2020版高考数学(文)刷题小卷练15Word版含解析

刷题小卷练15解三角形及应用小题基础练?一、选择题1．[2019·沙模拟长]已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为

a，b，c，若

ππA＝6，B＝4，a＝1，则

b＝(

)A．2

B．1C.3D.2答案：D2asinB2分析：由正弦定理得b＝sinA＝1＝2.2．[2018·国卷全Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，a2＋b2－c2)b，c.若△ABC的面积为4，则C＝(ππA.2B.3ππC.4D.6答案：Ca2＋b2－c2分析：∵1C＝2abcosC1S＝absin4＝4＝abcosC，22sinC＝cosC，即tanC＝1.π∵C∈(0，π)，∴C＝4.应选C.π3．在△ABC中，已知C＝3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝()A．27B.7C．22D．23答案：D分析：由S＝1absinC＝2a×3＝23，解得a＝2，由余弦22定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝23.4．[2019·东广雅中学、广江西南昌二中联合测试]已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC：sinA＝( )A．2：3B．4：3C．3：1D．3：2答案：C分析：由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(BC)＝sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝3：1.应选C.5．[2019成·都摸底测试]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为( )ππA.2B.3ππC.4D.6答案：A分析：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC3sinCcos2C，∴2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，求得tan2C＝1.∵B3＝2C，∴C为锐角，∴tanC＝πππ3，∴C＝，B＝，A＝.应选3632A.6．非直角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，π已知c＝1，C＝3.若sinC＋sin(A－B)＝3sin2B，则△ABC的面积为( )A.153B.1544213333C.4或6D.28答案：D分析：由于sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝6sinBcosB，由于△ABC非直角三角形，所以cosB≠0，所以sinA＝3sinB，即a＝3b.π又c＝1，C＝3，由余弦定理得a2＋b2－ab＝1，联合a＝3b，21132π33.应选D.可得b＝，所以S＝absinC＝bsin＝2872237．[2019·徽皖江名校大联考安]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝( )A．2B．4－23C．4＋23D.6－2答案：A分析：在△ABC中，由a＝c知△ABC为等腰三角形，所以6－2b＝2c·cosA＝2×(6＋2)×＝2.应选A.8．[2019石·家庄高中毕业班模拟考试]在△ABC中，AB＝2，πC＝6，则AC＋3BC的最大值为( )A.7B．27C．37D．47答案：D5ππ分析：∵C＝6，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝6.由正弦定理，得sinBAC＝sinABC＝sinCAB＝21＝4，∴BC＝4sinA，AC＝4sinB，∴AC＋325πBC＝4sinB＋43sinA＝4sin6－A＋43sinA＝2cosA＋63sinA＝47sin(A＋φ)此中tanφ＝3π∴当A＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时，AC923BC获得最大值，为47.应选D.二、非选择题9．[2019·南长沙模拟湖]△ABC的周长等于2(sinA＋sinB＋sinC)，则其外接圆半径等于________．答案：1分析：设外接圆半径为R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋ba＋b＋c＋c，得＝2①.依据正弦定理知a＋b＋c＝2RsinAsinA＋sinB＋sinC2Rsinb＋2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1.10．[2019·海杨浦区模拟上]若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则△ABC面积的最大值是____________．答案：1分析：在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面积1111×a＋b21S＝ab·sinC＝ab·sin30＝°ab≤2＝×4＝1，当且仅当22444a＝b＝2时取等号．所以△ABC面积的最大值是1.11．[2019·海长宁、嘉定区模拟上]在△ABC中，内角A，B，所对的边分别为a，b，c.若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.2π答案：3分析：由于(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，整理得a2＋c2－b2＝－ac，所以a2＋c2－b2＝－1，即cosB＝－1又B∈(0，π)，所以B＝2ac2π223.12．[2019贵·阳监测]△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且知足a＝4，asinB＝3bcosA，则△ABC面积的最大值是________．答案：43分析：由正弦定理可得sinAsinB＝3sinBcosA，得sinA＝3π222cosA，则tanA＝3，所以在△ABC中，A＝3.又a＝b＋c－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以bc≤16(当且仅当b＝c1133，所以△ABC时取等号)．所以S△ABC＝bcsinA≤×16×2＝422面积的最大值为43.课时增分练?一、选择题1．[2019河·北省名校联考]△ABC中，内角A，B，C对应的1边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝2asinC，则sinB的值为( )3A．－4B.41C.4D.3答案：C分析：由正弦定理，得b2－a2＝12ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，a2＋c2－b237所以cosB＝2ac＝4，所以sinB＝4.2．[2019贵·阳模拟]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，2a＋bC所对的边，若cosA＋sinA－cosB＋sinB＝0，则c的值是( )A．1B.23D．2答案：B分析：由cosA＋sinA－2＝0得，π2sinA＋·2cosB＋sinB4ππππsinB＋4＝2，即sinA＋4sinB＋4＝1，又sinA＋4≤1，＋ππ＋π≤1，∴sinA＋＝sinB＝1，又A、B是△ABC的sinB444ππ2a＋b内角，∴A＝B＝4，C＝2，∴a＝b＝2c，c＝2，应选B.3．[2019江·西赣州模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且知足2acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝4，则a的最小值为( )A．2B．22C．3D．23答案：A分析：由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，故cosA＝1，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a2＝22bcb＋c2－2bc－a212bc＝2，2＝16－3bc≥16－3×b＋c2＝4(当且仅当b＝c＝2所以a2时，等号建立)，所以a的最小值为2.应选A.π4．[2019天·津河东区模拟]在△ABC中，b＝5，B＝4，tanA＝2，则a的值是()A．102B．210C.10D.2答案：B分析：∵在△ABC中，tanA＝cosAsinA＝2，sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝25πa55及正弦定理可得＝，解得.由b＝5，B＝425252a＝210.应选B.5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝232，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆的面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π答案：C分析：由于bcosA＋acosB＝2，所以由余弦定理可得，2222222，b×b＋c－a＋a×a＋c－b＝2，整理解得c＝2，又cosC＝22bc2ac3可得sinC＝1R，则2R1－cos2C＝.设△ABC的外接圆的半径为3sinCc＝6，所以R＝3，所以△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π.6．已知△ABC的一个内角为120°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且知足a＝b＋4，c＝b－4，则△ABC中最小角的余弦值为( )9A.7B.1411C.14D.14答案：C分析：由于a＝b＋4，且c＝b－4，所以A>B>C，则A＝120°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b×(b－4)×－1，得b＝10，所以a＝14，c＝6，cosC＝a2＋b2－c222ab1314，应选C.7．[2019·东佛山教课质量检测广]在△ABC中，内角A，B，π11C的对边分别为a，b，c.若a＝5，B＝3，cosA＝14，则△ABC的面积S＝()A.103B．103C．103D．203答案：C分析：由cosA＝11得sinA＝53，由正弦定理得a＝b?1414sinAsinB3b＝7，又sinC＝sin(A＋B)＝7，所以△ABC的面积S＝12×5×7×473＝103.8．[2019河·南联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别π3sin2C为a，b，c.若A＝3，cosC＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝( )A．2B．3C．4D．6答案：C分析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×12＝b2＋c2－bc，又3sin2Ca2＋b2－c2cosC＝2sinAsinB，由正弦定理可得3c2＝2ab·2ab，即a2b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0，又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4，c＝－6(舍)．应选C.二、非选择题9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，则c________.答案：10分析：由于a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，所以ab＝23，ab＝2，又2cos(A＋B)＝1，所以cosC＝－12，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab＝10，得c＝10.10．[2019·郑州模拟]如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通讯塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通讯塔CD的高为________米．答案：60分析：在Rt△ABM中，AM＝AB＝30－103＝30－103sin15°sin15°6－24206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，由于∠CAN30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，AC所以

＝AM＝206，所以°sin∠ACMsin30°

AC＝60＋20

3，所以

CN30＋103，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.11．[2018全·国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝9