8年级数学北师大版下册课件第1章《4 角平分线》02

CONTENTS1.4.2角平分线（二）课前回顾复习回顾角平分线的性质定理及判定定理判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.课前回顾复习回顾角平分线的性质定理及判定定理，并填表格：PD⊥OAPE⊥OBPD=PE∠AOB探究新知如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？探究新知活动1

分别作出△ABC的三条角平分线问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？探究新知活动1

分别作出△ABC的三条角平分线发现：三角形的三条角平分线相交于一点.该点在三角形的内部，这点是三角形的内心探究新知活动2

过内心向三角形三边作垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？过内心作三角形三边的垂线段都相等.探究新知活动3

拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？怎么证明结论呢？三角形角平分线性质定理：三角形三个角的平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等探究新知已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上，且点P到三边AB，BC，

CA的距离相等.活动4

同理PE=PF证明：过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC∵BM是△ABC的角平分线，且PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE

又∵PF⊥AC，PD⊥AB∴点P在∠A的平分线上。∴PD=PE=PF若点P是两角平分线的交点，则AP是∠BAC的平分线且点P到三边距离相等探究新知定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF几何语言：如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).典例精讲例1如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC典例精讲EDABC解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=CD=4又∵AC=BC∠C=90°在等腰RT△BDE中，由勾股定理得

∴∠B=45°∴∠BDE=45°∴BE=DE=4典例精讲EDABC

(2)证明：∵DE⊥AB,DC⊥AC∴AC=AE又∵BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD

∴在Rt△ACD和Rt△AED中

DE=CD

AD=AD

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）分析法分析问题：从结论向已知推理课堂小结在本节课的学习中，你有哪些收获？还有哪些疑惑？

三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点

交于三角形内一点直角三角形交于斜边的中点钝角三角形交于三角形外一点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等三角形三边垂直平分线与三条角平分线对比总结：中垂线的性质是点到点的距离相等；角平分线的性质是点到边的距离相等。利用以上两个性质可得线段相等作业布置1.必做题：课本P31随堂练习、P32习题1-3题2.选做题：如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，（1）证明：CF＝EB．（2）证明：AB＝AF+2EB．随堂练习如图，是一块三角形的草坪，