向量的概念和向量的几何表示教学教案(中职教育)

向量的概念和向量的几何表示

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量

与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、引人：课本P3观察（略）

实例：图中拉小车的力R,F2,F3

是个既有大小又有方向的量。

二、提出课题：向量的概念和向量的几何表示

1=意义：既有大小又有方向的量叫向量。

2.向量的表示方法：（用什么来刻画向量的两要素呢？）

用一条线段：它的长短表示向量的大小，它上面的箭头表示向

的方向。

如图：向量Q而=工后7=1（起点在前终点在后）

向量凝与而方向相同，大小不等，为不同的向量

cD

-

向量方与而方向不同，大小相等，为不同的向量A

MN

向量赤与而方向相同，大小相等，为同一向量（向量可以平移）

问？而与瓦是否同一向量？答：不是同一向量。

向量通的大小（线段的长）记作：I施I——称为向量的模。

注意：数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。模是可以比较大小的

3.特殊的向量:

1°零向量——长度（模）为。的向量，记作0。。的方向是任意的。

注意6与o的区别

20单位向量——长度（模）为1的向量叫做单位向量

问？有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？

单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，方向可以不同，

所以单位向量不一定相等。

3°.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

CD=MN规定：零向量与零向量相等，6-0

4°.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

丽与丽7,Q与丽，记：AB=-BA,既Q+以=6

（相当于实数中的互为相反数）

5°.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：CDIl7^BII~DCII~BAII~MNU~NM

规定：6与任一向量平行

6°.共线向量：任--组平行向量都可移到同--条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

例1、如图，在平行四边形ABCD中，找出与向量而相等的向量，AB

相反的向量。凝共线的向量.

AZZ^

例2.如图：O为正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量方相等

的、相反的、共线的向量。BA

CF

0s

DE

小结：

三、作业：1.P5练习A组B组

2.向量概念和几何表示练习纸

课题：向量的加法

教学内容：加法的三角形、平行四边形法则，加法的四条运算律

教学目的：掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法

则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练

运用它们进行向量计算.

教学重点：跟据向量加法的三角形法则和平行四边形法则作图

教学难点：对向量加法定义的理解

教学过程：

-复习：向量的定义以及有关概念

强调：

①向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.

②正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向

量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.

③什么是单位向量、相反向量、零向量.

二提问引入

向量是否能进行运算？

生活中的实例：

1.某人从A到B,再从B按原方向到C,------------->►—

则两次的位移和：AB+BC=AC

若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,

则两次的位移和：AB+BC=AC

某车从A到B,再从B改变方向到C,

则两次的位移和：AB+BC^AC

船速为A6,水速为

AB

则两速度和：AB+BC^AC

这样的一些例子都是求向量加法的运算.

三我们首先应该明确：］

①两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

②求两个向量的和的运算叫做向量的加法

四求向量和的三角形法则：

在上面的第3点中，若第二个向量的起点是第一个向量的终点，则可

用三角形法则，此时它们的和向量是由第一个向量的起点指向第二个向量的

1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起

点

2可以推广到n个向量连加

~AB+~BC+CD+~DE=~\E\

注：向量加法的三角形法则的实质为首尾连结法。

五求向量和的平行四边形法则：

在如图的平行四边形ABCD中，

获+部=就=诟+诟

AB+AD=AC

如果两向量有共同的起点，可以用平行四边形法则求它们的和向量，此

时和向量就是它们的一条同一起点的对角线.

例一、已知向量£、b,用两种方法求作向量£+3b

最-------->

六加法的运算律

向量加法的交换律：a+b^b+a

①向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进

行

②a+6=6+a=a

③ci+(—a)(—a)+a=0

七小结与补充

证明：对于任意给定的向量zz都有口+qw1+w

八作业

A组

1.已知向量不的长度为3,方向水平向右，向量B的长度为2,方向水平

向右，求方+ho

2.已知向量5的长度为3,方向为正东方向，向量B的长度为2,方向是

北偏东30°。分别用三角形法则和平行四边形法则求）+6。

3.已知向量d,b,c的长度分别为2,3,1方向分别为正东，北偏东45°

北偏西30°

作出有向线段表示万+B+3。

向量的减法

教学目的：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量。

教学重点：向量的减法的定义、作两个向量的差向量

教学难点：向量减法定义的理解：

教学过程：

一、复习引入

复习向量加法的平行四边形法则和三角形法则。

二、新课讲解：

1.相反向量复习：与M长度(模)相等，方向相反的向量叫做相反向量。

记作

规定：零向量的相反向量仍是零向量

注意：1°力与互为相反向量。即一(一|)=不

2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。即

a+(-«)=(-5)+5=0

3°如果不、b是互为相反向量，那么万=_/＞，匕=_瓦不+/?=0

2.定义万与彼的差：向量值加上3的相反向量，叫做之与否的差。即

a-h=万+(-B)

3.向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法

讨论：已知〃，B,怎样求作万一3?

,0,_______」

一//3不

4.。一人的作法：方法-、已知向量。、0，-Lrl

在平面内任取一点0,作OA=/,OB=J/1/

________B

OA-OB=OA+(^OB)=OA+~Bd=~BO+C..…

,BA=a-bo即万一.可以表示为从向量B的终点指向向量)的终点的向

量

5.思考：从向量)的终点指向向量匕的终点的向量是什么？

6.讨论：如右图，〃〃祝时，怎样作出✓

a-b呢?

答：在平面上任取一点0,作

0A=原作05=3,则向量=

例1.如图，已知向量无儿求作向量口一6、C-d

BA,DC则以=5_$,~DC=c-d

例2.如图，已知三角形ABC,如图，用向量A&AC表示向量8C,C8

例3.如图，平行四边形ABCD中，用不、日表示向量

AC,DB

作法：由作向量和的平行四边形法贝h

由作向量差的方法，

~DB=7^B-~Af)=a-b

三、课堂练习：1、课本102页练习

2、证明：MHM-la±z>l-H+\b\并说明什么时候取等号?

提示：可用例2的图

当不、役不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边

得

\a+b\=^AC〈网+网=口+问

、

\a+b\=^AC>AB-网=,山

即M一网<,+.<时+网

四、小结：1、向量减法，作两个向量的差向量；

2、用两个向量表示几何图形中其它向量，是用向量解决几何问题的基础同

学们要注意这方面的训练。

五、作业：1、课本10页

2、练习册第b一3页A组

7.3数乘向量

i.目的：(i)正确性理解数乘向量概念，实数的符号与大小对数乘向量方向与

大小的影响

(2)掌握数乘向量的一些运算法则并能在用图中简单应用

2.重点:数乘向量中的实数意义

难点：数乘向量与加减运算的综合应用

3.教学过程：

(1)引入:用实际生活中的拉行李箱的实例，一人用力E另一人用1.5F的

力。

(2)定义数乘向量(取特殊值作图引出结果)

取4=2,22=2+£,方向与2相同，长度是Z长度的2倍，即2H

同理取丸=上，上。的方向与a相同，长度是a长度的上倍，即±a

2222I।

取4=一2,-2a=(-a)+(-a),方向与a相反，长度是a长

度的2倍，即2H

结果：

①苏是向量②长度：I,1=12IIaI(|2|>1,长度拉长，冈<1,

长度缩短)

③方向：［'>°时，可与婀向

2<0时,4。与〃反向

④4=0,时，Aa=0

4w0,。=0时，Aa=0

Aa=0的充要条件为A=0或Z=6

(3)数乘向量的运算律(只讲不证)

—♦—»—*—*—♦-—♦—*—►—*—

1•a=a,(AjU)a=(4+=2a+A(a+b)=Aa+Ab

化简下列各式

(1)3(—a+2Z?)—(5a—b)

解原式=—3Z+6g—52+3=—防+7各

(2)2(ci+3h—2c)+7(—a—b+3c)

解原式=-5力+工

总结向量的加法与数乘向量的运算法则，在形式上很象实数加法与乘

法满足的运算法则，当然它们在具体含义上是不同的，但是由于他们的运

算法则在形式上相象，因此我们猜想实数中的去括号，合并同类项，移项

等法则，在形式上可以搬到向量的运算中来

第12页例1和例2

例2教学要讲清平行四边形中的一些数乘向量

如图，平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,用向量而,而表示

AO,OD

解因为0是AC,BD的中点，所以

—,1—11—•—-1—•1-

AO=-AC=-(AB+AD)=-AB+-AD

2222

—,1—,1—,—■1—•1—,

OD=-BD=-(AD-AB)=——AB+-AD

2222

一般的，/iZ+z/B称为的一个线性组合，其中为系数，如果

c=^a+j.ib,则称c可由a］线性表出

2.课堂练习在三角形ABC中.已知AD是此三角形的中线，若

标=),就=兀用［3表示通

.,,,I,,I,.I.I,I—*I—♦

AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AB+-AC=-a+-b

222222

用平行四边形法则更好：以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,

----a1-----1----*-----

则AO=—AE=—(AB+AC)

4.简要小结;数乘向量也是一个向量，长度为

2>0时,4a与洞向

数乘向量的的儿何意义

2<0时，4a与a反向

5.作业:(1)完成课本第13页所有习题

(2)完成讲义

课题：与一个非零向量共线的向量

教学内容：向量。与入。之间的共线关系

教学目的：了解向量坐标的表示意义，掌握两向量共线的充要条件

教学重点：两向量共线的充要条件在平几证题中表示与合理应用

教学难点：对向量加法定义的理解

教学过程：

-复习：数乘向量以及有关概念，线性表出、线性组合

强调：人的正负性决定入Z与1的方向之间的关系

二概念

A、［与共线否？为什么？

B、若存在实数;I使B=能否得到了〃£?为什么？

C、若各〃7是否一定存在实数4使Z=为什么？

D、力/I的充要条件是什么？［〃10存在一个实数/1,使3=/13

E、零向量与任何向量平行，即6〃3（任意向量）

F、与非零向量〉共线的向量构成一个集合，则这个集合可以怎样表

示？

祐=4a,几eA}

G、数轴的三要素是什么？轴上的单位向量工可以表示怎样的二个要

素？

H、数轴可以用怎样的要素表示？与之共线的向量叫轴上向量.

1、轴上的任意向量］可否用2表示？怎样表示？

我们把2向量的系数叫做I在轴上的坐标！与Z共线的向量叫轴

上向量

三例题

A.课本第15页例1

B.课本第16页例2

C.补充例题

如图：AD是/ABC边BC上

的中线，E是边AC上靠近点A的三等分点,G是AD与BE的交点.

求BG：BE的值。

四小结概念与方法

五作业完成课本第16—17A、B组题

7.5平面向量的分解定理

教学目的:理解和掌握向量分解定理

教学重点：(1)向量分解的作图方法;(2)分解定理的表示意义;(3)基向量要求

教学难点：向量分解的作图方法与分解定理运用

教学过程：

一、复习：1.向量的加法运算(平行四边形法则)。

2.向量共线定理

由平行四边形想到：

1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯

一?

2.对于平面上两个不共线向量1是不是平面上的所有向量都可

以用它们来表示？

提出课题：平面向量基本定理

二、新课教学

平面向量分解的作图引入：

已知a,3,c,作出Xa与〃旋c-Aa+jjb，并指出2,〃的符号.

作法：(1)把三个向量的起点放在一起

(2)过2的终点作)与了所在直线的平行线，构成•个平行

四边形

分下列四种情况讨论：(上课只作前两种，由学生完成

后两种)

(1)2>0,//>0(2)几>0,〃<0

(3)2<0,/z<0(4)2<0,//>0

后汨rH

（5）当c与a,/?有一平仃时c_//a__c=A-a+O_b

cIIbnc=Ob+〃b

得平面向量基本定理：如果Z3是同平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面内的任一向量2,有且只有一对实数九〃使

c=Aa+/.ib

（一）平面向量分解定理强调以下二点：

（1）存在性：作图已得（当2与都不平行时,当工与1,3有一

平行时）

（2）唯一性：用课木方法论述（不作要求）

（二）（1）定义平面上的基向量（简称基）：根据平面向量分解定理，设H

是平面上不共线的两个向量，则平面上的每一个向量c可以唯

一地表示成1,3的线性组合：

c-Aa+/jb

我们把33称为平面上的一个基，把该式中的系数组成的有序实数

对（儿〃）叫做向量。在基a,B下的坐标。

提问：1。基向量有什么要求?怎样的两个向量不能作平面的基向量？

2.两个向量相同与它们的坐标相同存在什么关系？

三.例题

4例1如图，平行四边形ABCD的边BC利CD的中点分别是E,

F,取凝，而为平面的一个基，分别求向量凝，而，前，而，声

E

课堂练习巴9A组1,2,3

四小结；平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可

以表示为两个不共线向量的线性组合。

五.作业:(1)课本第19页A.B组习题(2)完成7.6讲义

教材：向量的坐标表示与坐标运算

目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标

运算。

过程:

一、复习：1.复习向量相等的概念

自由向量

2.平面向量的基本定理（基底）2=A."I+A.202

ei,e2分别为x,y轴上的单位向量

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向

量的线性组合。

二、平面向量的坐标表示

在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示

问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？

先把所给的向量Z的起点移到原点，取x轴、y轴上两个单位向量

e,,e2作基底,则平面向量U=x6]+ye2,

记作：d=（x,y）称作向量d的坐标

如

c=OC=(1,—5)=(0,1)

结论1:每一平面向量的坐标表示是唯一的，起点移到原点时，终

点坐标即是。

用减法法则：

vXB=O5-OA=(x2,y2)-(x1,y.)

>B(x2,y2)

=(x2-X|,y2-yi)

结论2：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的%标减去始点的,

坐标。

即：A(xhyi)B(X2,y2)则AB=(x2-xby2-yi)

结论3：两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

即：设a=(x,y\b=(m,n),则

_一[x=m

a=bo(x,y)=(m,〃)=<

[y=〃

3.例一：(P21)略

三、平面向量的坐标运算

1.问题：1°已知万(xi,y。h(x2,ya)求5+B,万一坂的坐标

2。已知3(x,y)和实数入，求入5的坐标

2.解：a+b=(^i+yjj)+(x2z+y2j)=(x1+x2)/+(yi+y2)j

即：d+h=(xi+x2,yi+y2)

同理：a-b=(xi-x2,yi-y2)»

3.结论：两个向量和勺差的坐标分别等于-这两个向量相应坐标的和।j差。

4.实数与向量积的坐标运算：已知5=（x,y）实数人

贝I」A.a=X(xZ+yJ)=XxZ+Xyj

X5=(A.x,Ay)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

四、例二(P21例二)

例2设1(1,3)5(—2,4)5(0,5),^3a-b+c的坐标

解的坐标为

3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)

=(3,-9)+(2,-4)+(0,5)

=(3+2+0,-9-4+5)

=(5,-8)

练习

如图在直角坐标系[o；e］中，AB平行于x轴，BC平行于y轴，且

\AB\=2]BC\=-9求向量ABIC的坐标

八y

A--------------------------->B

O▼x

C

解薪的坐标为（2,0）

—-3

8C的坐标为（0,一一）

2

五、小结：1.向量的坐标概念2.向量运算

六、作业：P21练习1—3习题221—6

7.7平面向量坐标与点坐标的关系

I.目的:了解定位向量及定位向量与其终点的关系；

掌握平面向量的坐标运算公式

2.重点:正确理解平面向量的坐标运算公式，并能合理应用

3.难点：坐标运算的合理应用

4.教学过程

--引入：

(I)直角坐标平面上的向量基怎样？

(2)若3=(1,T)指且[的起点在原点，终点坐标是(1,4)

二.新课内容

(1)定义定位向量；起点在原点的向量。

(2)定位向量的坐标：等于它的终点的坐标.

设点P的坐标(a,b),从点P分别作x轴、y轴的垂

线，垂足分别为A、B,则x轴上点A表示的实数是a,y

轴上点B表示的实数是b,如图(1)所示

从而

0A=a6],OB=be,.

(1)

因此

OP=OA+OB=aet+be2.

(2)

于是向量而的坐标为(a,b),由此得出

定位向量的坐标等于它的终点坐标

(3)平面上任意向量的坐标与它的起点与终点的关系

设P(X],),Q(x2,%则。尸，。。的坐标

分别为(X],y,),(x2,>2)，因为

7Q=0Q-OP

(3)

所以而的坐标为

(x2,y2)-(X],y])=Cx2-x1,必”).⑷

即向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标.

三.例题

(1)例1(P23)：设A(-2,5),B(3,-7),求而丽，雨的

坐标.

(2)例2(P24)：已知平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐

标分别是(-3,1),

(1,-2),(3,0),求顶点D的坐标。如图(2)所示.

设问：当平行四边形ABCD中的ABCD去掉，结果会是

什么？

要证明一个四边形是平行四边形应该证明什么？

(3)补充例题

①已知：点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若

AP=AB+A-AC(AeR),试求丸为何值时，点P在第一、

三象限角平分线上？点P在第三象限内？

②已知5=(—3,—2)5=(-4,31/4),求I3)+豆I

四.小结

五.作业(1)P24—P25中的A、B组题

(2)习题纸

图⑴

7.『钱段的中点出标公式和定比今点坐标公K

敖老后的「要术学尘理解立尸今有向依段々尸2所感的比九

的含义和有向彼段的定比台点空标公式，不怩应用

M<o

<#tA--彼段的定比今五右中点坐标公式的应用

敖当雍点，用彼段的是比今点坐标公式解强时区今

Z>0还是4<0

一.复习

上节锦我们老打了，平面向量的坐标号点的空

标的关系，即匍量的坐标号于它的终点生标减去起直

坐标。通过上节锦的老打，我们可。杷向翟■的间耍转化

，点坐标的冏耍，那么&过来我们怩系健杷点的问耍转

化名同董的间观呢7送节锦我们就通过向量来看一看彼

段的中点坐标公式和定比台点坐标公式。(写锦耍)

在上新课前我们先来回忆一下，平面上一个点的坐标与怎么样的向量的坐标

是一样的？(以原点为起点，该点为终点的定位向量)

二.新课引入

1.线段中点坐标公式

如图，已知线段AB的两个端点坐标分别为A(xl,x2),B(y1,y2),线

段AB的中点坐标是多少?

设M点的坐标为(x,y)

由于点M的坐标是线段AB的中点，因此向量0M是三角形OAB的中线,

因此M点的坐标为

即线段的中点坐标等于它的两个端点坐标之和的一半，(1)式称为线段的

中点坐标公式。

也可直接通过A,B,M三点所在向量的关系得到中点坐标公式？

----*1—

AM=-AB

2

=>(xy)-。］,%)=g［(X2，y2)-(x”yi)］也可得中点坐标公式。

例1.已知点A(-1,2),B(3,-8)求(1)线段AB的中点坐标

(2)点A关于点B的对称点坐标。

例2：在平行四边形ABCD中，已知点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),

求点D的坐标。

例3：在平行四边形ABCD中，已知点A(0,-1),B(-1,0),其对角线

的交点M(2,-1),求C、D的坐标。

2.定比分点公式

假如说C不是AB上的中点，而是AB上的任意一点呢？

如图，已知线段AB的端点坐标为A(/,X2),8(%,y2)，设C是线段

AB上任一点，使得W。|=3。却，试问点C的坐标怎么求？

一般情况，在直线AB上任取一点C,一定存在一个2,使得

AC=^CB(1)

我们称C分线段AB成定比4,此时称点C是线段AB的定比分点。

如果已知点A(占，口),8(々,力)和定比九的值，如何求分点C的坐标呢？

设定比分点C的坐标为(x,y),由就=4而则可得：

(x-Xi,y-必)=2(X2-x,为一丁)

x-x.=-x)

由此可得\'即

J-J1=My2-y)

(1+2)x=+AX2

[(l+/l)y=y+Ay2

假如1+4=0,则2=—1,于是尼=一在，从而尼+在=0,

即通=0,这与A,B是不同的两个点矛盾，因此1+/1工0。

从而可得：

X]+AX_必+Ay

22(2)

1+A1+A

此公式称为线段的定比分点坐标公式。

当a=1时，公式(2)便成为线段的中点坐标公式。

注意：(1)(修，力)是起点的坐标，(工2，＞2)是终点的坐标。

(2)定比几是起点到分点的向量与分点到终点的向量之比的系数。

AT

例：在“C分线段AB成定比X”中，A为起点，B为终点，九=”

CB

在“C分线段BA成定比4”中，B为起点，A为终点，/l=—

CA

它们是不同的。

例题求分点坐标：

乙7例1，已知两点A(2,-3),B(-5,4),求分线段AB成定比g的分

点C的坐标。

入7例2：.已知两点A(1,2),B(-5,3),求分线段AB成定比—g的分

点C的坐标。

例3.已知A(1,2)B(-1,3),C分BA的比为一,，求C点坐标

3

例4.已知A(1,2)B(-1,3),C(-5,3)三点共线，求C分AB的比。

小结：只要已知起点、终点和定比几，就可以求分点的坐标。

3.进一步研究2的确定和/I的取值范围

如果C分AB的比为4,即元=4在

(1)如果C在线段AB上(内分点)，向量元与瓦方向相同，

AC

2>0P1U=-

CB

(2)；如果C在线段AB或BA的延长线上(外分点)，向量元与瓦方向

A

图2(2)

三.例题

1.若C分AB的比为2

求(1)A分CB的比为多少？

(2)B分AC的比为多少？

如果C分AB所成的比4=巳3，问：A分BC的比、B分AC的比

4

各为多少

2.已知A(1,2)B(-1,3)

(1)求点C的坐标使就=2AB

(3)求点C的坐标，使B分AC所成的比为-3

四.练习

练习册

五.作业：228B组题

练习P28A组题

平移公式

教学目的:要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公

式，能运用公式解决有关具体问题。（如求平移后的函数解析式）

教学重点:平移公式

教学难点:利用点的平移公式化简函数解析式

教学方法;启发式

教学过程:

一、复习引入函数图象的沿x轴或y轴平移

二、新课讲解：

1、平移的概念：将图形上所有点按同一方向移动同样

的长度，得到另一个图形，这个过程称做图形的平移。

（点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变,

从而导致函数的解析式也随着改变）。（作图、讲解）

2、平移公式的推导：

设P（x,y）是图形厂上的任意一点，它在平移后的图象U上的对应点为

/3,了）可以看出一个平移实质上是一个向量。

设a=(〃,k),即：(h,k)=a=PP'=(x)-(x,y)，(x',y')=(x,y)+(〃,

x,-x+h

k）（终点等于起点加向量）n平移公式

y'=y+k

注意：1°它反映了平移后的新坐标（x,y）与原坐标（x,y）间的关系；

x-x'-h

*

y=y'-k

2。公式变形：:不必记结果。只记住原式，会变形即可。

h-x'-x

<

«=y'-y

三、应用：

例1、将函数y=3x的图象/按a=（0,3）平移到「，求「的函数解析式。

解：设尸（x,y）为/上任一点，它在/'上的对应点为产（£,消

x'=x+Ox=x'

山平移公式:y'=y+3n[y=y」3

代入y=3x得：y'-3=3x'即：y'=3x'+3

按习惯，将y，写成x、y得「的解析式：y=3x'+3

(实际上是图象向上平移了3个单位)

例2、函数y=lg(3x—2)+l图象按向量Z平移后图象的解析式为

y=lg3x，求a,

解法一：设向量a=(h,k)P(x,y)是函数y=lg(3x-2)+l图象上任一点，

平移后函数y=lg3x图象上的对应点为P(x',y')，由平移公式得

x-x+h

<y'=y+k将它代入旷=怆3》得

y+左=lg3(x+/z),与y=lg(3x-2)+1为同一函数，

r2

,,解得3，故所求向量。=(-2,-1)

1=1[k=-\3

解法二：•.•y=lg(3x—2)+l=lg3卜—|)+1即y—l=lg

得

令-

Ig3X

-2

所以将函数y=lg(3x-2)+l的图象按a=(---1)

平移后得到的解析式为y=lg3x。

例3、已知抛物线y=x2-4x-8,(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3,

-2）时的函数解析式；（2）将此抛物线按怎样的向量平移，能使平移后的函

数解析式为＞=/?

解：y=——4x—8=（x—2）2—12的顶点坐标是（2,-12）,先找到平移

公式

Ix'=x-\-h,,..h=l

由《把(3,-2)代(x,y)

(2,-12)代(x,y)=>女=l()n

[y=y+z

平移向量Z=（1（1）

=y：y：＞（代入在抛物线"（一）—2上,

:.y'-W=[(xr-l)-2]2-12,:.y=x2-6x+l

八x=x-h),

⑵将《，代入y=/_4x—8,得

y^y-k

y'=x'2—(2/?+4)x'+/?2+4/7+%—8

2/2+4=07?=-2

令＜可得,

h2+4/i+k—8=0k=n

所以当按向量Z=（-2,12）平移时，可使平移后的函数解析式为y=/

四、小结：平移公式及应用

五、作业：课本31页习题

7.10向量的内积定义和基本性质

教材：平血向量的数量积及运算律

目的：掌握平面向量的数量积的定义及其儿何意义，掌握平面向量数量积的

性质和它的一些简单应用。

过程:

四、复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。

它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。

但这种运算与实数的运算有了很大的区别。

五、导入新课：

1.向量夹角的概念：

设a.b是两个非零向量，分别作有向线段万月而表示a,b我们

把射线OA与射线OB组成的不大于万的那个角叫做a与b的夹角，

记作<a,b>,于是（实物演示）J

0〈<a,b>W7t

并且<a,b>=<b,a>

由于零向量的方向不确定，因此与每一个向量a的夹角可以是任

意一个角，我们用符号<0,a>或va,0>表示

2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab=lallZ>lcos<a,b>,

由定义得出，对于任意向量a,有c

0.a=0,a.0=0

3.注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积以及

实数与实数的积有很大区别

1°两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号

所决定。

2°两个向量的数量积称为内积，写成a力；今后要学到两个向量

的外积aX从而岫是两个数量的积，书写时要严格区分。

30在实数中，a=0或b=0=ab=0在向量的内积运算中，这个

关系还成立吗？Z==6==o返之不成立；因为

其中cose有可能为0。

这就得性质：设a.b是两个非零向量，a»h-0oaLb

*4。已知实数a、b、c（bwO）,贝llab=bc=a=c。但是aO=b-c=a=

ObA

如右图：ab=l«ll*lcosp=I6IIOAI]

be=Iftllclcosa=IiIIOAIj

nab=bc但awc

*5。在实数中,有(a・b)c=a(bc)9但是(a・b)c■a(bc)

显然，这是因为左端是与C共线的向量，而右端是与Q共线的

向量，而一般人与c不共线。

4.例1,已知同=2,忖=3,<>=60°,求54

例2已知鼠3=8,同=1,忖=4,求<23>

—►—,—»a,h

当了W0,/?W0时、cosO=--------

lall6l

5.运算律：(1)交换律：ab=ba

证:设a,一夹角为。,则。•)=lallZ>lcos0,ba-IbllalcosO

：.a・b=b•a

(2)数与向量相乘的结合律：(九。)/=九(。4)=。・(九5)

*证：若九>0,(Xa)blallZ>lcosO,

h(ab)=XlallZ>lcosO,

a(Xb)=Xlall/>lcosO,

若九v0,(Xa)b=1九。llblcos(兀一。)=一九1〃协1(一cos。)

=Xlall6lcosO,

X(ab)=Xlall6lcosO,

a(人b)=lallXftlcos(7u-0)=-XlallAI(-cos0)

=XI«IIMcos0o

(3)分配律：(a+〃),c=a・c+Zrc

—►—►—•2

(