线，则x＝____.(2)设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－1,4)．因为点A，B，C共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线．所以7×4－eq\f(7,2)(x－1)＝0，解得x＝9.(2)解法一：若A，B，C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，则存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(10－k，k－12)．所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－k＝λ10－k，,－7＝λk－12，))解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．解法二：由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．[答案](1)9(2)见解析三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．[跟踪训练4]已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线；(2)当向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4，x)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，∴x2＝4，解得x＝±2.(2)由已知得eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，此时A，B，C三点共线．又eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，∴A，B，C，D四点在一条直线上．综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．题型五向量共线的应用例5(1)线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且eq\o(M1M,\s\up6(→))＝－2eq\o(MM2,\s\up6(→))，则点M的坐标为()A．(3,8) B．(1,3)C．(3,1) D．(－3，－1)(2)在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，求点M的坐标．[解析](1)设M(x，y)，由eq\o(M1M,\s\up6(→))＝－2eq\o(MM2,\s\up6(→))，得(x－1，y－5)＝－2(2－x,3－y)．由向量相等，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－22－x，,y－5＝－23－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴点M的坐标为(3,1)．故选C.(2)∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4，3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0,5)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,3)．∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝(xC，yC)＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))).∴点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))).同理可得点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))).设点M的坐标为(x，y)，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2))).∵A，M，D三点共线，∴eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线．∴－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①而eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))，∵C，M，B三点共线，∴eq\o(CM,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线．∴eq\f(7,4)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20.②由①②，得x＝eq\f(12,7)，y＝2.∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)).[答案](1)C(2)见解析[变式探究]若将本例(2)中的“eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))”改为“eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))”，其他条件不变，再试求M点的坐标．解∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0,5)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,3)，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，∴C点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))，同理D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，设M的坐标为(x，y)，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2)))，∵A，M，D三点共线，∴eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线．∴－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，①又eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,3)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4,3)))，C，M，B三点共线，∴eq\f(4,3)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,3)))＝0，即x－3y＋5＝0，②由①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(11,5)，∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(11,5))).1．两个特殊点的坐标公式(1)中点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点为P(x，y)，则x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2).(2)重心坐标公式：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).2．由向量共线求交点坐标的方法[跟踪训练5](1)已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))满足eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，求λ及y的值．(2)如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标．解(1)∵eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－3，y－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，y－2))，eq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8－\f(1,2)，3－y))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,2)，3－y))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，y－2))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,2)，3－y)).由向量相等，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＝－\f(17,2)λ，,y－2＝λ3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,17)，,y＝\f(49,22).))(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线，故设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2－4，6－0)＝(－2,6)．由eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0.解得λ＝eq\f(3,4).∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)＝(3,3)．故点P的坐标是(3,3)．1．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．1 D．2答案A解析a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2).2．设点P是P1(1，－2)，P2(－3,5)连线上一点，且eq\o(P2P,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PP1,\s\up6(→))，则点P的坐标为()A．(5，－9) B．(－9,5)C．(－7,12) D．(12，－7)答案C解析∵eq\o(P2P,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PP1,\s\up6(→))，∴P2是P1P的中点，∴P(－7,12)．故选C.3．(多选)已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标可能是()A．(－9,6) B．(－1，－2)C．(－7，－2) D．(6，－9)答案ABD解析设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－3，y＋6)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－8,8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴eq\f(x－3,－8)＝eq\f(y＋6,8)，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，A，B，D均符合．故选ABD.4．与a＝(12,5)平行的单位向量为____.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))解析设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,12y－5x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12,13)，,y＝\f(5,13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(12,13)，,y＝－\f(5,13).))5．平面内给出三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求解下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(3)∵a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，又(a＋kc)∥(2b－a)，∴2(3＋4k)＝－5(2＋k)，∴k＝－eq\f(16,13).一、选择题1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)B．a＝(－1,2)，b＝(5,7)C．a＝(3,5)，b＝(6,10)D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6)答案B解析A中，a＝(0,0)与b＝(1，－2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中，a＝(3,5)与b＝(6,10)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中，a＝(2，－3)与b＝(4，－6)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．故选B.2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与eq\o(AB,\s\up6(→))平行且方向相反的向量a可能是()A．(1，－2) B．(9,3)C．(－1,2) D．(－4，－8)答案D解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1，2)，∴(－4，－8)满足条件．3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)答案D解析由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．4．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，tanα))，b＝(cosα，1)，且a∥b，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝()A．－eq\f(\r(2),3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案C解析因为a∥b，所以eq\f(1,3)－tanαcosα＝0，即eq\f(1,3)－eq\f(sinα,cosα)·cosα＝0，所以sinα＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\f(1,3).故选C.5．(多选)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，则下列结论正确的是()A．直线OC与直线BA平行B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))答案ACD解析因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→))，所以B错误；因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,2)＝eq\o(OB,\s\up6(→))，所以C正确；因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以D正确．二、填空题6．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝____.答案2解析∵a∥b，∴n2－4＝0，∴n＝2或n＝－2，又a与b方向相同，∴n＝2.7．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝____.答案(－6,21)解析eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q是AC的中点，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知两点A(1,0)，B(1，eq\r(3))，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°.若eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ＝____.答案1解析由题意，可设C(－x，eq\r(3)x)(x＞0)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)x)，又eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，得(－x，eq\r(3)x)＝－2(1,0)＋λ(1，