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本文格式为Word版，下载可任意编辑——求函数值域的常用方法例谈求函数值域的常用方法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的。求函数值域问题是高中数学的重点和难点，也是高考的热点，因此，考生要熟谙并掌管常用的求函数值域的方法。下面列举几种求函数值域的常用方法。

1.查看法

从函数解析式查看，利用如等，直接得出它的值域.

例1.求函数的值域.

解：由得，所以函数的值域为.

2.分开常数法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，由于分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分开成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.

例2.求函数的值域.

解：分开常数，得，∵，∴，∴函数的值域为.

3.配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

例3.求函数的值域.

解：配方，得，又，结合图象，知函数的值域是.

4.判别式法

对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域.

例4.求函数的值域.

解：原函数可化为关于的一元二次方程.

（1）当时，，，解得；

（2）当时，，而.故函数的值域为.

5.换元法

有时候为了建立已知与未知的联系，我们往往引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被外观形式掩盖着的实质，察觉解题方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域轻易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

例5.求函数的值域.

解：令，那么，∴，

∵，∴当时，函数取得最大值，所以函数的值域为.

6.反解法

就是用来表示，利用其变形形式求得原函数的值域.

例6.求函数的值域.

解：函数可化为，可得，所以原函数的值域为.

7.单调性法

单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的根本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.

例7.求函数的值域.

解：此题可以看作和，的复合函数，

鲜明函数为单调递增函数，易验证亦是单调递增函数，

故函数也是单调递增函数.而此函数的定义域为.

当时，取得最小值.当时，取得最大值.故而原函数的值域为.

8.数形结合法

对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来查看其函数值的变化处境，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化.

例8.求函数的值域.

解：将原函数的解析式中的十足值去掉，得，

作出图象（如右图），鲜明.

所以函数的值域是.

9.根本不等式法

利用根本不等式和求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原那么是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应留神取等号成立的条件.

例9.求函数的值域.

解：，当且仅当时等号成立.

故函数的值域为.

10.导数法

若函数在内可导，可以利用导数求得在内的极值，然后再计算在，点的极限值.从而求得的值域.

例10.求函数的值域.

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