初三数学1-15讲-(提高-)

第一讲1.1等腰三角形的性质和判定

1.2直角三角形全等的判定

【学习目标】

1.会灵活运用等腰三角形的性质和判定来证明或计算。

2.能运用直角三角形全等的方法，解决实际问题

3.掌握用角平分线性质定理与判定定理解决有关问题

4.学会运用分析法与综合法进行问题的探索与证明。

5..掌握等腰三角形中常见的辅助线一底边上的高或中线或顶角平分线。

【重点、难点】

1.等腰三角形的性质和判定的灵活运用

2.直角三角形全等的判定、角平分线性质定理与判定定理的应用。

【教学过程】

一.考点

1.等腰三角形的---------------（简称“---------------”）

2.如果一个三角形的两个------，那么这两个角所对的边也---------（简称

“，，）

3.等腰三角形的---------、------------、------------------互相重合（简

称“----------------”）

4.等边三角形的性质-------------------------------------------------

-等边三角形的判定----------------------------------------------------

5..和---------对应相等的两个直角三角形全等（简写为--------）

6.角平分线上的点-----------------------------相等

7.在一个角的内部，且-----------------------------点在这个角的平分线上

8.三角形的三条角平分线交于------点，这一点到----------距离相等。

二.典例分析

例1.（2012铜仁）如图，在△ABC中，NABC和NACB的平分线交于点E,过点E作MN〃BC

交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为（）

BC

A.6B.7C.8D.9

例2.（2012攀枝花）已知实数x,y满足|x-4|+J7二字=0,则以x，y的值为两边

长的等腰三角形的周长是（）

A.20或16B.20C.161）.以上答案均不对

例3.在中，AB=AC,N1=36°,BD平分NABC交AC于点、D,若水＞2,贝I」皿的长

是（）

A.叵」B.@里C.非-1D.有+1

22

例4.（2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角AABC的两条高BD、CE相交于点

O,且OB=OC,

（1）求证：AABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在/BAC的角平分线上，并说明理由。

例5.如图，4ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC.若

△ABC的边长为4,AE=2,求BD的长

分析：延长BC至F点，使得CF=BD,证得△EBD/aEFC后即可证得NB=/F,然后证得

ACZ/EF,利用三角形相似证得CF=EA后即可求得BD的长.

或：过E作AC〃EF

例6.（2012莱芜）在4ABC中，AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动，求BP的

最小值

A

£

（第15题图）

（第15题图）

【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学生解

决等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强，难度中等。

例7.求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于一腰上的高（请按命题证

明要求）

变式：如果改为底边延长线上任一点呢？

思考：如何证明线段的和（差）？

例8.（2012•湘潭）如图，^ABC是边长为3的等边三角形，将aABC沿直线BC向右

平移，使B点与C点重合，得到aDCE,连接BD,交AC于F.

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长.

分析：（1）由平移的性质可知BE=2BC=6,DE=AC=3,故可得出BDL）E,由/E=NACB=60°

可知AC〃DE,故可得出结论；

（2）在RtABDE中利用勾股定理即可得出BD的长.

例9.如图1,在等边△ABC中，点。是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点2

与点C不重合），连结8P.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转a角（0°<a<180°）,

得到△45P,连结射线分别交射线P8、射线8bB于点E、F.

（1）如图1,当0°<a<60°时，在a角变化过程中，ABEF与AAEP始终

存在▲关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2,i^ZABP=/3.当60°<a<180°时，在a角变化过程中，是否存在ABEF

与△AEP全等？若存在，求出a与6之间的数量关系；若不存在，请说理由；

（3）如图3,当a=60°时，点E、尸与点8重合.已知4B=4,设DP=x,△4由81的面

积为S,求S关于x的函数关系

【答案】(1)相似

由题意得：NAPA=NBPR=a仍4PBP=RP

贝IJZPAA,=NPBR=18°一0=90°-里

22

,:NPBR=NEBF：.ZPAE=^EBF

又,：NBE2NAEP

:ZEFS^AEP

(2)存在，理由如下：

易得：4BEFSXAEP

若要使得△即也△如R只需要满足够所即可

:.NBAE-NABE

NBA取60°-（90°—葭）=•一30°

VN班铀60。

VNABE=£NB缶NABE

.,.--30°=B即a=2£+60°

2

（3）连结弧交4员于点G,

过点4作4丛LW于点〃

VZ54片N4切=60°：.AxBx//AC

由题意得：AP=AxPN走60°.'.△RM是等边三角

形

:.AH吟Q+x）在山△ABD中,BA2超

••BG=2V3―――（2+尤）=V3―――,x

22

*e*=—x4x拒一3~x=2V3-V3x(0W;rV2)

lsn\DDy22

三.课堂练习

1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为-…20.…

2.已知等腰三角形的一个内角为80。，则另两个角的度数是50、50或20、80--------

3.如图，等边4ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一

点.若AE=2,EM+CM的最小值为_25,

8：

过C作CG_LAB交AB于G。

:△ABC是等边三角形，WCG±AB,.*.AG=AB/2=6/2=3,又AF=AE

=2,.*.FG=3-2=1

容易求出：CG=3d3。

由勾股定理，得：

CF=<(CGA2+FGA2)=A/(27+1)=2^/7,即：EM+CM的最小值为247。

注：这是在定直线AD上求一点M,使点M到AD一侧的两定点C、E的距

离之和为最小值的问题。

这类问题的解决通法是：

作其中一个定点关于定直线的对称点，然后连结该对称点与另一定点交

定直线于一点，这一点就是所要求的点。

4.如上图，已知NAOB=a,在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1,连结A|B』在

BjA|、B|B上分别取点A2、B2,使BlB2=B1A2,连结A2B2…按此规律上

去，记NA2B1B2=q,ZA3B2B,=6>2,ZA11+15„B„+1=6n

…、八180°+a4(2n-1)-180°+a

则(1)4=--------；0„=A-----L---------。

'----------2--------"----------2”

5.点。，E在△4BC的边8C上，连接A。，AE.@AB=AC;®AD=AE；③BO=CE.以

此三个等式中的两个作为命题的题设，另个作为命题的结论，构成三个命题：

①②一③；①③=②；②③n①.（I）以上三个命题是真命题的为（直接作答）

①②n③①③n②:①；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.

6.（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是

(B)

A.两边之和大于第三边B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边

C.有两个锐角的和等于90°D.内角和等于180°

7.女图，在中，AB=AC,D、E是斜边BC上两点，且NDAE=45°,将△AOC

绕点A顺时针旋转90后,得到△AM,连接EF.下

列结论中正确的个数有（C)

①NEAF=45。

③E4平分NCEb@BE2+DC2=DE2

A.1个B.2个C.3个D.4个

对于④，转化到^BEF中②错

8.如图，小红作出了边长为1的第1个正△A|B|C”算

出了正△A|B|G的面积，然后分别取△A|B|G三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个

正4A2B2c2,算出了正aAzB2c2的面积，用同样的方法，作出了第3个正3c3,

算出了正3c3的面积……，由此可得，第8个正△AgB£8的面积是（C）

9.如图所示，B^EIAABC^IIADCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，

AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连结OC、FG,则下列

结论：①AE=BD②AG=BF③FG〃BE®ZBOC=NEOC,其中正确结论的个数

（C）

A.1个B.2个C.3个D.4个

第10题图

四.中考能力测试

1.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为一5、5或6、4_

2.如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分别是△ABC、介BCD的角平分线,

则图中的等腰三角形有一5--个A

3.如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图

（图②）：再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图

（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到

的第五个图中，共有_17个正三角形.

图①图②图③

4.（2010四川内江）如图，△4C。和ABCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=

90°,AE交OC于F,BD分别交CE,4E于点G、H.

试猜测线段4E和的位置和数量关系，并说明理由.相等、垂直

5.如图，已知△ABC中，A8=AC=10厘米，8C=8厘米，点。为A8的中点.

（1）如果点P在线段8c上以3厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段

CA上由C点向A点运动.

①若点。的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，丛BPD与△CQP是否全

等，请说明理由；全等

②若点。的运动速度与点P的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使

△8尸。与△CQP全等？1514

（2）若点。以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，

都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点。第一次在AABC的哪条边

上相遇？80I3,AB边公

解：⑴①=l秒，/\

Q

B,

PC

BP=CQ=3xl=3厘米,

TAB=10厘米，点。为A3的中点，

.*.80=5厘米.又,：PC=BC-BP,8C=8厘米，，尸。=8-3=5厘

米，APC=BD.

又=ZB=ZC,△SRfiCQP...........................（4分）

②“N%,:.BPKCQ,

又*：4醉心CQP,NB=NC,则BP=PC=4,CQ=BD=5,

...点P,点。运动的时间「=与=3秒，.•.%=半=[=?厘米/秒.•••(7分)

3

(2)设经过x秒后点P与点。第一次相遇，由题意，得?x=3x+2xl0,解导x=y

秒.

on

.•.点P共运动了空x3=80厘米.

3

•••80=2x28+24,；.点P、点。在A8边上相遇，

经过小秒点尸与点。第一次在边AB上相遇..........................(12分)

6.如图，已知点。为等腰直角△48C内一点，/CAO=NCBC=15。，E为AO延长线

上的一点，且CE=CA.(1)求证：OE平分NBOC；

(2)若点M在。E上，且。C=£W,

求证：ME=BD.

【答案】(1)在等腰直角△放中，

■:/CAD=/CBA15,

：.Z^=Z7^45O-15°=30°,

：.BD=AD,:.△BDC^XADC,

:.ZDCA=ZDCB=45°.

由NBD岭N板+N应历30°+30°=60°,

ZEDC=4DAC+Z1DC归15°+45°=60°,

:./BD拈4EDC,

:.DE平■分匕BDC；

（2）如图，连接孙

•：DC=DM,且/仞C60°,

.♦.△3是等边三角形，即CMXD.

又抬480°-N瓯=180°-60°=120°,

Z^>180°-ZM^>180°-60°=120°,

：.AEMOAADC.

又，：CE=CA,：.ZDAC=ZCEM=15",:.△ADC^XEMC,：.ME=AD=DB.

7.（2012南京模拟）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,

则①。C平分NB£>E；②BC长为（蚯+2）。；③48CD是等腰三角形；④△CED的周

长等于BC的长.则上述命题中正确是—②—③一④（填序号）：

8.【2007年•福建宁德】如图，点O是等边AABC内一点，/AOB=UO°,NBOC=m,

将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连结OD。

(1)求证：△COD是等边三角形；A

_(2)当m=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；幺71\\D

C

(1)证明：,,,CO=CD,NOCD=60°,

.♦.△C。。是等边三角形................................................・“3分

(2)解：当c=150°,即NBOC=150°时，△AO。是直角三角形.........-5分

ADC,

A^ADC=ZBOC=150.

又•••△c。。是等边三角形，

Z.yODC=60.

.•.ZAO。=90.

即△4。。是直角三角形........................................................7分

(3)解：①要使AO=A。，需44。。=乙4£＞。.

•.ZOO=190-a,ZADO=a-60°,

：.190-a=a-6Q.Aa=125.

②要使04=0。，需NOW=NAOO.

^OAD=180-(ZAOD+ZADO)=50,Aa-60=50..,.«=110.

③要使。O=^ZOAD=ZAOD.A190-a=50.Aa=140.

综上所述：当a的度数为125°,或110°,或140°时,△ABC是等腰三角形........12分

第二平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定

【学习目标】

1.掌握平行四边形的性质与判定

2..掌握矩形、菱形的特殊性质与判定

3.掌握正方形的性质与判定

4.能熟练运用特殊四边形的性质与判定进行论证与计算

【重点、难点】

1.平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定

2.探索、寻求解题思路

【教学过程】

一.考点

1.平行四边形定义：-------------------------------------------

性质：边-----------------------------------------------

角----------------------------------------------

对角线-------------------------------------------

判定：(1)------------------------------------

(2)--------------------------------------

(3)--------------------------------------

(4)

(5)-----------------------------------------

2.矩形定义：--------------------------------------------

特有性质：1.四个角------------------------------------------

2.对角线-------------------------------------------

判定：(1)------------------------------------

(2)--------------------------------------

(3)--------------------------------------

直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。

3.菱形定义：--------------------------------------------

特有性质：1.四条边..........................................

2.对角线-------------------------------------------

判定：(1)....................................

(2)--------------------------------------

(3)......................................

菱形面积计算公式

4.正方形定义：--------------------------------------------

性质：具有--------和---------的所有性质

判定：(1)------------------------------------

(2)--------------------------------------

(3)......................................

5.轴对称、中心对称的概念及性质

6.反证法：步骤与方法

二.典例分析

例1.如图，DB〃AC,jaDB=-AC,E是AC的中点，求证：BC=DE.

2

K解析』本题主要考查学生的平行四边形的判定方法的应用能力；利用一组对边平行且

相等的方法判定个四边形是平行四边形.

例2.已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE,

分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于0,连结0F.求证：AB=20F.

说明能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决，这样更简便.

例3.如图，在矩形48CO中，4E平分ND4B交。C于点E,连接BE,过E作£7UBE

交4。于点F.(1)求证./OEF=NCBE；(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加

辅助线和字母)，并说明理由.

K解析】本题主要考查学生的矩形的性质的应用能力；同时考查学生的化归的数学思想

的应用.一

例4.(2012南京)如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点

O,AC1BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

(1)求证：四边形EFGH为正方形；

(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积。

例5.如图，矩形的面积为g,顺次连结各边中点得到四边形482c2。2,

再顺次连结四边形4当。202四边中点得到四边形依此类推，求四边形

A„BnC„Dn的面积是。

K解析』本题主要考查学生菱形的判定与中位线知识的综合应用能力；利用中位线的知

识先证平行四边形，再证菱形."n.

例6.如图，已知正方形ABC。的边长是2,E是AB的中点，延长BC到点尸使CF=

AE.

(1)若把aADE绕点。旋转一定的角度时，能否与/重合？请说明理由.能

(2)现把△0C尸向左平移，使OC与48重合，得AH交ED于点G.

求证：AH1ED,并求AG的长.

K解析』本题主要考查学生对正方形的性质的理解与应用.

1*2=75*AG

例7.(2012重庆，24,10分)已知：如图，在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对

角线AC交于点M,过M作MEJ_CD于点E,/1=/2。

(1)若CE=1,求BC的长；2(2)AM=DF+MEo

cED

【解析】：延长DF与BA交于G,可证△CEMgaCFM,4CDF注△BGF,通过线段的简单

运算，即可求得。

例8.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形

的边交于A、B两点，求线段AB的最小值

【解析】如图；四边形CDEF是正方形，

...N0CD=N0DB=45°,ZC0D=90°,0C=0D,

VAO1OB,

/.ZA0B=90",

NC0A+NA0D=90°,NA0D+ND0B=90°

ZCOA=ZDOB,

"ZOCA=ZODB

V在ACOA和△DOB中，OC=OD，

,ZA0C=ZD0B

.,,△COA^ADOB,/.OA=OB,VZA0B=90",.,.△AOB是等腰直角三角形,

由勾股定理得：

AB=A/QA2+0B2=V20A,

要使AB最小，只要0A取最小值即可，

根据垂线段最短，OAJ_CD时，0A最小，

,正方形CDEF,AFCXCD,OD=OF,.".CA=DA,.".OA=lcF=l,AB=V20A=72

2

【点评】本题考查了正方形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、

直角三角形斜边上的中线、等知识，题目具有代表性，有一定的难度。

例9.已知RtAABC中，ZACB=90,以斜边48为边向外作正方形A3DE,且正

方形的对角线交于点O,连接。改口AC=5,OC=642,则另一直角边3C的

长为.

【解答】：过点。作阳、比分分别垂直于CA.CB,易证AQA"三AOGB,

HA=GB,OH=OG,易证四边形OHCG为正方形,有HC=HO=CG=6骏口

HA=C"-4C=6—5=1=G3,则3C=6+1=7木/\

【解析】：本题考查正方形、等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的运用，利用图

形的割补，构造基本图形。本题较难，不细心审题，对基本图形不熟悉很难找到解题的

切入点。但图形仍源于教材，因此，要平时要注意对教材的深究。

三.课堂练习

1.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形:①平行四边形②矩形③菱

形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是

（D）

A、①④⑤B、②⑤⑥C、①②③D、①②⑤

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（B）

A、等腰三角形；B、菱形；C、平行四边形；D、直角三角形；

3.如图，O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点，E,F分别是OA,OC的中点.下

列结论：①S△和£=SEOD；②四边形BFDE是中心对称图形；③/绍E=NEDO.其

中埼送的结论有（B）/次

（A）0个（B）l个（C）2个（D）3个//

4.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4,则菱形的面积为96.

5.已知矩形ABCD,分别以AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形

CDF,连接BE和BF,贝BE_=_BF（填“=”或“羊”）.

6.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A”A］、…、A”分别是正

方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（C）〜

.19c〃2_n_12D.(如

A.—cm**B.—cm~C.-------cm~cm2

444

7.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使

点C落在AD上的点C处，曝DE交BC于点E,连结CE.求

证：四边形CDCE是菱形.

证明四边等

8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=373,BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上

的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H,

的长.（2）求四边形PEFH的面积.

BE=2QF=1

9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,E、F分别在0D、0C匕且DE=CF,

连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.求证：AM1DF.

证明4ADE丝Z\CDF再证明交角90

四.中考能力测试

1.下面儿组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（B).

A.一组对边相等；B.两条对角线互相平分

C.一组对边平行；D.两条对角线互相垂直

#2.平行四边形ABCD的对角线交于点O,下列结论错误的是(D)

A、平行四边形ABCD是中心对称图形B、AAOB^ACOD

C、AAOD^ABOCD、ZkAOB与△BOC的面积不相等

3.平行四边形的周长为30,两邻边的差为5,则其较长边是—10.

4.菱形的面积计算公式是1.;2._

正方形的面积计算公式是1.——；2„

5.下列命题中，真命题是（D）

A.两条对角线相等的四边形是矩形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

6.如图，已知正方形ABCD的边长为1,连结AC、BD,CE平分/ACD交BD于点E,

贝I]DE=——

过E作EFLBD交CD于F,设DE=X,列方程。DE=0-

1

7.如图，在矩形ABC。中，对角线5。的垂直平分线MN与AO相交于点M,与BD相

较于点0,与BC相较于N,连接MN,DN«

(1)求证：四边形8MDN是菱形；证明四边等

(2)若AB-4,AD=8,求MD的长。

MD=5

8.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形,

且A(0,3),B(-4,0).

(1).求经过点C的反比例函数解析式；

(2).设P是(1)中所求函数图象上的一点，以P、0、A为顶点的三角形的面积与△

(1)Y=20\X

(2)P(8\3,15\2)

Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、

C、D同时出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度匀速向B、

C、D、A移动.

(1)求证：四边形PQEF是正方形.

(2)PE是否总过某一点，并说明理由.

(3)四边形PQEF的顶点在何处时哦，其面积有最小值和最大

值，并求其最小值和最大值，

(2)总过。点(证明全等)

(3)P在AB中点时最小值=S\2,P到B时最大值=5

10.已知，点E是矩形ABCD的对角线BC上的一点，且BE=BC,AB=3,BC=4,点P

为EC上的一动点，且PQ_LBC于点Q,PRLBD于点R.

⑴如图（甲），当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=y；

⑵如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不

变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由；

⑶如图（丙），当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ

之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

⑵成立PR+PQ=y；

12

(3)PR-PQ=—

1L如图所示，正方形ABCD的面积为12,/\ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD

内，在对角线AC上有一点P,使PO+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2A/3B.2>/6C.3D.76

12.在等腰梯形ABCD中，AB平行DC,AD等于BC等于5,DC等于7,AB等

于13,点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD至DC向终点C运动,

同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时

间为t秒。

问1.当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形？

2.在整个运动过程中，当t为何值时，以点C,P,Q为顶点的三角形

是直角三角形？

1.解油于平行四边形对边平行且相等，则四边形PQBC为平行四边形时，点P必须在DC

上.

时间为t秒时,PC=AD+DC-2t=5+7-2t=12-2t;BQ=t.

，PC=BQ,即12-2t=t,t=4.

所以，当占4秒忖,四边形PQBC为平行四边形.

2.解:⑴当点P在边AD上时:作CH垂直AB于H,则

BH=(AB-CD)/2=3,CH=A/(BCA2-BHA2)=4.

①点P与A重合时,AB2=169,AC2+BC2=(AH2+CH2)+BC2=116+25=141.

即AB2>AC2+BC2,WZACB即NPCQ>90°;

②点P与D重合时，同理相似可知:DQ2>DC2+CQ2,得NPCQ>90。.

即P在AD上时，以点C,P,Q为顶点的三角形不会是直角三角形.

(2)当Q与H重合时,BH=3,即t=3秒时:点P在CD±,ZPCQ=90°;

⑶当PQ垂直DC时,AQ-DP=BH,即(13-t)-(2t-5)=3,t=5.即秒时,/QPC=90。.

所以，当t=3秒或5秒时，以C,P,Q为顶点的三角形是直角三角形.

第三讲1.4等腰梯形的性质与判定

1.5中位线

【学习目标】

1.掌握等腰梯形的有关概念

2.掌握等腰梯形的性质与判定

3..掌握三角形、梯形的中位线定理，并能进行有关计算和证明问题

4.会把等腰梯形转化为三角形和平行四边形来研究，会把多边形的中点问题转化为三

角形的中位线问题来解决

5.熟练掌握梯形的辅助线作法以及构造中位线

【重点、难点】

掌握等腰梯形的性质与判定及其应用

掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用

【教学过程】

一.考点

I.------------------------------叫等腰梯形

.2.等腰梯形性质：（1）-------------------------------------------

（2）---------------------------------------------

判定：（1）-------------------------------------------

（2）---------------------------------------------

（3）---------------------------------------------

3.梯形面积公式：

4.常见辅助线

（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中.

（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.

（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形.

（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点,

构成三角形.

（5）平移一腰。

5..三角形的中位线-------------并且------------------------的一半。

6.梯形的中位线..............，并且......................的一半。

7.连接任意四边形各边的中点，得到的图形是----------------

二.典例分析

例1..已知：如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,AB=CD,M、N分别是AD、BC

的中点，AD=3,BC=9,ZB=45°,求MN的长。

B

例2.在/ABC中，ZBAC=90°,延长BA到点D,使AD=1/2AB,E、F分别是BC、

AC的中点。

(1)求证：DF=BEAADF^ACEF

(2)过点A作AG//BC,与DF相交于点G,求证AG=DG

例3.如上右图，在等腰梯形ABCD中,AD〃BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别

是BM、CM的中点.

(1)求证：AABM^ADCM

(2)猜想,四边形MENF是怎样的特殊四边形?证明你的结论.

菱形

例4.如图,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,

动点P从A点开始沿AD边以1cm/秒的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以

3cm/秒的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点

也随之停止运动。设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、

等腰梯形？

T=6时是平行四边形

T=7时等腰梯形

例5.如图，在直角梯形ABCD中，AB〃DC,Z

ABC=90°AB=2DC,对角线ACJ_BD,垂足为E过点F作EF〃AB,

交AD于点E,CF=4cm。

(1)求证：四边形ABFE是等腰梯形；过D作DHLBA

(2)求AB的长。AB2=8X(8+4)

例6.如图，在四边形ABCD中，AC=6,BD=8,且一ACJ_BD.

依次连接ABCD各边的中点，得到四边形A|B|GD］：再依次连接四边形A|B|C|D|各边

的中点；得到四边形A?B2c2D2……；如此下去得到四边形

(1)证明：四边形AIBIGDI是矩形;

(2)写出四边形A|B|GD|和四边形A2B2C2D2的面积；

(3)写出四边形4“纥。/”的面积；12X(1/2)

(4)求四边形A5B5c5D5的周长.

例7(2012连云港，27,12分)(本题满分12分)

已知梯形ABCD,AD〃BC,AB±BC,AD=1,AB=2,BC=3.

问题1：如图1,P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD,请问对角线PQ,

DC的长能否相等，为什么?四边形PCQD是平行四边形，若对角线

尸。、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x,可得方程

x2+32+(2—*)2+1=8,由判别式△<(),可知此方程无实数根，即对角线尸。，DC

的长不可能相等；

如图2,P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD,请问对角线PQ的

长是否存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。

在平行四边形PC。。中，设对角线尸。与OC相交于点G,可得G是。C的中点，过点

。作QH_L8C,交的延长线于H,易证得RfZkADPgRfZ\HCQ,即可求得8H=4,

则可得当尸时，尸。的长最小，即为4；

因为G是定点,PQ最小，即PG最小，所以PGJLAB

时PQ最小

问题3：P为AB边上任意一点，延长PD到E,使DE=PD,

以PE、PC为边做平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果

存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。

DGPD

设尸。与OC相交于点G,PE//CQ,PD=DE,可得GC=CQ=5,易证得

RfAA&PsRfaHC。，继而求得8H的长，即可求得答案；5

问题4：作QH//PD,交CB的延长线于H,过点C作CK±CD,交QH的延长线于K,

PA_AG1

易证得BQ-BG=n+l与△4O/>S^8H。，难ZDCB=45°(CM=DM=2),可得△CKH

Z

是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案.

问题4：如图3,P为DC边上任意一点，延长PA到E,使AE=nPA,(n为常数)以PE、PB

为边做平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果存在，请直接

写出最小值；如果不存在，请说明理山。

K

图4设PQ与48相

PA_AG1

交于点G,'：PE//BQ,AE=nPA,:.BQBG=n+1,

；.G是OC上一定点，

作。H〃尸£,交C8的延长线于H,过点C作CK_LC。，交0H的延长线于K,

'：AD//BC,AB1.BC,

：.ZD=ZQHC,ZDAP+ZPAG=ZQBH+ZQBG=90°,ZPAG=ZQBG,

：.ZQBH=ZPAD,

AD二PA二1

而=BQ=n+1,

'：AD=\,

.,.CH=BH+BC=3+«+l=n+4,

过点。作0A/_L8C于M,

则四边形是矩形，

：.BM=AD=19DM=AB=2

:.CM=BC-BM=3-1=2=DM,

:.NDCM=45。，

AZKCH=45°,

J2

・・・CK=CH・cos450=2(〃+4),

返

.•.当P0_LC。时，尸。的长最小，最小值为2(n+4).

三.课堂检测

1.若梯形的两条对角线分中位线为三等分，则梯形的上、下底之比为(D)

(A)1：3(B)2：3(C)3：5(D)1：2

2.已知直角梯形的高为h,中位线长为m,一个底角为150°,则梯形周长为2h+2

3.等腰梯形的两底长为4cm和10cm,一底角为45°,