推导光衍射光强分布公式新方法的探究

推导光衍射光强分布公式新方法的探究05物理学江进指导老师余建立摘要：光的衍射是光学中的重要内容之一，而光具有波粒二象性。分别从粒子性和波动性出发，采用量子力学中的几率波概念和傅立叶变换方法。粒子性角度，首先给出微观粒子的归一化波函数，再对坐标表象下的波函数进行付氏变换，对变换后的函数求积分，得出夫琅和费单缝和多缝衍射光强分布规律；波动性角度，采用傅立叶变换给出光屏上某点光的振幅表达式，对振幅表达式求积分，得出夫琅和费单缝和多缝衍射光强分布规律。两种方法所得的结果与大学物理教材中所采用的惠更斯-菲涅耳原理给出的结论一致，讨论的结果有助于更好的认识和理解光衍射的实质，对教学具有一定的指导意义。关键词：衍射；物质波；傅立叶变换；单缝；多缝Newmethodderivationoflightdiffractionintensity

distributionformulaisexplored05PhysicsJiangJinInstructorYuJianLiAbstract:Diffractionoflightisanimportantpartinoneoftheopticalwithwave-particleduality.Inmyview,thinkofparticlesandvolatility,wecanusethemethodoftheconceptofprobabilitywaveandFouriertransformParticlesinquantummechanics.Fromtheviewofparticle,firstofall,wegivewavefunctionnormalizedofmicro-particleandthendoFouriertransformunderthecoordinateappearanceofthewavefunction.Tocalculatetheintegraloftransformedfunction,getthelawoffraunhofersingle-slitandmulti-slitdiffractionoflightintensitydistribution.Fromtheviewofvolatility,usetheFourierTransformtogetamplitudeexpressionofonepointonlightofplane.Andthenwecansolvetheintegrationofamplitudeexpression,usethismethod,wecouldalsogetthelawoffraunhofersingle-slitandmulti-slitdiffractionoflightintensitydistribution.TheresultoftwomethodsisthesameastheresultsofHuygens-fresnelPrincipleinthecollegephysicstextbook.Theresultofdiscussionisbettertohelpustounderstandthelightdiffraction.Ithasacertainsignificancetoteach.Keywords:diffraction;Matterwave;FourierTransform;Single-slit;multi-seam1引言光的衍射是波动光学中的重要内容之一[1]衍射分为两类：一类是光源和观察点（或两者之一）到障碍物的距离为有限远，称为菲涅耳衍射；另一类是光源和观察

点到障碍物的距离为无限远，称为夫琅和费衍射。一般教材IE都是从光的波动性出发，通过子波相干叠加来描述夫琅和费衍射现象，在实际应用中处理一般问题时，计算过程都较为复杂，所以教材中在处理夫琅和费衍射时一般都采用复振幅矢量叠加的方法来简化处理。1905年，爱因斯坦提出光子假说，认为一束光就是一束以光速运动的粒子流，并依此建立起光电效应方程，全面说明了光电效应的实验规律。此后许多实验都表明光既具有波动性，又具有粒子性，即光具有波粒二象性。文献［3-9］都对夫琅和费单缝和双缝衍射现象做了讨论，但是多缝情况并未涉及。本文分别从光的粒子性和光的波动性出发，采用微观粒子几率波函数和傅立叶变换两种方法，讨论夫琅和费单缝衍射和夫琅和费多缝衍射光强分布规律。2从光的粒子性角度探究光衍射光强分布规律2.1单缝衍射的光强分布规律在光的单缝衍射实验中，设入射光波长为久，缝宽为«，入射光子的动量为p，方向垂直于单缝所在的平面，如图1建立坐标。1cc1cc—8(y-y)8(z)V—00在单缝所在平面上，设在坐标表象中，光子的归一化波函数为［1。］aa-—<X〈一,一8<y<8,—8<z<822X>—,一8<y<8,-8<z<82

则t=0时刻，在动量表象中，动量取确定值P的几率波幅为［1-2］TOC\o"1-5"\h\z平（一0）二（2J）3/2扁（顽°一：P了d3r（2）即甲一工jjjk(j—j)3(乙z)e一力3产py：y+财)dxdydz(3)(P,0)(2啪3/2如’0(P,0)1(2兀方)3/2-(P,0)1(2兀方)3/2-；(P，x+Pyy0)dx(P,0)1(2兀方)3/2a-e—ipyy0/h-f上e一npxxdx、(aa112方.apgP,0)=顽两•°一"。.显云x.—sin也1

积分得g%)=\12£~o^•佥e—iPyy0/力x2方⑷⑸⑹⑺由于光子的出射方向（即衍射方向）0满足sin。=P，再由得布罗意关系P=!，则竺x=竿sin0，因此在衍射角为0方向光子出现的几率为2方人”"*•(P，0).仰’°)=a2兀方2兀方sin2(?sin0)(:sin0)2令"=SAX，则sin2(?sin0)光强分布：I=|甲（po）12=A(竿sin0)2人（9）式与文献［1］中用矢量图解法或复数积分法的计算结果一致2.2多缝衍射的光强分布规律对于多缝衍射，同样可设入射光波长为久，缝宽为，，入射光子的动量为p，光强分布：I=|甲（po）12垂直于多缝所在的平面，如图2建立坐标。图2在多缝所在平面上，坐标表象中，设光子的归一化波函数为平=1(顽1■.■a(N-1)d一a<x<(N-1)d+a,一8<y<8,—8<z<22(N-1)d+a<x<Nd-a,-8<y<8,-8<z<822则t=0时刻在动量表象中，动量取确定值P的几率波幅为甲(p,0)1扁(r,0)e-Rd3r(2威)3/2即平(P,0)―1—jjjL5(y-y)5(z)ePyy+P^z)dxdydz(2兀力)3/2、ja"0(10)(11)(12)中=一(P，0)(2兀方)3/2aa11工f工11i气ie-pyy0te-Pxxdx+e-p。。Ie-Pxxdx+—e力y0e力xctx+.—e力y0e力xctx+va(2兀方)3/2*a2d十a

i2ie-九「*je-hP，x(2兀h)3/27aa““x(N-1)d+2dx++e-方pyy。je(2兀方)3/2.<a-LhpxXdX(13)1/c工、(2兀方)3/2a,aidT2『『dx+jei/xx2d十a2-xdx+e-(2兀方)3/2a(N-1)d-2ax(N-V+2x\PXX-p//力xux十•…十e力xux)(14)2d-a2a(N-1)d-2sin(吧2方apx2方i

+e-hpxpx3d(15)我们可以看到1+e-冲+…+e5N-1)d为一等比数列，其公比为e^X，求和得(16)分子可以写为-E(e-护-e>e2h(:)(T)=-iesinLN2方(17)分母可以写为-ie-京sin业2方因此求和得1+e-lhpxd+e一ipx3d+...+e-；px(N-1)-■，pNd_1.sinpxNdehx-1_〃-$(n-1)d2he2h.pdsin—2方(18)x.a(2兀力)3/2ip-v,将结果eF(N-1)dsin/当代入上式得.pdsin一2力所以中(p,0)=必•,ap、.pNdsin(—)sin:p,y°e-2(n-1)d2力2力方y0e2方apX2力pdsin—^-2力(19)又有sin6=p，p:sin6。代入上式得人..sin("sin9)sin(攀sin9)(20)(21)中-0=如一:Pyy0e莺(NT)d£(20)(21)，(sin9)sin(sin9)入入对于多缝衍射光强分布为冗。冗Nd.sin2^-sin9)sin2(—sin9)I=b2=A2L(p，0)^^Rd.(—-sin9)2sin2(——sin9)入入3从波动性角度探究光衍射光强分布规律3.1单缝衍射的光强分布规律谐振子在各向同性介质中激发的波按e，的规律随时间传播，光是一种电磁波，点光源发出的光波是一组球面波，设点光源位于坐标原点处，以速度u在电容率为e的介质中传播，当光波达到半径为尸的球面时，光振动的分布是,，t的函数。可表为TOC\o"1-5"\h\zE(r,t)=E(r)e.^(t-r/v)=E(r)e，伽-kr)(22)其中k=必/r=2兀/L称为波数，E(r,t)为光矢量。点光源从原点处发出的球面波，在单位时间内通过各球面的能量是一定的，单位时间内通过整个球面的能量为1,,，、w=2£|E|2U(23)V为单位时间内光矢量所在空间的体积，于是1,一、W=--4兀r2£|E2u(24)所以：E(r)=：E。(25)式中Eo是与光源振动有关的常数，K是与介质有关的常数，则E(r,t)=^-E^，(wt-kr)(26)为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项e，wt可省去。在光学系统中，光从出射光瞳射出。一般来说，光瞳设置在平面上。取光瞳坐标为(xo,yo)，观察平面的坐标为(x,y)。两坐标系相平行，原点在它们公共的垂线上，相距为z，如图3所示。

光瞳面上任一点S(x0,y0)到观察面上某点P(x,y)的距离为1r=[(x-x0)2+(y-y)2+z2]2由式(26)知，光是从S点以球面波"e-光瞳面上任一点S(x0,y0)到观察面上某点P(x,y)的距离为1r=[(x-x0)2+(y-y)2+z2]2由式(26)知，光是从S点以球面波"e-kr的形式传播到P点的。如果S点的振(27)幅为E(x0,y0)，则在P点光的矢量为―K_E(x,y)=一E(x,y)e*(28)实际上，S点传播的球面波到P点的振幅还与衍射方向有关，所以式(28)还应乘以与衍射方向有关的因子A(无,无)。为求P点光的振幅，需先选取包含S点在内的小0面积dx0dyQ，P点总的振动为E(x,y)=jjE(x,y)a(x,x)—e-ikrdxdy£0r(29)其中£为出射光瞳面积如果仅考虑旁轴光束因子a(X,x)可近似等于一常数。0)1e-ikrdxdy

0r00(30)为便于计算，设光瞳面与观察面相距很远值为可以认为r=R(参见图3)。r的近似1r=[3"+3-*)+2]2=[R2+x2+y2一2xx-2yy]2=R+%+y000002Rxx+yy—0Q-R(31)1x2+y2则E(x,y)=KjjE(%,y0)-e-(R+02R—*^产)dxdy00(32)在r=R即在远场近似情况下k尤k尤02+*202R0远小于1E(x,j)=K土jjE(x0,jQ)eikXX(0L°d%dy0(33)£式(33)为远场近似情况下的衍射(称为夫琅和费衍射)表达式。注意(33)式的形式，发现它与二维傅立叶变换的形式完全相同，即光波在P点的E(x,y)是光瞳函数E(xo,yo)的二维博立叶变换。当出射光瞳的宽度相对其长度很窄时，即对线光源P点振幅的表达式由(33)式演化为aE(x,y)=犬土jE(x)eikxx0zdx(34)z00a—2显然(34)式和一维傅立叶变换式G(f)=jg(x)e*dx(35)—s在形式上也是完全相同的，(34)式与(35)式比较有以下对应关系g(x)E(x)0f—(36)人z如将(35)式记为(37)s(37)G(f)=F{g(x)}=jg(x~)ei2^fzdx—s则(34)式可写为

e-ikz.E(x,y)=K——F{E(x)}(38)Z—可见，若要求得观察平面上的光强分布，只要把表示出瞳光源的光强分布进行傅立叶变换，其中把傅立叶变换的，值用二置换即可，这就是说只要计算出瞳光源的傅立叶变换，就能求出观察面上的光强分布。由(36)式可以看出，f的量纲是lt，称f为空间颇率，单位是线对/mm，线对/cm。为简便，把(34)式前的常数省略，则aE(x,y)=fE(x)enfdxa—2如果狭缝上有均匀的照度，其值为A，则长度为a的狭缝上光的振幅为nnE(x)j。(-2<X。>2)0|0(|x°|>2)a则E(x,y)=fAei2fdx=——(eif—e-if)=Aa‘也002f•0fa—2所以，长为a的缝光源在观察面上所形成的光强分布为I(x,y)=|E(x,y)|2=A2a2^^^0③fa)2其中f=-—，对于衍射情况sin0=tan0=x，0为衍射角，令A=Aa，人zz0sin2(竽sin0)所以I(x,y)=|E(x,y)|2=A——卜(?sin0)23.2多缝衍射的光强分布规律由单缝情况的讨论，对于多缝情况，每条缝的振幅分布应为e—ikzE(x,y)=KJE(x)eikxx0/zdxx0(39)(40)(41)(42)(43)(44)显然多缝情况下(44)式和一维傅立叶变换式

(45)(46)军(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)G(f)=』g(x)ei2冗fzdx一3在形式上仍然是完全相同的，(44)式与(45)式比较有以下对应关系g⑴E(%)x人z如将(45)式记为涔G(f)=F{g(x)}=jg(x)ei^^zdx则(44)式可写为e-ikzE(x,j)=K一F{E(x)}(47)Z气e-ikz则E(x,j)=KjE(x泌2碗0dx(48)x0可见对于多缝情况同样可以采用对出瞳光源的光强分布进行傅立叶变换，得到观察面上的光强分布。若狭缝上有均匀的照度，其值仍为Ao，长度为。，则狭缝上光的振幅为rTOC\o"1-5"\h\zaaE(x)=j^o("一项一2<xo<("一项+2(49)00(N-1)d+2<xo<Nd-2(其中N与d与图2中表示的意义相同)对E(x)进行傅立叶变换，得到式(48)，令A=kUa，对x空间全积分得01z00a.aaaa.aaa2dJ2d「2(N—1)d+2E(x,j)=jAei2nfx0dx+jAei2g0dx+jAe/2g0dx+…+jAe^fdx010(N—1)d—a21a—201,ad—21a2d—2Aiei2酒*2d(eif—e—if)2f1(eif—e-if)+1ei2酒Aiei2酒*2d(eif—e—if)2f++—ei2株(n-1)d(eif—e-if)2f,sin冗fa,sin冗fa,sin冗fa,sin冗fa=Aa+Aae^f+Aaemf2d++Aae眼f(n-1)d1f1f1f1f

4sin循a、=Aa—f^(1+ei2f+ei2硬2d++ei2时(n-1)d)(50)对1+eg+ei2f2d+...+e伽(N-i)d求和,ei2nfNd—11+ei2nfd+ei2时2d++ei2时(N-1)d=ei2f—1(51)八—ei^fNd—e-i^fNd分子ei2啪d—1=ef(_)(2i)=2iefsin冗fNd2i(52)分母emfd—1=eif(eif—e—if2)(2i)=2ieifsin冗fd(53)所以有1+ei24sin循a、=Aa—f^(1+ei2f+ei2硬2d++ei2时(n-1)d)(50)对1+eg+ei2f2d+...+e伽(N-i)d求和,ei2nfNd—11+ei2nfd+ei2时2d++ei2时(N-1)d=ei2f—1(51)八—ei^fNd—e-i^fNd分子ei2啪d—1=ef(_)(2i)=2iefsin冗fNd2i(52)分母emfd—1=eif(eif—e—if2)(2i)=2ieifsin冗fd(53)所以有1+ei2酮+ei2^f2d++4河(N—1)d=ei2^fNd—1sinnfNd=e河(N—1)de&fd—1sin循d(54)因此E(尤,y)=A1a，%：emf(n—1)dsinnfNd

sin循d(55)(56)(57)(58)光的衍射是波动光学中的重要内容之一，本文