函数经典教材和经典例题分析

函数2.1求函数的定义域一、知识回顾函数的概念：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。记作：，。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。注意：定义域：能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数中真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的的值组成的集合。（6）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。二、经典例题分析1函数的定义域为解：根据题意，，解得。2函数的定义域为解：根据题意，，解得。3已知函数,则函数的定义域为解：根据题意，的定义域为，，解得。三、经典模型分析直接求函数的定义域1函数的定义域为解：根据题意，，解得。2函数的定义域是____．解：根据题意，，解得。总结：直接求函数定义域基本方法：（1）分式函数，分母不为0，如。二次根式函数，被开方数大于等于0，如。（3）对数函数，真数大于0，如变式训练1若，则的定义域为解：根据题意，，解得。2函数的定义域为.解：根据题意，，解得。3函数的定义域为______解：根据题意，，解得。4若，则的定义域为________解：根据题意，，解得。复合函数的定义域1已知函数的定义域为,则函数的定义域为 解：根据题意，，解得上述函数的定义域为。2已知函数的定义域为,则函数的定义域为解：根据题意，，解得的定义域为。总结：复合函数的定义域基本方法：（1）已知函数的定义域是，则的定义域。思路：当，求的取值范围。（2）已知函数的定义域是，则的定义域。思路：当，求的值域。变式训练1已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______解：根据题意，，解得。2已知函数的定义域为,则函数的定义域为_________解：根据题意，，解得函数的定义域为。3已知函数的定义域为,则函数的定义域为解：根据题意，，，解得。定义域是的情况已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是_________解：根据题意，，需要分三种情况去讨论：①，恒成立；②，，解得；③，无解。综述，解得变式训练1已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是_________解：根据题意，，只需，解得或。2若函数定义域为，求取值范围________解：根据题意，，需要分三种情况去讨论：①，恒成立；②，，解得；③，无解。综述，解得。3函数的定义域是，则实数的取值范围是___解：根据题意，，只需，解得或。课程小结：本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以隐含的形式出现，如果你没有把函数的定义域弄明白，那么一定会做错，所以需要学生要准确的理解考点，灵活并熟练地掌握公式，特别是没有表明函数的定义域的情况下。求函数定义域的方法：（1）分式函数的定义域（2）二次根式函数的定义域（3）抽象函数的定义域习题1求函数的定义域为2求函数的定义域为3求函数的定义域为4求函数的定义域；5函数的定义域是.6函数的定义域为（）7函数的定义域为8函数的定义域为9函数的定义域是.10函数的定义域为11函数的定义域是（）12函数的定义域是（）13函数的定义域是，则函数的定义域是_______．14已知函数，则函数的定义域为（）15设，则的定义域为16设函数，则函数的定义域为（）17若函数的定义域为，则实数的取值范围是________。答案：1；2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12；13；14；15；16；17。2.2求函数的值域一、知识回顾在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳为：观察法，单调性法，分离常数法，配方法，判别式法，反解法，换元法。二、经典例题分析1求函数的值域解：根据题意，，因为，,然后将带入得。2求函数，的值域解：根据题意，，得，因上，原函数为减函数，因上，原函数为增函数,当是，原函数有最小值-2，则原函数的值域为。3函数的最小值解：根据题意，本题需要分类讨论，二次函数开口向下，对称轴为，当时，最小值为，当时，取得最小值。4求函数的值域；解：根据题意，令，原式将转化为，开口向上的二次函数，对称轴为，则解得。5函数=()的值域是解：根据题意，，，因为，所以，则原函数的值域为。三、经典模型分析观察法求函数的值域1求函数的值域解：根据题意，，则。变式训练1求函数的值域解：根据题意，,则。2求函数的值域解：根据题意，,则。3求函数的值域解：根据题意，,则。总结：这些类型函数的值域已经明确，只需要用观察法求值域即可。（1）一次函数。（2）二次函数。幂函数。（4）指数函数。（5）反比例函数。（6）三角函数利用函数的单调性求值域1已知，则函数的值域是.解：根据题意，上述函数是增函数，当时，取得最小值，当时，取得最大值。变式训练1函数的值域为____________。解：根据题意，上述函数是减函数，当时，取得最大值4，当时，取得最小值1。2已知函数的值域解：根据题意，上述函数是增函数，当时，取得最小值-2，当时，取得最大值2。3已知函数的值域解：根据题意，上述函数是增函数，当时，取得最小值。总结：先明确函数的单调性，然后将定义域的端点取值带入函数求值。分离常数法求函数的值域1求函数的值域解：根据题意，，因为，。变式训练1求函数的值域解：根据题意，，因为，。2求函数的值域且解：根据题意，，因为，由上述思路，且。总结：上述方法（1）函数。（2）函数二次函数的值域问题1函数在区间的值域为（）解：根据题意，开口向上，对称轴为，当时，取得最小值1，当时，取值最大值为10。变式训练1函数的值域是（）解：根据题意，开口向下，对称轴为，当时，取得最大值1，当时，取值最小值为-3。2函数的值域解：根据题意，开口向上，对称轴为，当时，取得最小值-3。3函数的最大值解：根据题意，本题需要分类讨论，二次函数开口向上，对称轴为，当时，最大值为，当时，取得最大值。总结：二次函数，当，如果在特定区间上求最值或值域一定要考虑对称轴。判别式求函数的值域求函数解：根据题意，上述表达式可变为，转化为，因方程有根，所以有，解得变式训练1求函数的值域.解：根据题意，上述表达式可变为，转化为，因方程有根，所以有，解得。总结：（1）函数，不能求值域，需要转化为关于的一元二次方程，然后,解关于的一元二次不等式。换元法求函数的值域（三角换元和根式换元）1求函数的值域；解：根据题意，令，原式将转化为，则解得。2已知为椭圆上一点,求到直线的距离的最小值。解：根据题意，令（为参数），由点到直线的距离得。变式训练1求函数的值域；解：根据题意，令，原式将转化为，则解得。2已知函数的值域是解：根据题意，令，原式将转化为，则解得总结：（1）根式换元，将令为，然后转化为，利用二次函数的思路求值域。（2）三角换元，，（为参数），然后求解即可。切线的斜率法1求函数的值域解：根据题意，令（为参数），就相当于单位圆上的点和点产生的切线的斜率，解得。变式训练求函数的值域解：根据题意，令（为参数），就相当于单位圆上的点和点产生的切线的斜率，解得。总结：根据斜率公式，三角公式：，根据切线求斜率的取值基本不等式求最值问题1已知，则的最小值为解：根据题意，令，。变式训练1已知正数满足，则的范围是。解：根据题意，令，，则。2已知正数满足，则的取值范围是解：根据题意，令，通过基本不等式。基本方法：（1）基本不等式形式中主要有：，。“1”的活用，构造基本不等式。双绝对值中的取值范围1求函数的值域解：根据题意，①当时，；②当时，；③当时，。所以上述的值域为变式训练1已知函数的值域解：根据题意，①当时，；②当时，；③当时，。所以上述的值域为2已知函数的值域解：根据题意，①当时，；②当时，；③当时，，所以上述的值域为总结：（1）双绝对值是分段函数的另一种形式，。（2）三角不等式构造法求函数的值域基本方法：根据两点间的距离公式。求函数的值域解：根据题意，，这表示点到点和点的距离和，有三角形的两边和大于第三边，则。所以上述的值域为变式训练1求函数的值域解：根据题意，，这表示点到点和点的距离和，有三角形的两边和大于第三边，则。所以上述的值域为。2函数的值域为.解：根据题意，令，，这表示点到点和点的距离和，有三角形的两边和大于第三边，则，所以上述的值域为总结：上述试题重点利用两点间的距离公式，，。利用导数求函数的最值已知函数的最小值解：根据题意，对上述函数求导，解得，在上单减，在上单增，则。变式训练1已知函数的最大值-1解：根据题意，函数定义域是，对上述函数求导，解得，在上单增，在上单减，则。2设函数，求的最小值解：根据题意，函数定义域是，对上述函数求导，解得，在上单减，在上单增，则。总结：上述用导数研究函数的单调性，先求导，再求极值点，然后通过函数的单调性求最值。课程小结：本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以隐含的形式出现，如果你没有把函数的定义域弄明白，那么一定会做错，所以需要学生要准确的理解考点，灵活并熟练地掌握公式，求函数值域的方法有：观察法，二次函数法，换元法，分离常数法，构造法，双绝值问题，导数法，基本不等式，切线的斜率法等。习题1求下列的值域（1）（2）（3）（4）2函数的值域3求函数的值域。4已知函数的值域为5函数的值域为（）6已知函数在的最大值为11，求的值7若，已知函数在的值域8函数的值域是().9函数的值域是()。10函数的最大值为8，求实数的取值范围11求函数的值域12求函数的值域.13已知函数的值域为，求的值14若实数满足，则的最大值是_____________。15若不等式对任意的恒成立，则的取值范围16求函数的值域17求函数的值域18若函数的值域是，则函数的值域是19下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（D）（A）（B）（C）（D）20若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是答案：1（1），（2）和，（3），（4）；2；3；4和；5；61；7；8；9；10；11；12；13；14；15；16；17；18；19D；20。2.3函数的解析式一、知识回顾1函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则叫做集合到的一个函数，记作。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。注意：如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数。2解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系（必须注明函数的定义域，便于算出函数值）。3分段函数的概念分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。说明：①在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式；②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况；③分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；④分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。经典例题分析1已知，求；解：根据题意，令，，，则（）。2已知函数是一次函数，且满足，求的表达式，解：根据题意，设,,解得。3若，且当，求。解：根据题意，利用累加法，，当时，，，，，4定义在上的函数满足,则的值为()解：根据题意，当，；当，。5已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程有两个相等的根，求的解析式。解：根据题意，有，方程有两个等根，由判别式解得，所以。经典模型分析待定系数法求函数的解析式1已知是一次函数，且满足，求的解析式。解：根据题意，设,,解得。变式训练1已知函数的图象过点，则．解：根据题意，设,解得。2已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值（）解：根据题意，对称轴，，解得。3已知幂函数过，求的值解：根据题意，设幂函数，，解得。总结：用待定系数法求函数的解析式，主要先知道函数的类型，然后设出函数类型的表达式，用具体的形式求解。一次函数：（2）二次函数：（3）反比例函数：（4）指数函数：（5）对数函数：（6）幂函数：（7）三角函数：构造法求函数的解析式基本方法：用构造法求函数的解析式，这种构造主要针对复合函数，通过自变量的表达式来确定函数的表达式，但是一定要注意函数的定义域。1已知函数满足，求的解析式。解：根据题意，，因为，所以。变式训练1已知函数，求的解析式。解：根据题意，，因为或，所以（或）。2已知函数，求的解析式。解：根据题意，，因，所以（）。换元法求函数的解析式已知函数，求的解析式。解：根据题意，令，，，则（）。变式训练1已知函数，求的解析式。解：根据题意，令，，，则。2已知函数，求的值解：根据题意，令，得，带入得。总结：用换元法求函数的解析式，这种换元法主要针对复合函数，但是一定要注意函数的定义域。加减消元法求函数的解析式已知函数满足，求的解析式。解：根据题意，令，带入得。变式训练1已知函数满足，求的解析式。解：根据题意，令，带入得。2已知函数是上满足，求的解析式解：根据题意，令，,解得。总结：用加减消元法求函数的解析式，主要是替换变量，然后建立二元一次方程组。赋值法求函数的解析式或函数值已知函数，且，求的值，16解：根据题意，令，，得。令，，令，。变式训练1已知函数，，若，且，求的值。48解：根据题意，令，。令，，令，。2已知函数，且，求值。4034解：根据题意，令，，得。总结：用赋值法求函数的解析式，一般针对抽象函数没有具体的表达式。分段函数的解析式1已知函数，则等于（）解：根据题意，，；，。变式训练1已知函数则（）解：根据题意，，；，；，。2设函数，则不等式的解集是（）解：根据题意，，；当，，；当，，，故。总结：不同的定义域有不同的函数表达式，根据具体的定义域，将自变量带入具体的表达式，然后求解。导数法求函数的解析式1已知函数,求的解析式解：根据题意，令，，得，对上述函数求导，令，得，故。变式训练1已知函数求的解析式解：根据题意，对上述函数求导，令，得，故。总结：本类型试题重点是等式后面的导数值不参与求导，但需要解出导数值。复合函数的解析式已知函数，，求，解：根据题意，，。变式训练设，求的解析式解：根据题意，，故。总结：复合函数的解析式，重点研究函数的变量，明白自变量和函数解析之间的关系。课程小结：研究函数的解析式是研究函数的开始，所以我们一定要明确研究函数解析式的重要方法。如果不明确函数的解析式，那么研究函数就失去价值，也就失去了研究函数的定义域和值域等其他问题，所以我们认真学习函数的解析式。下面我们对本节课学习的内容作一总结：待定系数法求函数的解析式构造法求函数的解析式换元法求函数的解析式加减消元法求函数的解析式赋值法求函数的值分段函数的值的问题习题1已知函数，求的值2已知函数，求的值3已知点在对数函数图像上，求的值4已知满足，求的解析式5已知函数满足，且，若，求的值6已知是单增的一次函数，且，求的解析式7已知函数（是常数且），有唯一解，则函数的解析式8设，求.9已知函数.求的表达式10已知，求.11设则的值为（）12已知函数满足：，，则13若函数满足，在的解析式（）14已知函数，则．15已知函数，求的值16设，求.17已知函数满足满足，求的解析式18已知函数，若，试求函数的值域。19若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）答案：1；211；33；4；5-1,；6；7；8；9；10；1111；12；13；14；15-12；16；17；18；19。2.4函数的单调性一、知识回顾1．单调性（1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数（减函数）；另一种定义：设，且，那么（2）如果在内是增函数；如果在内是减函数。上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点，连线的斜率恒大于(或小于)零。（3）如果函数满足在内是增函数；如果函数满足在内是减函数。（2）如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间。（3）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。(4)复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。2最值最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得，那么，称是函数的最大值.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得，那么，称是函数的最大值。3．函数最值的重要结论(1)设在某个集合上有最小值，为常数，则在上恒成立的充要条件是；(2)设在某个集合上有最大值，为常数，则在上恒成立的充要条件是。二、经典例题分析1若函数在上有最大值0，则的取值范围是（）解：根据题意，对称轴，，在上单增，故。2求函数的单调区间。解：根据题意，函数的定义域为，结合二次函数的图象可知，函数在上是递减的，在上是递增的。3已知函数的最大值为，最小值为，则的值为()解：根据题意，函数的定义域为且，故，根据根式内的二次函数，可得，故，所以。4函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，有。(1)求的值；(2)判断的单调性并加以证明；(3)若，求在上的值域．解：根据题意，(1)∵当，时，，∴令，则。(2)设，则，∵，∴，∴，即在上是增函数．(3)由(2)知在上是增函数，∴，∵，由，知，∴，∴在上的值域为。三、经典模型分析判断下列函数的单调性（1）（2）（3）(4)解：根据题意，由定义，（1）增函数；（2）增函数；（3）减函数；（4）减函数。变式训练判断下列函数的单调性(1)(2)(3)(4)解：根据题意，由定义，（1）减函数；（2）增函数；（3）减函数；（4）增函数。总结：上述试题需要根据函数单调性的定义来判断。含参数的单调性1若函数在上是单调函数，则的取值范围是（）解：根据题意，对称轴，当或，故。变式训练1已知在上是增函数,则的取值范围是______________.解：根据题意，，当，故。2已知是上的增函数，那么的取值范围是（）.解：根据题意，，得。总结：本类型都是已经确定了函数的单调性，由单调性在确定函数的取值范围。函数的单调区间1函数的单调递增区间______解：根据题意，函数的定义域为，令，，二次函数的对称轴为轴，单增区间为。变式训练1函数的单调减区间__________解：根据题意，函数的定义域为，令，，二次函数的对称轴为，单增区间为。2函数的递减区间为_________解：根据题意，令，，对称轴为，单增区间为。3函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间是_______.解：根据题意，，得；当和时，，则函数是单调减函数；当，函数是单调增函数，二次函数的对称轴为轴，则单增递增区间为。总结：本类型都是复合函数，复合函数的单调性是同增异减。函数的最值1已知函数在上的最大值和最小值的和解：根据题意，在上递减，在上递增，当时，有最小值，当时，有最大值，那么最大值和最小值的和为。变式训练1求函数的最大值．解：根据题意，函数的定义域为，且函数在定义域内是减函数，当时，有最大值。2已知函数的最大值解：根据题意，函数的定义域为，，。双绝对值的单调性求函数的单调减区间解：根据题意，当时，；当，；当，，则单调减区间。变式训练求函数的单调增区间解：根据题意，当时，；当时，；当，，则单调减区间。证明函数单调性根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数。证明：任取，，，，所以在上是减函数。总结：证明函数单调性的五步法，（1）取点，（2）做差，（3）化解，（4）确定符号，（5）下结论。课程小结：函数的单调性是研究函数的一种非常重要的性质，它可以帮助我们研究函数的最值，取值范围，函数的值域，包括后续课程导数、三角函数上的学习，所以我们一定要认真学习它。下面就本节课的学习内容作一小结：函数单调性的定义函数单调性的证明函数单调性的性质求函数的最值用导数研究函数的单调性与最值习题1下列函数中，在区间上为增函数的是()A．B．C． D．2求证:函数在上是增函数。3求函数的单调增区间．4讨论函数的单调减区间。5求函数㏒的单调增区间6函数的单调递增区间为________．7已知在的最小值为（）8函数的最大值为________.9已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）10已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（）A．B．C．D．11设函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是___________12下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(D)A．B．C． D．13函数的单调减区间是()14函数在上是减函数，则()A． B．C D．15函数的最大值是()16(2012·安徽高考)若函数的单调递增区间是，则______.17若函数在上递增，在上递减，则f(1)＝()18若函数，在上单调递减，则的取值范围是__19定义在上的函数满足：对任意实数，，总有，且当时，。(1)试求的值；(2)判断的单调性并证明你的结论；(3)设，若，试确定的取值范围．答案：1A；2略；3；4；5；6；70；81；9；10C；11；12D；13；14D；15D；16-6；1725；18；19（1）1，（2）略，（3）。2.5函数的奇偶性一、知识回顾函数奇偶性的基本概念偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，，那么函数就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任一个，都有，，那么函数就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断之一是否成立。在判断与的关系时，只需验证及=是否成立即可来确定函数的奇偶性。函数奇偶性的性质：（1）奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。（2）在原点有定义的奇函数必有。（3）已知函数是上的奇函数，则关于点对称。（4）已知是偶函数，则关于直线对称。（5）已知是奇函数，则是偶函数。（6）已知是上的函数，且是上的偶函数和是上的奇函数，满足，则有，。（7）已知是奇函数，且在上是增（减）函数，则在上也是增（减）函数。（8）已知是偶函数，且在上是增（减）函数，则在上也是减（增）函数。（9）已知是偶函数，必有。（10）若、都是偶函数,那么在与的公共定义域上，+为偶函数，为偶函数。当≠时，为偶函数。（11）若，都是奇函数，那么在与的公共定义域上，+是奇函数，是奇函数，是偶函数，当≠0时，是偶函数。（12）常函数是偶函数，0既是偶函数又是奇函数。（13）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（14）对于复合函数；若为偶函数,为奇（偶）函数，则都为偶函数；若为奇函数，为奇函数,则为奇函数;若为奇函数，为偶函数,则为偶函数。二、经典例题分析1若函数是奇函数，求的值。解：根据题意，得，则，所以。2若函数是奇函数，则的值解：根据题意，得是奇函数，则，且原函数是对数函数，所以。3设函数是上为奇函数，，且，在的值解：根据题意，。4已知，则的值6解：根据题意，。5已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则解：根据题意，。6奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（）解：根据题意，函数是定义在上，且关于对称的奇函数，，，则。7已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是.解：根据题意，，函数图像整体向右平移一个单位，则有，又根据函数的单调性，可知的解集为。8已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则函数的最小值是解：根据题意，，转化为一元二次方程，，解得，。三、经典模型分析判断下列函数的奇偶性。⑴，（2）（3）(4)解：根据定义，（1），是偶函数。，是奇函数。，是奇函数。（4），是偶函数总结：判断函数的奇偶性的方法就是用定义，但是需要先确定函数的奇偶性。二次函数奇偶性的判断函数是偶函数，定义域为，则．解：根据题意，二次函数是偶函数得，，得，则。变式训练设是定义在上的偶函数，则的值域是．解：根据题意，，得，二次函数是偶函数得，则二次函数的解析式为，当时，；由单调性，当或2时，，故。总结：1通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如，（1）当，是偶函数；（2）当，是奇函数。2已知函数，证明：（1）当时，是偶函数；（2）当时，是奇函数利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值已知是奇函数，则的值为解：根据题意，由奇函数的特点，，得。变式训练1已知是奇函数，则的值为解：根据题意，由奇函数的特点，，得。2已知是偶函数，则的值为解：根据题意，由奇函数的特点，，得。总结：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。因为是填空题，所以还可以用。还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。利用函数奇偶性的对称下列函数中为偶函数的是（B）A．B．C．D．解：根据题意，由定义，A是奇函数；B是偶函数；C，D都是非奇非偶函数。变式训练1下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA．B．C．D．解：根据题意，由定义，A是非奇非偶函数；B是奇函数；C是偶函数，D是偶函数。2已知函数是上的偶函数，则，则的值解：根据题意，是关于对称，原函数过点和，则。总结：（1）奇函数关于原点对称，是中心对称图形，偶函数关于轴对称，是轴对称图形。（2）已知函数是上的奇函数，则关于点对称。（3）已知是上的偶函数，则关于直线对称。奇偶函数中的分段问题已知是奇函数，且当时，，求时，的表达式。解：根据题意，当时，，，则当时，。1已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值解：根据题意，。2已知是奇函数，且当时，，求时，的表达式。解：根据题意，当时，，，则当时，。总结：（1）已知奇函数，当，，则当时，。（2）已知偶函数，当，，则当时，。奇函数的特殊和性质已知函数，求的和为4解：根据题意，。变式训练1已知，且，则的值解：根据题意，令，其中是奇函数，则有，所以，故。2已知函数＝，若，则()解：根据题意，，令，其中是奇函数，则有，所以，故。总结：已知满足，，其中是奇函数，则有。函数奇偶性的结合性质设、是上的函数，且是奇函数，是偶函数，则结论正确的是.是偶函数.||是奇函数.||是奇函数.||是奇函数解：根据题意，A是奇函数；B是偶函数，C是奇函数；D是偶函数，故选C。变式训练设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数解：根据题意，A是偶函数；B是偶函数，C是非奇非偶函数；D是非奇非偶函数，故选A。总结：（1）已知是奇函数，则是偶函数。（2）若、都是偶函数,那么在与的公共定义域上，+为偶函数，为偶函数。当≠时，为偶函数。（3）若，都是奇函数，那么在与的公共定义域上，+是奇函数，是奇函数，是偶函数，当≠0时，是偶函数。奇偶函数的拆分设函数与的定义域是且,是偶函数,是奇函数,且,求和的解析式。解：根据题意，，，，解得，。变式训练设函数与的定义域是，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式。解：根据题意，，，，解得，。总结：已知是上的函数，且是上的偶函数和是上的奇函数，满足，则有，。函数的奇偶性与单调性1下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．解：根据题意，A是奇函数，在上单调递减；B是非奇非偶函数，在上单调递减；C是偶函数，在上单调递减；D是偶函数，在上单调递增，故选C。2已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的取值范围是解：根据题意，，当，解得。变式训练1设，则（）A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数解：根据题意，是偶函数，，原函数单增，故选B。2已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若，则的取值范围是____．解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，，，则。课程小结：本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础的形式考查，难度中等，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，函数的奇偶性重点是在其他知识上的应用。本节知识常见的题型有：奇偶性的判断，奇偶性中的参数问题，奇偶性与单调性的综合问题，奇偶性中的分段问题，以及奇函数的常见性质。习题1判断下列函数的奇偶性(1)(2)(3)，（4）2下列函数中，为偶函数的是（C）A．B．C．D．3函数的图像关于（C）A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称4已知函数是上的奇函数，且，则=5设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则6已知是偶函数，当时，，求的值7设偶函数满足，则=8已知，且，则的值9设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为____10下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A），（B），且（C），（D），11（2012新课标文）设函数的最大值为，最小值为，则=___12已知函数,求，求的值13已知函数，若，则的值为_______．14已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则15在上的奇函数和偶函数满足(＞0,且).若，则=16已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）17已知定义在上的函数为偶函数，记，则的大小关系为18是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是19已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递增区间是20已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递减区间为21已知都是奇函数，如果的解集是,的解集为，则的解集为22设在上是偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围。答案：答案：1（1）奇函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数。2C；3C；4-4；5-3；624；7；-7；9；10B；112；126；130；1412；15；16；17；18；19；20；21；22。2.6指数运算和指数函数一、知识回顾指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且为正整数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是，记作。当是奇数时，，当是偶数时，。2．分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义，正数的分数指数幂的意义，规定：，。3．实数指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为，注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。2、指数函数的图象和性质定义域定义域值域值域在上单调递增在上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点函数图象都过定点注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在上，(且）值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数(且），总有；二、经典例题分析1若，则等于（）解：根据题意，，带入已知数得。2已知，则的值是．解：根据题意，，，∴。3计算=．解：根据题意，原式=。4函数的值域为．解：根据题意，令，则，故原函数的值域为：。5若关于的方程有解，则实数的解集为．解：令，即有正实数解，即，在递增，则。6函数的图象与函数的图象关于轴对称，且，则实数的取值范围是。解：根据题意，函数的图象与函数的图象关于轴对称，则是增函数，，所以，解得，故的取值范围为。7若函数(且），在区间上的最大值为9，最小值为，且函数在上为减函数，则实数=．解：因为函数是单调函数，所以该函数的最值取在端点处，，解得，，或，；，∵在上是减函数，∴，；∴，故答案为：。三、经典模型分析化解（）解：根据题意，。变式训练化解。解：根据题意，。比较大小设，则的大小关系是，解：根据题意，上述比较可直接转化为，则。变式训练设，则的大小关系是解：根据题意，上述比较可直接转化为，则。解指数方程方程的根是。解：根据题意，令，上述可转化为，解得，则，方程的解为。变式训练方程的解是_________。解：根据题意，令，上述可转化为，解得，则，方程的解为。方程恒过定点已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（）解：根据题意，令，解得，，则原函数恒过。已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（）解：根据题意，令，解得，，则原函数恒过。指数函数的单调性问题指数函数是减函数，则实数的取值范围是.解：根据题意，原函数是减函数，则，解得。变式训练已知是上的增函数，那么的取值范围是.解：根据题意，原函数是赠函数，解得。指数函数的图像若则函数的图象必不经过（B）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：根据题意，由图可知，原图不经过第二象限。变式训练已知函数，若的图象如图所示，则函数的图象是（）解：根据题意，，解得，则对应的指数函数的平移图像为与轴负半轴相交的减函数，所以选A。指数函数中的值域问题函数的值域是_____。解：根据题意，由，，，则原函数的值域为。变式训练函数的值域是 ()解：根据题意，由，，则原函数的值域为。指数函数中的底数问题若指数函数在上的最大值与最小值的差是，则底数解：根据题意，当时，，解得；当时，，无解，故。变式训练函数（且）在区间上的最大值为14，的值是解：根据题意，令，原函数转化为，对称轴为，当时，是减函数，，当时，函数值取到最大14，解得；当时，是增函数，，当时，函数值取到最大14，解得，故的值是3或。指数函数中的绝对值问题指数函数，若有且只有两实数根，则实数的取值范围解：根据题意，令，由绝对值的特点，，当时，没有根；当时，有一个根；当时，有两个根；当时，有一个根；故实数的取值范围。变式训练若关于的方程有实根，则实数的取值范围是________。解：根据题意，令，原式可转化为，由二次函数的特点，对称轴为，且在上单调递减，则实数的取值范围是。课程小结：指数函数是函数的基本初等函数，在我们学习过程大家一定要理解和掌握函数的这种基本初等函数，它不仅是基础知识，而且也是学习其他知识点奠定了基础，我们不仅要掌握它的公式，更重要的掌握是它的图像与性质。指数的运算指数函数的图象与性质对指数函数中底数的分析指数函数的综合应用指数函数中的导数问题习题1化简的结果是()2计算：3计算：4计算：；5已知的值6函数是指数函数，则的值7指数函数的图象经过点，则8已知函数，若，则＝________.9求函数的单调增区间10函数在上的最大值与最小值的和为3，则．11指数函数在中的最大值比最小值大，则的值为___12函数的值域是13求函数在的最小值．14已知实数，函数，若，则的值为__．15要使函数在，上恒成立，求的取值范围。16已知函数，是上的减函数，则实数的取值范围是()．17若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是____18定义运算：，若，则的值域为19关于的方程有负数根，则实数的取值范围为_____．20已知当其值域为时，求的取值范围。21已知，求函数的最大值2。答案：1；2-1；3；4；53；64；7；87；9；102；11；12；131；14；15；16；17；18；19；20；212。2.7对数运算和对数函数一、知识回顾对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：。常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．如果，那么(2)(3)加法：（4）减法：(5)数乘：（6）（7）(8)(9)（10）换底公式：（11）（12）对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象001001定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高。经典例题分析2解：（1）根据题意，原式等于。根据题意，原式等于。3设方程的两个根分别为，求的值解：根据题意，，，，。4函数的定义域是()解：根据题意，，解得定义域为。5函数在上的值域是()解：根据题意，是增函数，当时，；当时，，解得值域为。6函数的值域是().解：根据题意，原函数的定义域为，而且在定义域内是减函数，，，则原函数的值域是。7设，则的大小关系()解：根据题意，，，，所以它们的关系是。8已知函数,若,则（）解：根据题意，当时，，（舍）；当时，，，则，。9设常数，实数、满足，若的最大值为，则的值为（）解：根据题意，，化为，令，化为，当，当时，取得最大值为，所以，解得，带入解得。10若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为________．解：根据题意，当时，在上是减函数，，。11函数的图象过定点________解：根据题意，当时，，则，所以原函数恒过定点。12设函数的图像与关于直线对称，且，则解：根据题意，设点在函数上，关于直线对称点为，则，转化为，，则。经典模型分析对数公式的应用对数求值（1）（2）（3）（4）解：根据题意，（1）;(2);（3）；（4）。变式训练（1）（2）（3）（4）解：根据题意，（1）；（2）；；（4）。总结：上述题型主要对对数公式的运算，只要熟练对数公式即可。求下列函数的定义域问题函数的定义域是解：根据题意，，解得。变式训练函数的定义域为（）解：根据题意，，解得。总结：（1）分式函数，分母不为0，如。（2）二次根式函数，被开方数大于等于0，。对数函数，真数大于0，。对数函数中的单调性问题函数的单调递增区间为（）解：根据题意，原函数的定义域为，对数函数是增函数，二次函数的对称轴为，则原函数的单调增区间为。变式训练1函数的单调递增区间是解：根据题意，原函数的定义域为，对数函数是增函数，二次函数的对称轴为，则原函数的单调增区间为。2函数的递减区间是（）解：根据题意，原函数的定义域为，对数函数是减函数，二次函数的对称轴为，则原函数的单调增区间为。总结：（1）在对数函数中中，当，在其定义域上是增函数；当，在其定义域上是减函数。（2）在复合函数中，函数的单调性复合同增异减。对数函数中的大小比较1已知，比较，，0,1的大小。解：根据题意，，得；2已知，比较的大小关系解：根据题意，，则有。变式训练1若，，，则的大小关系（）解：根据题意，，，，则上述的大小关系为。2设则的大小关系解：根据题意，，因为，上述的关系为。总结：在比较大小题型中，当，；当，。对数函数求值问题1已知函数，若，则解：根据题意，则，。2解方程解：根据题意，令，上式可转化为，解得，则，故原方程的解为。变式训练1已知,若，，求的值。解：根据题意，由，，可解得，再由，解得，故2已知函数，若，则的值为_______．解：根据题意，，所以。提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式对数函数中的分段函数问题设函数，则的值为（2）解：根据题意，当时，；当时，，则。变式训练已知则_______.解：根据题意，当时，；，当时，，则7。提示：分段函数中主要涉及到对数公式，特别需要注意函数的定义域问题。对数函数中含参数问题若，则的取值范围是．解：根据题意，，且，，解得。变式训练1若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围解：根据题意，，令，，，解得，故求的取值范围。2设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则解：根据题意，原函数是增函数，，解得。提示：对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。对数函数中的图像问题1当时，函数和的图象只可能是()解：根据题意，当时，对数函数是增函数，一次函数是减函数，故选B。变式训练2函数的大致图象是()解：根据题意，定义域为不等式0，原函数是奇函数，当时，是增函数；当时，，故选D。提示：函数的图像题型，先确定函数的定义域，然后看奇偶性再看单调性，然后用特指排除。对数函数中的绝对值问题1已知函数，若，求的取值范围解：根据题意，可得，，所以的取值范围。变式训练1已知函数，若，且，则的取值范围是解：根据题意，令，上述表达式可转化为，，，解得，所以的取值范围。2已知函数,若,且,则的取值范围是解：根据题意，可得，，由单调性可得，故的取值范围是提示：已知对数函数的图像，只需要把轴下方的图像翻到轴上方。如果当，且，必有，以及。课程小结：对数函数是函数的基本初等函数，在我们学习过程大家一定要理解和掌握函数的这种基本初等函数，它不仅是基础知识，而且也是学习其他知识点奠定了基础，我们不仅要掌握它的公式，更重要的掌握是它的图像与性质。本节课重点研究函数的图像与性质，以及常考的题型，下面对本节课的作一小结：对数公式的应用对数知识的总结对数函数的图像与性质对底数进行分类讨论对数函数中的导数问题对数函数与其他知识的综合习题1化解（1）（2）2设，且，则3计算：的值是()4若函数是偶函数，则____________.5若函数是偶函数，且在上最大值为2，则的值6若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为()7已知，则的最小值为（）8若函数在区间上是增函数，的取值范围。9不等式的解集为10设函数，且满足，求的最大值。.11设，则的大小关系12图2-2-2中的曲线是对数函数的图象，已知取四个值，则相应的值依次为（）13若，，则正确的是（A）（B）（C）（D）14若，且，则与之间的大小关系是（）15已知函数满足：当，则＝；当时＝，则＝16函数，当时，，则的取值范围是（）17若，则的最小值为（）18已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点，与函数的图象从左至右相交于点,记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时，求的最小值．19若满足,满足,则+＝20已知两个函数，，若，在的最大值为18，求值；(2)对任意的时，，求的取值范围。答案：1（1）10；（2）0；2；32；4；52；62；7-2；8；9；1012；11；12；13B；14；15；16；17；18；19；20（1）；（2）。2.8幂函数一、知识回顾1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在都有定义并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．幂函数奇函数偶函数第一象限性质减函数增函数过定点二、经典例题分析1若函数是幂函数，且满足，则的值为.解：根据题意，令，有，解得，。2若幂函数在上是增函数，则()A． B． C． D．不能确定解：根据题意，在上是增函数，，故选A。3若函数是幂函数，且是偶函数，则的值________.解：根据题意，，解得或（舍），则。4设，则（）A、B、C、D、解：根据题意，，故选C。5已知幂函数的图象过点，且，则的范围是（）或。解集为，则实数的值为解：根据题意，，令的两个根为，，，，解得。三、经典模型分析幂函数的定义类问题已知幂函数的图像经过点，则=()解：根据题意，，，。变式训练已知幂函数的图象过点，则的值为()．解：根据题意，，，故。总结：本类型题主要考查幂函数的定义表达式，套公式即可。幂函数中的单调性问题幂函数经过点，则是（）A．偶函数，且在上是增函数B．偶函数，且在上是减函数C．奇函数，且在上是减函数D．非奇非偶函数，且在上是增函数解：根据题意，，，，由定义域可知，非奇非偶函数且在上是增函数，故选D。变式训练已知函数是幂函数且幂函数是上的增函数,则的值为（）解：根据题意，，解得或（舍），则。总结：本类型题主要考查幂函数的单调性问题，必须明确幂函数的幂指数。幂函数的图像问题1函数的图象是 （） B．C．D．解：根据题意，原函数是偶函数，且是指数大于1的增函数，故选A。变式训练2已知函数（互质）的图像如图均为奇数B、是奇数，是偶数且C、是偶数，是奇数D、是奇数，是偶数且解：根据题意，原函数是偶函数，且是指数小于1的增函数，故选B。总结：本类型题主要考查与幂函数有关的图像问题，需要明确函数的性质。幂函数中的性质问题函数，满足 （）是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数解：根据题意，原题是奇函数，当时，，是增函数，故选C。变式训练1幂函数(是常数)的图象（

）一定经过点

B、一定经过点C、一定经过点D、一定经过点解：根据题意，由幂函数的性质可得，图像一定过点，故选D。2函数和图象满足 （）关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称解：根据题意，上述函数互为反函数，关于直线对称，故选D。总结：本类型题主要考查幂函数性质，需要利用幂函数的性质解答。二次函数问题若关于的一元二次方程没有实数解，则不等式的解集解：根据题意，，解得，由，解得，不等式解集为。变式训练求二次函数在区间上的最大值解：根据题意，二次函数的对称轴为，当时，；当时，。总结：本类型题主要考查二次函数性质，需要利用二次函数的性质解答。课程小结：本节课是高中比较简单的知识点，而且在高考中往往考查比较少，难度不大，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握幂函数的图像与性质，以及与其他知识之间的综合，重点是在其他知识上的应用。习题1函数在区间上的最大值是 （）2下列所给出的函数中，是幂函数的是 （）A． B． C． D．3幂函数在上单调递减，则等于（）4若，则的大小关系5当时,幂函数的图象不可能经过(

)

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6使成立的的取值范围是（）7已知函数的图象经过原点，则的单调递增区间是________8当时，不等式恒成立，则的取值范围是

.9已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．10已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是B．C．D．11设二次函数,方程的两个根满足。(I)当时,证明(II)设函数的图象关于直线对称,证明。答案：14；2B；3-3；4；5D；6；7；8；9；10B。2.9方程的根与零点一、知识回顾考点1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．(2)方程的根方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点．(3)零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．【注意】如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.考点2二次函数的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ＜0二次函数的图象与轴的交点无交点零点个数2个1个0个考点3用二分法求函数零点近似值的步骤第一步，确定区间，验证，给定精确度；第二步，求区间的中点；第三步，计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令〔此时零点〕；③若，则令〔此时零点〕；第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值(或)；否则重复第二、三、四步。经典例题分析1在下列区间中函数的零点所在的区间为（）B.C.D.解：根据题意，原函数单调递增，，故选A。2已知曲线