2020版高考数学第2章函数导数其应用第11节导数应用(第2课时)导数与函数极值最值教学案

第2课时导数与函数的极值、最值利用导数解决函数的极值问题?考法1依据函数图象判断函数极值的状况【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′( )，且函数y＝(1－)f′( )的图象如xxx图所示，则以下结论中必定建立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此能够获得函数f(x)在x＝－2处获得极大值，在x＝2处获得极小值．]?考法2求已知函数的极值【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，议论f(x)的极值状况．[解]∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)(x－1)(ex－2a)，∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln2a.①当

ea＝2时，f′(x)＝(x－1)(e

x－e)≥0，∴f(x)单一递加，故f(x)无极值．e②当

0＜a＜2时，ln2

a＜1，当

x变化时，

f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x

(－∞，

ln2

a)

ln2

a

(ln2

a,1)

1

(1，＋∞)f′(x)

＋

0

－

0

＋f(x)

极大值

极小值故f(x)有极大值

f

(ln2

a)＝－a(ln2

a－2)2，极小值

f(1)

＝a－e.e③当

a＞2时，ln2

a＞1，当

x变化时，

f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x

(－∞，1)

1

(1，ln2

a)

ln2

a

(ln2

a，＋∞)f′(x)

＋

0

－

0

＋f(x)

极大值

极小值故f(x)有极大值

f(1)

＝a－e，极小值

f

(ln2

a)＝－a(ln2

a－2)2.综上，当0＜a＜e2时，f(x)有极大值－a(ln2a－2)2，极小值a－e；e当a＝2时，f(x)无极值；e2当a＞2时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln2a－2).?考法3已知函数极值求参数的值或范围【例3】(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)若函数f(x)＝ex－lnx＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为( )aA．(－e2，－e)B.－∞，－e2C.－∞，－1D．(－∞，－e)2a2＋3a－－1＝0，(1)－7(2)D[(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则b－6a＋3＝0，a＝1，a＝2，解得或＝9，＝3bb经查验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处没法获得极值，而a＝2，b＝9知足题意，故a－b＝－7.a∵f′(x)＝e－x＋2a，(x＞0)xex∴由f′(x)＝0得a＝1－2x.xe令g(x)＝1－2x(x＞0)．由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点．exx＋x－又g′(x)＝－－2x2(x＞0)，1由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠2.由g′(x)＜0得x＞1.∴函数g(x)在110，，，1上递加，在(1，＋∞)上递减．22又g(0)＝0，g(1)＝－e，联合图形(图略)可知a∈(－∞，－e)，应选D.][规律方法]1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领列式：依据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．考证：由于一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后一定考证根的合理性．(1)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则实数c的值为( )A．2或6B．22C.3D．6(2)(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，则实数a的取值范围是( )11A.－∞，2B.0，21D.0，1C.－∞，22c(1)D(2)A[(1)法一：f′(x)＝(x－c)(3x－c)，当f′(x)＝0时，x1＝3，x2＝c.由于极大值点是x＝2，c所以c＞0，而且3＜c.c当x∈－∞，3时，f′(x)＞0，c当x∈3，c时，f′(x)＜0，当x∈(c，＋∞)时，f′(x)＞0，cc所以x＝3是极大值点，3＝2，解得c＝6.应选D.法二：由于f′(x)＝(x－c)(3x－c)．又由于f(x)在x＝2处取极值，所以f′(2)＝0，即(2－c)(6－c)＝0.所以c＝2或c＝6.当c＝6时，f′(x)＝3(x－2)(x－6)，易知x∈(－∞，2)和x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数，x∈(2,6)时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数，此时x＝2为极大值点．当c＝2时，f′(＝3(x－2)x－2，易知x∈－∞，2和x∈(2，＋∞时，′(＞，函x)33)fx)0数f(x)是增函数，x∈2时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数，此时x＝2是极小值点．，23所以c＝6.应选D.(2)f(x)＝xlnx－ax2(x＞0)，f′(x)＝lnx＋1－2ax.令g(x)＝lnx＋1－2ax，则g11－2ax′( )＝－2＝.xxax∵函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，∴g(x)＝0在(0，＋∞)上有实根．当a≤0时，g′(x)＞0，函数g(x)在(0，＋∞)上单一递加，当x趋势于0时，g(x)趋势于－∞，当x趋势于＋∞时，()趋势于＋∞，故存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x)在(0，0)上单gxx调递减，在(x0，＋∞)上单一递加，故f(x)存在极小值f(x0)，切合题意．1当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝2a.1当0＜x＜2a时，g′(x)＞0，函数g(x)单一递加；1当x＞2a时，g′(x)＜0，函数g(x)单一递减，∴＝1时，函数()获得极大值．x2agx∵当x趋势于0和x趋势于＋∞时，均有g(x)趋势于－∞，要使g(x)＝0在(0，＋∞)上有实111根，且f(x)有极值，一定g2a＝ln2a＞0，解得0＜a＜2.综上可知，实数a的取值范围是－∞，1，应选A.]2利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数

f(x)的单一区间；(2)当

a＞0时，求函数

f(x)在[1,2]

上的最小值．1[解]

(1)f′(x)＝x－a(x＞0)，①当

1a≤0时，f′(x)＝x－a＞0，即函数

f(x)的单一递加区间为

(0，＋∞)．11②当a＞0时，令f′(x)＝x－a＝0，可得x＝a，当0＜x＜1时，f′(x)＝1－ax＞0；ax11－ax当x＞a时，f′(x)＝x＜0，1故函数f(x)的单一递加区间为0，a，1单一递减区间为a，＋∞.综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单一递加区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单一递加区间为0，1，a单一递减区间为1，＋∞.a1①当0＜a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln2－2a.11②当a≥2，即

0＜a≤2时，函数

f(x)在区间

[1,2]

上是增函数，所以

f(x)的最小值是

f(1)

＝－a.③当

111＜a＜2，即2＜a＜1时，函数

f(x)在

11，a

上是增函数，在

1a，2

上是减函数．又

f(2)f(1)＝ln2－a，1所以当2＜a＜ln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[规律方法]求函数fx在[，]上的最大值、最小值的步骤ab求函数在a，b内的极值.求函数在区间端点的函数值fa，fb将函数fx的极值与fa，fb比较，此中最大的为最大值，最小的为最小值.(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x.求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间π0，上的最大值和最小值．2[解](1)由于f(x)＝excosx－x，所以f′( )＝ex(cosx－sinx)－1，′(0)＝0.xf又由于f(0)＝1，所以曲线y＝( )在点(0，(0))处的切线方程为y＝1.fxfxx－sinxx－sinx(2)设h(x)＝e(cosx)－1，则h′(x)＝e(cosx－sinx－cosx)＝－2esinx.当x∈0，π2时，h′(x)<0，π所以h(x)在区间0，2上单一递减．π所以对随意x∈0，2有h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<0.π所以函数f(x)在区间0，2上单一递减．所以f(x)在区间0，πf(0)＝1，最小值为fππ2上的最大值为2＝－2.利用导数研究生活中的优化问题【例5】已知一公司生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产此种产品x千件，而且所有销售完，每千件的销售收入为f(x)万元，且1210.8－30x，0＜x≤10，f(x)＝108－10002，x＞10.x3x(1)写出年收益(万元)对于年产品x(千件)的函数分析式．W(2)年产量为多少千件时，该公司生产此产品所获年收益最大？(注：年收益＝年销售收入－年总成本)[解](1)由题意得1210.8－xx－2.7x－10，0＜x≤10，W＝1081000x－2.7x－10，x＞10，x－32x138.1x－x－10，0＜x≤10，即W＝100098－，x＞10，3x＋2.7x13(2)①当0＜x≤10时，W＝8.1x－30x－10则′＝8.1－12＝81－x2＝＋x－x，W10x1010由于0＜≤10所以当0＜＜9时，′＞0，xxW则W递加；当9＜x≤10时，W′＜0，则W递减．所以当x＝9时，W取最大值19338.6万元．5＝②当x＞10时，W＝98－1000＋2.7x≤98－21000x＝38.3x3x×2.71000100当且仅当3x＝2.7x，即x＝9＞10时取最大值38.综上，当年产量为9千件时，该公司生产此产品所获年收益最大．[规律方法]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式

y＝f

x求函数的导数

f

x

，解方程

f

x

＝0.比较函数在区间端点和

f

x

＝0的点的函数值的大小，最大

小者为最大

小值.回归实质问题，联合实质问题作答.某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池

(不计厚度

)．设该蓄水池的底面半径为

r米，高为

h米，体积为

V立方米．假定建筑成本仅与表面积相关，侧面的建筑成本为

100元/平方米，底面的建筑成本为

160元/平方米，该蓄水池的总建筑成本为

12000π元(π为圆周率)．将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．议论函数V(r)的单一性，并确立r和h为什么值时该蓄水池的体积最大．[解](1)由于蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又依据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，1