《拣选15份合集》2021届全国十大名校三月大联考名师密卷数学模拟试题含解析

2021届全国十大名校三月大联考名师密卷数学模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹

清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答

题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达B处，

在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,

那么B,C两点间的距离是（）

B\

A.6a海里B.6G海里C.80海里D.8G海里

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZACD=110°,.,.ZACB=110°-65°=45°,

:.NABC=180°-30°-45°=105°.又AB=24x0.5=12.

在△ABC中，由正弦定理得

si〃45°5/7130°

12_BC

即也一；.•.BC=6万

T2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理

求解.属于中档题.

2.已知定义在R上的偶函数“X)满足〃l+x)=/(l-X),当xe[O,l]时，/(x)=—x+1,函数

g(x)=e*"(-l<x<3),则函数/(x)与函数g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数的性质可得：“X)的图像关于直线x=l对称且关于)，轴对称，函数g(x)=e*](-1<X<3)

的图像也关于x=l对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，则

/(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为4得解•

【详解】

由偶函数“X)满足/(1+%)=/(1-

可得/(x)的图像关于直线x=1对称且关于>轴对称，

函数g(x)=e+"(-l<x<3)的图像也关于x=l对称，

-1：

函数y=/(x)的图像与函数g(x)=e+T(-1<X<3)的图像的位置关系如图所示,

可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，

则“X)与g(力的图像所有交点的横坐标之和为4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

3.已知AABC中，|BC|=2,34BC=—2.点P为BC边上的动点，则PC-（P4+PB+PC）的最小值

为（）

325

A.2B.---C.—2D.---

412

【答案】D

【解析】

【分析】

以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得3（-1,0）,。（1,0）,设P（a,O）,A（x,y）,运用向量

的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值.

【详解】

以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得B（-l,O）,C（1,O）,设P（a,0）,A（x,y）,

由84-BC=—2,

可得(x+l,y>(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y#0,

则PC•(PA+PB+PC)=(l-a,0>(x-a-1-a+1-a,y+0+0)

=(1—a)(x_3a)=(1—")(—2—3a)-2>cr—a—2

当a=，时，PC（PA+PB+PC）的最小值为一生.

6''12

故选D.

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

4,从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不

同的参赛方案种数为

A.48B.72C.90D.96

【答案】D

【解析】

因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛

①当甲参加另外3场比赛时，共有C3'・A/=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有A；=24

种选择方案.综上所述，所有参赛方案有72+24=96种

故答案为：96

点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题.

5.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医

生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院3,

医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一

名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

【答案】B

【解析】

【分析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法

原理即可得到答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B,当医院B只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有用=10种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有父+C；&=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一

道中档题.

6.已知抛物线。：尸=4知（〃>0）的焦点为/,过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与》轴的

正半轴交于点S,与准线/交于点T,且|EA|=2|AS|,则略=（）

I八I

27

A.-B.2C.-D.3

52

【答案】B

【解析】

【分析】

过点A作准线的垂线，垂足为与轴交于点N,由|E4|=2|AS|和抛物线的定义可求得|75|,利用

112,,

抛物线的性质,+而后=丁可构造方程求得忸尸，进而求得结果.

\A.r\nr2P11

【详解】

过点A作准线的垂线，垂足为M,AM与》轴交于点N,

由抛物线解析式知：F（p,O）,准线方程为x=-p.

照=2阕，.扁=；，.•.|科=押=个小用],

41O

由抛物线定义知：|Ab|=|AM|=§p,.•.|AS|=]|A曰=§p,.,.|5月=2〃，

.•.网=|阴=2”.

1121311,,

由抛物线性质的+网=力=力得：而+网=7解得」叫=4〃，

.因=竺

.・西一石

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.

7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

用列举法，通过循环过程直接得出S与〃的值，得到〃=8时退出循环，即可求得.

【详解】

1]13

执行程序框图，可得S=0,n=2,满足条件，S=—,n=4,满足条件，S=-+-=-,n=6,满

2244

足条件，S=4+’+1=LL,〃=8,由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为UX8=N.

24612123

故选D.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S与〃的值是解题的关键，难度

较易.

1%+

8.各项都是正数的等比数列｛《,｝的公比且生,不生，4成等差数列，则的值为（

2%+

1—5/5+1

A.----B.-加----

22

C.叵11D.叵或叵11

222

【答案】C

【解析】

分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比

q所满足的等量关系式，解方程即可得结果.

详解：根据题意有4+4=2・；。3,即/—4一1=0,因为数列各项都是正数，所以q=且，而

22

%+412石T山j

———i=-=---尸=------,故选C.

a4+«5q1+V52

点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q,而待求量就是一，代入即可得结果.

q

B.1+iD.1-i

【答案】A

【解析】

(l+2z)(2+z)2+z+4z-2

试题分析:=i,故选A.

2—z(2—z)(2+z)

【考点】复数运算

【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并

同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.

10.设S“为等差数列｛为｝的前〃项和，若%=-3,Si=-7,则S”的最小值为()

A.-12B.-15C.-16D.-18

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件求得等差数列｛4｝的通项公式，判断出S.最小时〃的值，由此求得s“的最小值.

【详解】

a.+2d=-39

依题意r，解得q=-7,1=2,所以%=2〃—9.由%=2〃-940解得〃〈二，所以前“

7q+21d=-72

项和中，前4项的和最小，且§4=4%+6d=-28+12=-16.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和最值的求法，属

于基础题.

11.已知函数/(x)=(。)卜+[,若/(x)NO(xeR)恒成立，则满足条件的，，的个数为()

A.()B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当。=0,②当。<0,③当a〉0,考查方程/"a=-上的解的个数，综

ae

合①②③得解.

【详解】

①当a=0时,f{x)=ex-'>0..0,满足题意，

②当时，ex—a>093xe(---，+00),ar+—<。，故不恒成立，

()aee

③当。>0时，设g(x)=e"-a,/i(x)=ar+L

e

令g(x)=e*_Q=0，得x=/〃a,h(x)=ax4--=0,得工=---,

eae

下面考查方程济。=-工的解的个数，

ae

设。(a)=alna,则9,(a)=1+Ina

由导数的应用可得：

<P(a)=由因在(0」)为减函数，在(L+◎为增函数，

ee

则夕(a)*=」，

e

§PIna=--5-有一解，

ae

又g(x)=e*-a,/?(x)=ar+，均为增函数，

e

所以存在1个。使得f(x)..0(xeR)成立，

综合①②③得：满足条件的。的个数是2个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属

难度较大的题型.

12.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、

艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“一”表示一根阳线，“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦，这

两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()

5335

B.—C.—D.—

14142828

【答案】B

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根

阴线的基本事件数，代入公式求解.

【详解】

从八卦中任取两卦基本事件的总数〃=C；=28种,

这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,

分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）,

所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是〃=卷=B

故选：B

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.根据如图所示的伪代码，若输入的X的值为2,则输出的y的值为一

Readx

Ifx>2then

y<-3x-4

Else

y—2"-2

EndIf

Printy

【答案】1

【解析】

【分析】

满足条件执行y―3x-4,否则执行y—2厂2.

【详解】

3x—4x>2

9

本题实质是求分段函数\v2c在x=2处的函数值，当x=2时，y=L

2A-2,X<2

故答案为：1

【点睛】

本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.

14.若向量。=卜2,2”=（1，力满足。为＜3,则实数x的取值范围是

【答案】（-3,1）

【解析】

【分析】

根据题意计算a-b=x2+2x<3,解得答案.

【详解】

a=（xx）,故<?-6=X?+2xv3,解得-3<x<l.

故答案为：（—3,1）.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.

x<3

15.若满足“x+yN2,则目标函数z=y-2x的最大值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目

标函数得答案.

【详解】

x<3

由约束条件<x+>22作出可行域如图，

y<x

化目标函数z=y—2x为y=2x+z,

由图可得，当直线y=2x+z过点8时，直线在>轴上的截距最大,

x+y-2\x=\/、

由彳-得〈，即3(1,1),贝也有最大值z=l—2=—l,

j=y[y=i

故答案为-1.

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、

二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在

可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标

函数求出最值.

16.某几何体的三视图如图所示(单位：二二)，则该几何体的表面积是二二;，体积是

【答案】20+外5,S.

【解析】

试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积二=2xgx4x2+r+4x2+2x2\3=20+4、5

体积二=gx4x2x2=8,故填：20+4\5S.

考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在斜三棱柱ABC-4用£中，已知AABC为正三角形，D,E分别是AC,CC；的中

点，平面•平面ABC,\ELACX.

(1)求证：DE〃平面ABC；

（2）求证：平面BOE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据。，E分别是AC,CG的中点，即可证明。E〃AG，从而可证DE〃平面ABg；

（2）先根据AABC为正三角形，且。是4。的中点，证出BO_LAC,再根据平面AACC，平面ABC,

得到BD_L平面A4。。，从而得到结合即可得证.

【详解】

（1）'：D,E分别是AC,Cg的中点

DE//AC,

丫DEU平面ABC,AGu平面AB.C,

。&/平面AB,C,.

（2）TAABC为正三角形，且D是AC的中点

:.BD1AC

•.•平面A4G。，平面ABC,且平面A4,CC平面ABC=AC,BZ）u平面ABC

BD_1_平面AA|C|C

VAtEu平面A41cle

ABDVA.E

AC|且。七〃AG

:.A.E1DE

VDE,BDu平面BOE,且DEcBD=D

:.4E，平面BDE.

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中

档题.

18.（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实

际增长了242倍多，综合国力大幅提升.

国内生产总值-GDP(万亿)

将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替，并表示为人,表示全国GDP总量,

_]5

表中z,=Iny[=1,2,3,4,5),z=

3/=1

2

tyz力(…)

/=1/=1i=l

326.4741.90310209.7614.05

(1)根据数据及统计图表，判断$=初+。与3=ce"(其中e=2.718为自然对数的底数)哪一个更

适宜作为全国GDP总量>关于/的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)，并求出丁关于/的

回归方程.

(2)使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

-£(%,-x)(z-y)

三二旦「,----------------------,a^y-bx.

i=\

参考数据:

n45678

e"的近似值5514840310972981

d,}M5,232232M5

【答案】⑴y=ce,y=e-'=(e-')e''；(2)148万亿元.

【解析】

【分析】

(1)由散点图知,=。0’"更适宜，对丫=。6"两边取自然对数得lny=lnc+%,令z=lny,a=lnc,

b=d,则2=。+初，再利用线性回归方程的计算公式计算即可

(2)将/=5.2代入所求的回归方程中计算即可.

【详解】

(1)根据数据及图表可以判断，

y=ce”更适宜作为全国GDP总量y关于f的回归方程.

对/=，/'两边取自然对数得lny=lnc、+df,令z=lny,a=Inc,b=d,得2=。+初.

5

14.05

因为--------：—1.405,

Z")10

(=i

所以a=1—良=1.903—1.405x3=—2.312.

所以z关于/的线性回归方程为z=1.405r-2.312.

所以>关于f的回归方程为夕=/出卬“=卜-2.312)/由.

(2)将r=5.2代入/，=*40"-"%其中L405X5.2-2.312=4.994,

于是2020年的全国GDP总量约为：y=?w148万亿元.

【点睛】

本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理,

是一道中档题.

x-cos0

19.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛.';以。为极点，x轴正半轴为极轴建

y-sm0.

jr

立极坐标系，设点A在曲线C2：「sin6=l上，点B在曲线。3：。=一/(0>0)上，且AO3为正三角

6

形.

(1)求点A,5的极坐标；

(2)若点P为曲线G上的动点，"为线段AP的中点，求I8MI的最大值.

【答案】⑴A2,—-高；(2)；+6.

【解析】

【分析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；

(2)设点M的直角坐标为(x，y),则点P的直角坐标为(2x-力,2y-l).将此代入曲线G的方程，可

得点”在以。三,彳为圆心，一为半径的圆上，所以18Ml的最大值为IBQI+—，即得解.

2222

【详解】

TF

(D因为点8在曲线。3：。=一”(0>0)上，AQB为正三角形,

6

冗

所以点A在曲线。=」(夕>0)上.

6

又因为点A在曲线G：夕sin。=1上,

所以点A的极坐标是

从而，点8的极坐标是2,

(2)由(1)可知，点A的直角坐标为(百,1),B的直角坐标为(6,-1)

设点M的直角坐标为(％y),则点P的直角坐标为(2x-V3,2y-1).

6Jn

将此代入曲线G的方程，有22

T+”

(ri-]

即点M在以Q为圆心，不为半径的圆上.

、22

“=博-后+($2=6，

所以1助0|的最大值为|BQ|+g=g+G.

【点睛】

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分

析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

20.(12分)已知x>0,>*>0,z>0,x2+y2+z2=1,证明：

⑴(x+y)2+(y+z)2+(x+z)2„4；

(2)—I----1—>1+2y/xy+23XZ+2Jyz,

xyz'

【答案】(D证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)先由基本不等式可得盯+yz+“，1,而(x+y)2+(y+z)2+(x+z)2=2+2(移+yz+zx),,4,

即得证;

(2)首先推导出x+y+z>l,再利用—1+—1+1—=f—1+1一+1—1/(7f+y02+z2),展开即可得证.

xyz\xyz/

【详解】

证明：(1)x2+y2+z2=1,

/.2xy+2yz+2xz»,x2+y2+y2+z2+z2+x2=2(x2+y2+z2)=2,

xy+yz+&1,

/.(x+y)2+(y+z)*+(z+x)2=2(f+y2+z24-2(xy+yz+zx)=2+2{xy+yz+zx)„4(当且仅当

x=y=z时取等号).

(2)x>0,y>0,z>0,x2+y2+z2=1,

/.(x+y+2/=/+/+z2+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

/.x+y+z>1,

111111|/222\

—十—+—(x+y+z)

xyz%>z)

y2z2x2z2x2y2

=x+—+—+—+y+—4--+—+z

xxyyzz

29

3ZX~

=(x+y+z)+-I-------+-----------1------->1+2y/xy+2\/xz+2y[yz,

"y)IXzUz)

—I--------1—>1+2Jxy+2Jxz+2Jyz.

xyz'、.

【点睛】

本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.

21.(12分)在直角坐标系x0y中，长为3的线段的两端点48分别在x轴、)，轴上滑动，点P为线段A3

上的点，且满足|人尸]=2|尸3].记点2的轨迹为曲线£

(1)求曲线E的方程;

(2)若点V、N为曲线E上的两个动点，记OMON=m，判断是否存在常数〃，使得点。到直线MN

的距离为定值？若存在，求出常数机的值和这个定值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴$+f=1(2)存在；常数m=0,定值亚

45

【解析】

【分析】

(1)设出P,A6的坐标，利用AP=2PB以及|A邳=3,求得曲线E的方程.

(2)当直线MN的斜率存在时，设出直线的方程，求得。到直线MN的距离小联立直线MN的方

程和曲线E的方程，写出根与系数关系，结合OA/.ON=〃7以及。为定值，求得的值.当直线MN的

斜率不存在时，验证乩机.由此得到存在常数加=0,且定值d=拽.

5

【详解】

(1)解析:⑴设尸(x,y),A(%,()),3(°，%)

由题可得AP=2PB

c氏0=3x

x-xn=­lx

c(v解得3

|7=2(%->)y0=~y

、乙

又|AB1=3,即考+巾=9,

丫2

二消去天,为得：\-X"=1

4

(2)当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丁=米+〃

设加(石,%)，N(w，%)

由OM-ON=m可得：芭&+%%=m

由点。到MN的距离为定值可得〃=7粤=(d为常数)即小b2

a+1公+1

y=kx+h

<>2,(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0

14

.-.A=4代2-4(F+4)仅2—力>()

即炉一〃+4>0

-2kb4

■',%|+%2=F74,X'X2=FT4

1

又必・必=(g+2)(依2+^)=kxix2+kb^+x2)+b~

5/-4公-4

:.m=xlx2+yiy2

k2+4

5h2=4(炉+(++(&2+4)

5b2m^k2+4）

k2+l—+r+]

2

2m（k+4）

.-.5iZ2=4+—S——

女2+1

.•.d为定值时，加=0,此时"=王，且符合/>0

5

当直线MN的斜率不存在时，设直线方程为X=〃

由题可得51=4+加，.•・加=0时，〃=±至，经检验，符合条件

5

综上可知，存在常数利=0,且定值4=2叵

5

【点睛】

本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问

题，属于难题.

22.（10分）已知椭圆£+£=1（4>〃>0）,点A（l,0）,B（0,l）,息P满足OA+与OB=OP（其中

。为坐标原点)，点氏P在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右焦点为尸，若不经过点尸的直线/:y="+加伙<0,加>0)与椭圆C交于M,N两点.

且与圆f+y2=i相切.MNE的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)]+y2=1⑵是，272

【解析】

【分析】

(1)设尸(x,y),根据条件可求出P的坐标，再利用8P在椭圆上，代入椭圆方程求出a,8即可；

(2)设加(％占),"(士,必)(%>0,马>0)运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出|困，|N@,再利用

焦半径公式表示出|加目，|册1,进而求出周长为定值.

【详解】

即（1,0）+立'（0,1）=（冗,y）,则x=l,y=即PV-^~

221，

°4=,

因为氏P均在。上,代入得，解得/=2,〃=1,所以椭圆C的方程为与+丁

L2=I

a2H

（2）由⑴得尸（1,0）,6=*,。=应,作出示意图,

2

设切点为Q,"a，y）N（孙必）（3>°，为2>°），

则|"Q『=|OM|2_|OQ|2=x；+y2_i=；x2,

同理加如:尤+$—二3^

即IMQ1=冷INQ[=曰/,所以IMN|=曰区+龙2），

板x/2

又|MF|=u,-ex1=y/o,—玉f|NF|=a—ex?=>/2—-^―x1,

则MNE的周长iMNl+IM/l+INFt¥a+zH及一曰芭+=2四,

所以周长为定值2起.

【点睛】

标准方程的求解，椭圆中的定值问题，考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力，难度较难.

2021届全国十大名校三月大联考名师密卷数学模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔

将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知函数/(x)满足/(4)=17,设/(4)=%,则“%=17”是“%=4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：若%=4,则”％)=。4)=17,即％=17成立,

若/(幻=/+1,则由/(x°)=%=17,得无。=±4,

贝卜%=17”是“X。=4”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题.

2.若集合A={x|土彳woj,3={x[-l<x<2},则AB=()

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

求出集合A,然后与集合3取交集即可.

【详解】

由题意，4=卜|三|<0，={划一24%<1},B={x\-\<x<2},则A8={x1-1<x<1},故答案

为c.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题.

3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标

轴单位长度相同），用回归直线¥=b+令近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是

A.线性相关关系较强，b的值为1.25

B.线性相关关系较强，b的值为0.83

C.线性相关关系较强，b的值为-0.87

D.线性相关关系太弱，无研究价值

【答案】B

【解析】

【分析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于L

【详解】

散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，

故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，

且直线斜率小于1,故选B.

【点睛】

本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.

4.下图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象（）

A.向左平移9个单位B.向右平移g个单位

33

C.向左平移5个单位D.向右平移F个单位

66

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为/(x)=sin[2x+g],再根据平移法则得到答案.

【详解】

设函数解析式为/(x)=Asin(0x+0)+。，

T7T7T7V

根据图像：A=l,b=O,-=故T=兀，即。=2,

43124

/(3=5皿e+0)=1,(p=7-+2k7T,keZ,取攵=0,得到/(x)=sin(2x+g

函数向右平移:个单位得到y=sin2x.

O

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

x__y_

5.已知双曲线C：=1(a>0S>0)的左右焦点分别为耳，F2,p为双曲线C上一点，。为双

a2b2

曲线C渐近线上一点，P,。均位于第一象限，且2QP=PR2，。片-。/2=0,则双曲线C的离心率

为()

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

【答案】D

【解析】

由双曲线的方程、

1的左右焦点分别为耳，居，P为双曲线C上的一点，。为双曲线C的渐近线

上的一点，且P,Q都位于第一象限，且2。尸=尸7%，。耳•。/2=0,

可知P为。外的三等分点，且。耳，。心，

点。在直线法一少=0上，并且|O@=c,则。("/),与9,0),

设P(F,y),则2(X1-a,yl-b)=(c-xl,-yl),

2a+c2b〜2Q+C2b、

解得％=匚一，M=5,即P（--，5），

代入双曲线的方程可得Q"+C）2—]_=],解得e=£=JW—2,故选D.

4a24a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是

双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，J代

入公式e=£；②只需要根据一个条件得到关于a/,c的齐次式，转化为。的齐次式，然后转化为关于e

a

的方程（不等式），解方程（不等式），即可得。