2019版理科数学帮试题：第5章第2讲 平面向量的数量积及应用（习思用.数学理）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二讲平面向量的数量积及应用考点1平面向量的数量积1.若向量a,b满足|a|=10，b=(—2，1),a·b=5，则a与b的夹角为()A.90° B。60° C.45° D。30°2.已知向量a和向量b的夹角为30°,｜a｜=2，｜b|=3,则向量a和向量b的数量积a·b=(）A。1 B.2 C.3 D。43。已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(AB-2BC)·（3BC+4CA）=（)A。—132 B。-112C.—6—324。已知两个非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”是“θ为锐角”的()A。充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件5。［2018郑州一中高三入学测试］已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°,则|a+3b｜等于（）A。7 B.10 C。13 D.46.已知｜a｜=3，|b｜=5,如果a∥b，则a·b=。

考点2数量积的性质和运算律7。已知向量a=（-1，2），b=(3，—6）,若向量c满足c与b的夹角为120°，c·（4a+b)=5，则|c｜=(）A.1 B。5 C。2 D。258.已知|a|=1，b=(—1，1)且a⊥(a+b)，则向量a与向量b的夹角为（)A。π3 B。π2 C.2π39.下列给出的关系式中正确的个数为（)①0·a=0；②a·b=b·a;③a2=｜a｜2；④|a·b｜≤a·b；⑤(a·b)2=a2·b2。A。1 B。2 C.3 D.410.(1)已知向量a，b满足（a+2b）·(5a—4b)=0,且|a|=｜b｜=1,则a与b的夹角θ为（）A。3π4 B。π4 C。π3（2）已知平面向量a，b的夹角为π6,且|a|=3,|b|=2,在△ABC中，AB=2a+2b,AC=2a-6b，D为BC中点，则|AD｜等于()A。2 B。4 C。6 D.8（3）已知a=（—3，2），b=(-1,0)，向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(）A。—17 B。17 C。—16考点3平面向量数量积的坐标表示11。向量a=（2,4)，b=（5,3),则a·(a—b)=（)A.—10 B.14 C.(—6,4） D。—212。[2018湖北省部分重点中学高三起点考试］已知向量a=(3，4)，b=（x，1)，若(a—b）⊥a,则实数x等于13。［2018长郡中学实验班选拔考试］设a=（34，m),b=(m,14)，且a·b=1，则|b|=14。已知向量a=(1,3)，b=(3,m），且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为

考点4平面向量应用举例15.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°,P,Q分别是BC,BD的中点，如图,则向量AP与AQ的夹角的余弦值为

16.若力F1,F2,F3达到平衡,且F1,F2大小均为1,夹角为60°，则F3的大小为

答案1。C∵b=（-2,1)，∴｜b｜=(-2)2+12=5,∵|a｜=10，a·b=5，∴cos〈a，b>=又<a，b>∈[0,π］，∴a与b的夹角为45°。故选C。2.C由题意可得a·b=｜a|·｜b|·cos<a，b〉=2×3×cos30°=3,故选C.3。B（AB—2BC)·（3BC+4CA)=3AB·BC-6BC2+4AB·CA—8BC·CA=3|AB|·｜BCcos120°-6|BC|2+4｜AB|·｜CA｜cos120°-8｜BC|·|CA｜·cos120°=3×1×1×（—12)—6×12+4×1×1×(—12）—8×1×1×（-12）=-34。B由a·b〉0,可得到θ∈[0，π2)，不能得到θ∈(0,π2)；而由θ∈(0,π2)，可以得到a5。C依题意得a·b=12,|a+3b|=a2+96。15或-15当a,b的夹角为0°时，a·b=15;当a,b的夹角为180°时,a·b=—15。D依题意可得|a|=5,|b｜=35,a∥b。由c·（4a+b)=5,可得4a·c+b·c=5.由c与b的夹角为120°，可得c与a的夹角为60°，则有b·c=|b｜|c|cos120°=｜c｜×35×(-12)=-352|c|,a·c=|a｜c|×5×12=52|c|，所以4×52|c|—352｜cD设向量a与向量b的夹角为θ,因为a⊥(a+b），所以a·（a+b)=0，即｜a|2+a·b=1+｜a｜｜b|cosθ=1+2cosθ=0,cosθ=-22,θ=3π9。C①②③显然正确.对于④，｜a·b｜=|a｜|b｜｜cosθ|(θ为a，b的夹角），a·b=|a||b｜cosθ，故a·b≤｜a·b｜,故④错误.对于⑤,（a·b)2=(｜a|｜b｜cosθ)2=a2·b2cos2θ≠a2·b2（θ为a,b的夹角),故⑤错误。故选C。10.（1)C因为（a+2b）·(5a—4b）=0，｜a|=｜b｜=1，所以6a·b—8+5=0,即a·b=12又a·b=|a｜|b｜cosθ=cosθ,所以cosθ=12.因为θ∈［0，π],所以θ=π（2）A因为AD=12(AB+AC）=12（2a+2b+2a-6b）=2a—2所以|AD｜2=4（a—b)2=4(a2-2b·a+b2）=4×（3-2×2×3×cosπ6+4）=4,则｜AD(3）A由条件得λa+b=(—3λ—1，2λ），a-2b=（—1，2）,因为向量λa+b与a-2b垂直，所以（—3λ-1,2λ)·(—1，2)=0,即3λ+1+4λ=0，解得λ=—1711.D∵a-b=(—3，1),∴a·（a-b）=—6+4=-2。故选D.12.7∵（a-b）⊥a，∴(a—b)·a=0，即a2=a·b,25=3x+4⇒x=7。13.174依题意得3m4+m4=m=1,｜b｜=14。π6因为a·b=3+3m,｜a|=1+3=2，|b｜=9+m2,由｜b|cos〈a，b>=3,可得|b｜·a·b|a||b|=3，故3+3m2=3，解得m=3，故｜b|=9+3=23，故cos〈a,b>=32315.32114以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A（0,0),B（2，0），C（3，3）,D（1,3)，所以P（52,32)，Q（32,32）,所以AP=(52，32),AQ=（32,32)，所以c