2019版数学（理）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第8章 第8讲曲线与方程 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第8讲曲线与方程板块一知识梳理·自主学习［必备知识]考点求曲线方程的基本步骤[必会结论]1．“曲线C是方程f（x，y）＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想（1）函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件（性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形"的有机结合．(3）等价转化思想：通过坐标系使“数"与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．[考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√",错误的打“×”)（1)f(x0，y0)＝0是点P（x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()（2）方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（)（3）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4）方程y＝eq\r（x)与x＝y2表示同一曲线．（)（5)方程eq\f(x,y－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线．（)答案（1）√（2)×（3)×（4)×(5)×2．［课本改编]到两定点A(0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是(）A．椭圆 B．AB所在的直线C．线段AB D．无轨迹答案C解析∵|AB|＝5，∴到A，B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB。3．［课本改编］若M,N为两个定点，且|MN｜＝6，动点P满足eq\o(PM,\s\up16（→）)·eq\o(PN，\s\up16（→）)＝0，则P点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案A解析∵eq\o（PM，\s\up16（→)）·eq\o(PN,\s\up16（→）)＝0，∴PM⊥PN。∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．4．已知点Feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4），0)），直线l：x＝－eq\f(1,4),点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是(）A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案D解析由已知知|MF｜＝｜MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．5．［2018·金华模拟]已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M（－1,2），Q是线段PM延长线上的一点，且｜PM|＝|MQ|,则Q点的轨迹方程是（)A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0答案D解析设Q（x，y），则P为(－2－x,4－y）,代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0。6．已知一曲线是与两个定点O（0,0)，A（3，0）距离的比为eq\f（1，2)的点的轨迹，求这个曲线的方程．解在给定的坐标系中,设M（x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是eq\f（｜MO｜,｜MA|）＝eq\f(1,2)。由两点之间的距离公式，上式用坐标表示为eq\f（\r(x2＋y2），\r(x－32＋y2））＝eq\f(1,2)，两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0，将方程配方，得（x＋1)2＋y2＝4.所以所求曲线是圆心为C(－1,0），半径为2的圆．板块二典例探究·考向突破考向定义法求轨迹方程例1［2018·大庆模拟］已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1｜－｜AC1｜＝｜MA|,｜MC2|－｜BC2｜＝｜MB｜.又｜MA｜＝｜MB|,所以｜MC2｜－｜MC1｜＝|BC2｜－|AC1｜＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<｜C1C2｜＝6，｜MC2|〉|MC1｜，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8。设动圆圆心M的坐标为（x，y），则动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2，8)＝1（x≤－1）．触类旁通定义法求轨迹方程及其注意点（1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．【变式训练1】如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P,Q，R,｜CP｜＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M。求曲线M的方程．解由题知|CA｜＋|CB｜＝｜CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ｜＝2｜CP|＋｜AB|＝4〉|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点)．设曲线M：eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a〉b〉0，y≠0），则a2＝4，b2＝a2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB｜，2））)2＝3，所以曲线M:eq\f(x2,4）＋eq\f(y2，3）＝1（y≠0）为所求．考向直接法求轨迹方程命题角度1利用动点满足的关系式求轨迹例2在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足eq\o（MB,\s\up16（→)）∥eq\o(OA，\s\up16(→）)，eq\o(MA,\s\up16(→)）·eq\o(AB,\s\up16(→））＝eq\o（MB,\s\up16(→））·eq\o(BA，\s\up16（→）)，M点的轨迹为曲线C.(1）求曲线C的方程；（2)P为曲线C上的动点,l为曲线C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．解（1)设M(x，y）．由已知得B(x，－3)，又A(0，－1),所以eq\o(MA,\s\up16（→)）＝(－x，－1－y)，eq\o（MB，\s\up16(→)）＝(0，－3－y）,eq\o（AB，\s\up16(→)）＝(x，－2)．再由题意可知（eq\o（MA,\s\up16（→))＋eq\o（MB，\s\up16(→)））·eq\o(AB，\s\up16（→）)＝0，即（－x，－4－2y）·(x，－2）＝0,所以曲线C的方程为y＝eq\f（1,4)x2－2.(2）设P（x0,y0)为曲线C:y＝eq\f(1，4）x2－2上一点，因为y′＝eq\f（1，2)x,所以l的斜率为eq\f(1,2）x0，因此直线l的方程为y－y0＝eq\f(1，2)x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－xeq\o\al(2,0)＝0,所以O点到l的距离d＝eq\f（|2y0－x\o\al(2,0）｜,\r(x\o\al（2,0)＋4))。又y0＝eq\f（1,4）xeq\o\al(2,0）－2，所以d＝eq\f(\f(1,2)x\o\al（2，0)＋4,\r（x\o\al（2，0）＋4)）＝eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(x\o\al(2,0）＋4）＋\f（4,\r(x\o\al(2，0)＋4)）))≥2，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2。命题角度2无明确等量关系求轨迹方程例3已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8。(1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（－1,0）,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的平分线,证明直线l过定点．解(1）如图，设动圆圆心为O1(x，y）,由题意得｜O1A|＝|O1M｜，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于点H，则点H是MN的中点，∴|O1M｜＝eq\r（x2＋42），又｜O1A|＝eq\r(x－42＋y2)，∴eq\r（x－42＋y2）＝eq\r(x2＋42),化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0，0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x。（2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0),P(x1，y1）,Q（x2,y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64〉0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝eq\f(8－2bk，k2)，①x1x2＝eq\f（b2，k2），②∵x轴是∠PBQ的平分线，所以eq\f（y1,x1＋1)＝－eq\f（y2,x2＋1)，即y1（x2＋1）＋y2（x1＋1)＝0,（kx1＋b）(x2＋1）＋（kx2＋b）（x1＋1)＝0，2kx1x2＋（b＋k）（x1＋x2)＋2b＝0，③将①、②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0,∴k＝－b，此时Δ〉0,∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0）．触类旁通直接法求轨迹方程应注意的问题直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．考向代入法求轨迹方程例4[2017·全国卷Ⅱ］设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f（x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足eq\o（NP，\s\up16(→）)＝eq\r(2)eq\o（NM，\s\up16(→)）.(1）求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq\o（OP，\s\up16(→））·eq\o（PQ,\s\up16(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。解(1）设P（x，y)，M(x0，y0），则N(x0，0)，eq\o（NP，\s\up16（→）)＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\up16(→))＝(0，y0)．由eq\o（NP，\s\up16（→））＝eq\r（2）eq\o（NM,\s\up16(→))得x0＝x，y0＝eq\f(\r（2),2）y.因为M(x0，y0）在C上，所以eq\f（x2，2)＋eq\f(y2,2）＝1。因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2。（2)证明:由题意知F(－1,0）．设Q(－3，t)，P（m,n)，则eq\o(OQ,\s\up16（→）)＝(－3，t),eq\o(PF，\s\up16（→)）＝(－1－m,－n)，eq\o（OQ，\s\up16（→））·eq\o(PF，\s\up16（→))＝3＋3m－tn，eq\o（OP，\s\up16（→)）＝(m，n），eq\o(PQ,\s\up16(→））＝（－3－m,t－n)．由eq\o(OP,\s\up16（→))·eq\o(PQ，\s\up16（→))＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1）知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。所以eq\o(OQ,\s\up16（→)）·eq\o（PF，\s\up16(→））＝0，即eq\o（OQ,\s\up16(→）)⊥eq\o（PF，\s\up16（→)）。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。触类旁通代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P（x，y)．（2)寻求所求动点P（x，y）与已知动点Q（x′，y′)的关系．(3）建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′,y′.（4）将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．【变式训练2】[2018·泰安质检］如图所示,动圆C1:x2＋y2＝t2,1〈t<3，与椭圆C2：eq\f（x2，9）＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积;（2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解（1）设A（x0，y0），则S矩形ABCD＝4|x0y0|,由eq\f(x\o\al(2,0),9）＋yeq\o\al（2,0）＝1，得yeq\o\al(2，0）＝1－eq\f（x\o\al（2，0），9)，从而xeq\o\al（2，0)yeq\o\al（2,0)＝xeq\o\al(2,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（x\o\al（2，0),9)））＝－eq\f(1,9)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x\o\al（2,0)－\f(9,2)））2＋eq\f（9，4）.当xeq\o\al(2，0）＝eq\f(9,2），yeq\o\al(2,0)＝eq\f（1，2）时,Smax＝6.从而t2＝xeq\o\al(2，0）＋yeq\o\al（2，0)＝5，t＝eq\r（5)，∴当t＝eq\r（5)时，矩形ABCD的面积取到最大值6。(2）由椭圆C2:eq\f(x2,9）＋y2＝1,知A1(－3,0），A2(3，0)，由曲线的对称性及A（x0，y0),得B(x0，－y0），设点M的坐标为(x，y），直线AA1的方程为y＝eq\f(y0,x0＋3)(x＋3）,①直线A2B的方程为y＝eq\f（－y0,x0－3)(x－3），②由①②得y2＝eq\f(－y\o\al(2，0),x\o\al(2，0）－9）（x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故yeq\o\al(2，0)＝1－eq\f（x\o\al(2,0),9）.④将④代入③，得eq\f(x2，9)－y2＝1（x<－3,y<0)．因此点M的轨迹方程为eq\f(x2，9）－y2＝1（x〈－3，y<0）．考向参数法求轨迹方程例5若过点P（1,1）且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．答案x＋y－1＝0解析(1）当l1斜率k存在时，设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－eq\f(1,k）（x－1），所以直线l1与x轴的交点为Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k),0）），l2与y轴的交点为Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，1＋\f(1,k）)),设AB的中点为M（x,y),则有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1，2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，k）)），y＝\f（1，2)\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k）））))，两式相加消去k得x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0。(2)当l1斜率k不存在时，两条直线分别为l1:x＝1和l2：y＝1，与坐标轴两交点坐标分别为A（1,0)，B（0,1)，AB中点Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，\f(1,2）)），适合x＋y－1＝0。综上，AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.触类旁通参数法求轨迹方程的步骤（1）选取参数k，用k表示动点M的坐标．（2）得出动点M的参数方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝fk，,y＝gk。）)(3）消去参数k，得M的轨迹方程．（4）由k的范围确定x,y的范围．【变式训练3】若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M,N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．答案y2＝4（x－2）解析（1)当直线斜率k存在时，设直线方程为y＝k（x－1），点M(x1,y1)，N(x2，y2)，P（x，y）,由eq\o（OM，\s\up16(→）)＝eq\o（NP，\s\up16(→))，得(x1，y1）＝(x－x2，y－y2）．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，，y2＝4x,)）联立得x＝x1＋x2＝eq\f（2k2＋4,k2）.y＝y1＋y2＝eq\f（4k,k2)，消去参数k，得y2＝4（x－2）．(2)当直线斜率k不存在时，直线方程为x＝1，由Oeq\o(P,\s\up16（→））＝2Oeq\o（F,\s\up16（→))得P(2,0）,适合y2＝4(x－2)．综合（1)（2），点P的轨迹方程为y2＝4（x－2）．核心规律求曲线轨迹方程的方法(1)直接法；（2）定义法；（3）代入法；（4)待定系数法；（5)参数法．满分策略1.轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可，求轨迹时，首先求出轨迹方程,然后说明轨迹的形状、位置、大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面性．2.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实际意义。板块三启智培优·破译高考数学思想系列10-—分类讨论思想在曲线方程中的应用[2017·云南模拟]在平面直角坐标系中，已知A1(－eq\r(2），0)，A2(eq\r（2）,0)，P（x，y)，M（x,1），N（x,－2），若实数λ使得λ2eq\o（OM，\s\up16（→））·eq\o（ON,\s\up16（→））＝eq\o（A1P，\s\up16(→)）·eq\o(A2P,\s\up16(→)）(O为坐标原点)．求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．解题视点由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准，一般情况下,分类标准的确立有两点:一是二次项系数分别为0时的参数值,二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确．解eq\o(OM,\s\up16（→))＝（x，1），eq\o（ON，\s\up16(→))＝（x，－2)，eq\o（A1P，\s\up16（→)）＝（x＋eq\r(2），y)，eq\o(A2P，\s\up16（→))＝(x－eq\r(2），y)．∵λ2eq\o(OM,\s\up16（→））·eq\o(ON，\s\up16（→）)＝eq\o（A1P，\s\up16（→）)·eq\o(A2P,\s\up16（→）),∴（x2－2）λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2）x2＋y2＝2（1－λ2）．①当λ＝±1时,方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2,轨迹为圆；③当λ∈(－1,0）∪（0,1)时，方程为eq\f（x2，2)＋eq\f(y2,21－λ2)＝1，轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1）∪（1，＋∞）时,方程为eq\f(x2，2）－eq\f（y2,2λ2－1）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．答题启示在探求轨迹的过程中,我们需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性",也就是说既不能多,也不能少,因此，在求得轨迹方程之后，要深入思考：1是否还遗漏了一些点，是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在；2在所求得的轨迹方程中，x,y的取值范围是否有什么限制条件。本题中对所求曲线范围的限制是根据已知的几何条件得出的.在这类问题中，如果是只求轨迹方程,则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；如果是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.跟踪训练已知动点P（x,y)与两定点M（－1,0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0)．(1）求动点P的轨迹C的方程;(2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．解(1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝eq\f(y，x＋1）·eq\f（y,x－1）＝λ，整理得x2－eq\f(y2,λ)＝1（λ≠0,x≠±1)，即动点P的轨迹C的方程为x2－eq\f(y2,λ）＝1（λ≠0，x≠±1）．(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点）；②当－1<λ〈0时,轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点）；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆(除去点(－1，0），(1,0）)；④当λ〈－1时,轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点）．板块四模拟演练·提能增分［A级基础达标］1．[2018·大连模拟]已知M(－2,0)，N（2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(）A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2） D．x2＋y2＝4(x≠±2）答案D解析MN的中点为原点O，易知|OP｜＝eq\f(1，2)｜MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．2．[2018·长春模拟]如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析由题意知，|EA｜＋｜EO|＝｜EB｜＋｜EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA｜，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆．故选B.3．若点P到点F（0,2）的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y答案C解析由题意知P到F（0,2）的距离比它到y＋4＝0的距离小2,因此P到F（0,2）的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y。4．［2018·大同模拟］设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且｜PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．（x－1）2＋y2＝4C．y2＝－2x D．（x－1）2＋y2＝2答案D解析如图，设P（x，y），圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA｜＝1。又∵|PA|＝1，∴｜PM|＝eq\r（|MA|2＋|PA|2）＝eq\r（2），即|PM｜2＝2,∴（x－1）2＋y2＝2。5．动圆M经过双曲线x2－eq\f（y2，3）＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x答案B解析双曲线x2－eq\f（y2,3）＝1的左焦点F(－2，0),动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M经过F且与直线x＝2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.6．[2018·人大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中,设点P(x,y),M（x,－4），以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________．答案x2＝4y解析由题意可得OP⊥OM，所以eq\o（OP,\s\up16(→))·eq\o（OM,\s\up16(→))＝0，所以（x，y)·（x,－4）＝0，即x2－4y＝0,所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.7．已知圆的方程为x2＋y2＝4,若抛物线过点A(－1,0）,B(1，0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．答案eq\f(x2,4）＋eq\f(y2，3）＝1(y≠0）解析设抛物线焦点为F,过A，B,O作准线的垂线AA1，BB1,OO1，则｜AA1|＋|BB1｜＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得｜AA1｜＋｜BB1｜＝｜FA|＋|FB|,∴|FA|＋｜FB｜＝4,故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点），所以抛物线的焦点轨迹方程为eq\f(x2，4)＋eq\f(y2,3）＝1（y≠0）．8．［2018·济南模拟］△ABC的顶点A（－5，0），B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．答案eq\f（x2，9)－eq\f（y2，16)＝1（x〉3）解析如图，｜AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝｜CF｜，所以｜CA|－|CB｜＝8－2＝6。根据双曲线定义,所求轨迹是以A，B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支，故方程为eq\f(x2,9）－eq\f(y2,16）＝1（x〉3）．9．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4,0），（4，0），C为动点，且满足sinB＋sinA＝eq\f(5，4）sinC，求点C的轨迹．解由sinB＋sinA＝eq\f(5,4）sinC，可知b＋a＝eq\f（5，4）c＝10，即｜CA|＋｜CB｜＝10，满足椭圆的定义．令椭圆方程为eq\f(x2,a′2)＋eq\f(y2,b′2）＝1，则a′＝5,c′＝4⇒b′＝3，则轨迹方程为eq\f（x2,25）＋eq\f（y2，9)＝1(x≠±5），图形为椭圆(不含左，右顶点)．10．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1，l2都相交,且l1，l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程．解设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、弦长间的关系得，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2\r（r2－d\o\al(2,1）)＝26，,2\r(r2－d\o\al(2，2））＝24，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（r2－d\o\al(2，1)＝169,，r2－d\o\al（2,2）＝144，))消去r得动点M满足的几何关系为deq\o\al（2，2)－deq\o\al(2,1）＝25，即eq\f（3x－2y＋32,13)－eq\f（2x－3y＋22，13）＝25.化简得(x＋1）2－y2＝65，即为所求的动点M的轨迹方程．[B级知能提升］1．[2018·山西模拟]长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,eq\o(AC，\s\up16(→))＝2eq\o(CB,\s\up16(→)),则点C的轨迹是(）A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线答案C解析设C(x，y),A(a，0），B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又eq\o(AC,\s\up16（→)）＝2eq\o(CB,\s\up16(→））,所以(x－a,y）＝2（－x,b－y），即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3x,,b＝\f（3，2）y。）)②把②代入①式整理可得:x2＋eq\f（1,4）y2＝1。故选C.2．已知A(0,7)，B(0，－7）,C（12，2），以C为一个焦点作过A,B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A．y2－eq\f（x2，48)＝1(y≤－1) B．y2－eq\f（x2,48）＝1C．y2－eq\f(x2,48）＝－1 D．x2－eq\f（y2,48）＝1答案A解析由题意，得｜AC|＝13,|BC|＝15，|AB｜＝14，又｜AF|＋｜AC|＝|BF|＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c＝7，a＝1，∴b2＝48,∴轨迹方程为y2－eq\f（x2,48)＝1(y≤－1）．3．已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1,圆N：(x－1）2＋y2＝9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为________．答案eq\f(x2,4）＋eq\f(y2,3）＝1(x≠－2）．解析因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM｜＋|PN|＝(R＋r1)＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3）的椭圆(左顶点除外），其方程为eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，3)＝1（x≠－2)．4．［2018·上海模拟］在平面直角坐标系xOy中,已知三点O（0,0),A(－1，1),B(1,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足:｜eq\o（MA,\s\up16(→))＋eq\o（MB,\s\up16（→))｜＝4－eq\f(1,2)eq\o(OM，\s\up16(→)）·(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB，\s\up16(→）)）．(1）求曲线C的方程；(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线l与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．解(1）由题意，可得∵A（－1,1），B（1,1)，M（x，y），∴eq\o（MA，\s\up16(→）)＋eq\o(MB,\s\up16(→))＝（－1－x,1－y）＋(1－x,1－y）＝(－2x,2－2y），由此可得|eq\o(MA,\s\up16(→)）＋eq\o(MB,\s\up16(→））|＝eq\r（－2x2＋2－2y2)＝eq\r(4x2＋4y2－8y＋4)，又∵|eq\o（MA,\s\up16(→））＋eq\o(MB,\s\up16（→）)|＝4－eq\f(1，2）eq\o（OM，\s\up16(→)）·（eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o（OB，\s\up16（→））)，且4－eq\f(1,2）eq\o(OM,\s\up16（→）)·(eq\o（OA，\s\up16（→））＋eq\o(OB，\s\up16(→)））＝4－eq\f（1,2）(x，y)·（0,2）＝4－y，∴eq\r(4x2＋4y2－8y＋4)＝4－y，化简整理得：eq\f（x2，3)＋eq\f(y2,4）＝1，即为所求曲线C的方程．（2）证明：因为过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称