2019版数学（理）一轮讲义：第9讲对数与对数函数 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第9讲对数与对数函数考纲要求考情分析命题趋势1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a〉0,且a≠1）．2017·全国卷Ⅰ，112017·北京卷，82016·浙江卷,121．对数式的化简与求值，考查对数的运算法则．2．对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性,难度不大．3．指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题,综合性强，难度稍大．分值：5~8分1．对数的概念（1）对数的定义如果ax＝N（a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．（2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a（a〉0,且a≠1）__logaN__常用对数底数为__10____lg_N__自然对数底数为__e____ln_N__2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝__N__;②logaaN＝__N__（a〉0,且a≠1)．（2）对数的重要公式①换底公式：!!!logbN＝eq\f(logaN,logab）##＃（a，b均大于零，且不等于1)；②logab＝eq\f(1，logba），推广logab·logbc·logcd＝__logad__。(3）对数的运算法则如果a〉0,且a≠1，M>0,N>0，那么①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；②logaeq\f(M,N）＝__logaM－logaN__;③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)；④logamMn＝!！！eq\f（n,m）logaM#＃#。3．对数函数的图象与性质a>10〈a<1图象性质定义域:__（0，＋∞)__值域：！！!R＃＃#过点__（1,0)__,即x＝__1__时，y＝__0__当x〉1时，__y>0__；当0<x<1时，__y<0__当x>1时，__y<0__；当0〈x<1时，__y>0__是（0，＋∞）上的__增函数__是(0，＋∞）上的__减函数__y＝logax的图象与y＝logeq\f(1，a)x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称4．y＝ax与y＝logax（a>0，a≠1）的关系指数函数y＝ax与对数函数__y＝logax__互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．5．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c〈d〈1〈a〈b。由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．思维辨析（在括号内打“√"或“×")．（1)logax2＝2logax。（×）（2）函数y＝log2（x＋1)是对数函数．（×)(3)函数y＝lneq\f（1＋x,1－x）与y＝ln(1＋x)－ln（1－x)的定义域相同．（√）(4)若logam〈logan，则m<n.(×)解析(1）错误．logax2＝2loga｜x|.(2）错误．不符合对数函数的定义．（3）正确．函数y＝lneq\f(1＋x，1－x)的定义域为(－1，1),而函数y＝ln(1＋x）－ln（1－x)的定义域也为（－1,1)．(4）错误．当a＞1时成立,而0＜a＜1时不成立．2．（2016·全国卷Ⅰ)若a〉b〉1，0<c<1,则(C)A．ac〈bc B．abc〈bacC．alogbc〈blogac D．logac<logbc解析对于选项A,考虑幂函数y＝xc,因为c〉0，所以y＝xc为增函数,又a〉b>1,所以ac>bc，A项错．对于选项B，abc〈bac⇔eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(b,a）)）c〈eq\f(b,a）,又y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（b，a）)）x是减函数，所以B项错．对于选项D,由对数函数的性质可知D项错，故选C．3．如果eqlog\s\do5（\f(1，2）)x<eqlog\s\do5(\f(1，2)）y〈0，那么（D）A．y〈x〈1 B．x<y〈1C．1<x〈y D．1<y<x解析由eqlog\s\do5（\f（1，2))x<eqlog\s\do5(\f（1，2））y〈0，得eqlog\s\do5（\f(1,2)）x<eqlog\s\do5（\f(1,2））y〈eqlog\s\do5（\f（1,2））1．所以x>y〉1，故选D．4．函数y＝eq\r(log0。54x－3)的定义域为(C）A．eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x〉\f(3,4)）))) B．eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（3，4)〈x<1))））C．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（3,4)<x≤1）)）） D．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（3，4)≤x≤1）)）)解析要使函数y＝eq\r（log0。54x－3）有意义，则需log0。5（4x－3)≥0，即0<4x－3≤1，解得eq\f(3，4)<x≤1，故选C．5．计算：log23·log34＋（eq\r（3））log34＝__4__.解析log23·log34＋(eq\r（3））log34＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f（2lg2,lg3)＋3eq\s\up5(\f(1,2)）log34＝2＋3log32＝2＋2＝4。一对数的运算对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后顺用对数的运算性质化简合并．（2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】（1)eq\r（log232－4log23＋4）＋log2eq\f(1，3)＝(B)A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2(2)（2017·全国卷Ⅰ)设x，y,z为正数,且2x＝3y＝5z，则(D)A．2x〈3y<5z B．5z〈2x<3yC．3y〈5z<2x D．3y〈2x〈5z(3）eq\f（1,2）lg25＋lg2－lgeq\r(0。1)－log29×log32的值是！！!－eq\f（1，2）#＃＃。（4）已知2x＝12，log2eq\f（1,3)＝y，则x＋y的值为__2__。解析（1)eq\r（log232－4log23＋4)＝eq\r（log23－22）＝2－log23，又log2eq\f(1，3）＝－log23，两者相加即为选项B．（2）设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k,z＝log5k，∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,lg2)－\f(3,lg3)）)lgk＝eq\f（lg9－lg8,lg2·lg3）·lgk>0，∴2x〉3y；同理，5z－2x＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,lg5）－\f(2,lg2）)）lgk＝eq\f(lg32－lg25，lg5·lg2)·lgk>0，∴5z>2x,∴5z〉2x>3y,故选D．（3）原式＝lg5＋lg2＋eq\f(1，2)－2＝1＋eq\f（1,2）－2＝－eq\f(1，2)。（4）∵2x＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log2eq\f（1，3）＝log24＝2。二对数函数的图象及应用在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标,通过研究两个函数图象得出方程根的关系．【例2】(1）函数f(x)＝lgeq\f(1,|x＋1|)的大致图象是（D)（2）若不等式4x2－logax<0对任意x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,4)））恒成立，则实数a的取值范围为（A）A．eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,256），1）) B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,256)，1））C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，256))） D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f（1,256))）解析(1）f(x）＝lgeq\f（1,｜x＋1｜）＝－lg|x＋1｜的图象可由偶函数y＝－lg｜x｜的图象左移1个单位得到．由y＝－lg|x|的图象可知选D．(2）∵不等式4x2－logax〈0对任意x∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,4）)）恒成立，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1，4))）时，函数y＝4x2的图象在函数y＝logax的图象的下方，∴0〈a<1．再根据它们的单调性可得4×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，4)）)2≤logaeq\s\up5（\f(1,4）），即logaaeq\s\up5（\f(1,4））≤logaeq\s\up5(\f(1，4))，∴aeq\s\up5（\f(1,4)）≥eq\f(1,4)，∴a≥eq\f(1,256).综上可得eq\f(1,256)≤a〈1．三对数函数的性质及应用`（1）对数值大小比较的主要方法:①化同底数后利用函数的单调性；②化同真数后利用图象比较;③借用中间量（0或1等）进行估值比较．(2)解决不等式有解或恒成立问题的方法:对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决,具体做法为：①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；②在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g（x)的图象；③比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．【例3】（1)函数f(x）＝loga(ax－3)在［1，3］上单调递增,则a的取值范围是（D)A．（1，＋∞） B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(1，3）)) D．(3，＋∞)(2）设点P在曲线y＝eq\f(1,2）ex上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，求|PQ|的最小值．解析（1）∵a>0，a≠1，∴u＝ax－3是增函数，∴依题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0，,a×1－3>0，）)即a>3。(2）函数y＝eq\f（1,2)ex与函数y＝ln(2x)互为反函数，图象关于直线y＝x对称，如图所示．函数y＝eq\f（1,2)ex图象上的点Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x，\f（1,2）ex））到直线y＝x的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）ex－x)),\r（2)）。设函数g（x)＝eq\f(1，2)ex－x，g′(x)＝eq\f(1,2）ex－1，由g′（x）＝0得x＝ln2，则g（x）在（－∞，ln2)上递减，在(ln2，＋∞）上递增．∴g（x)min＝1－ln2，dmin＝eq\f（1－ln2，\r（2)）.由图象关于直线y＝x对称得｜PQ|的最小值为2dmin＝eq\r(2）(1－ln2)．1．下列四个命题:①∃x0∈（0，＋∞)，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）)）x0<eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3）））x0；②∃x0∈(0,1)，eqlog\s\do6(\f（1，2)）x0>eqlog\s\do5(\f（1,3)）x0；③∀x∈(0，＋∞），eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））x〉eqlog\s\do6(\f（1，2)）x；④∀x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,3））)，eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）））x<leqlog\s\do5(\f(1，3)）x。其中真命题是（C)A．①③ B．②③C．②④ D．③④解析根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的,②④是正确的，故选C．2．已知函数y＝lg［（a2－1)x2－2(a－1)x＋3］的值域为R,则实数a的取值范围是(B）A．［－2，1］ B．[－2，－1］C．（－2,1） D．(－∞,－2）∪[1,＋∞)解析函数的值域为R,只需满足u＝（a2－1）x2－2(a－1)x＋3能取得(0,＋∞)的所有实数，所以当a＝1时,不合题意，当a＝－1时,u＝4x＋3成立，当a2－1>0时,Δ＝4(a－1）2－12(a2－1)≥0，解得－2≤a〈－1．综上，－2≤a≤－1．3．f（x)＝log3x·log3（3x)的值域为！！！eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，4），＋∞）)###。解析f(x）＝log3x·log3（3x）＝log3x(1＋log3x)＝（log3x）2＋log3x，令log3x＝t，则y＝t2＋t＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t＋\f(1,2)）)2－eq\f(1，4)≥－eq\f(1，4)。4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－x2＋2x,x≤0，，lnx＋1，x>0，)）若｜f(x)|≥ax，则a的取值范围是__[－2,0]__。解析∵|f(x)|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,lnx＋1，x〉0，))∴由｜f（x)|≥ax，以下两种情况均成立：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≤0,,x2－2x≥ax）)恒成立，可得a≥x－2恒成立，则a≥(x－2）max,即a≥－2；②由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x〉0,，lnx＋1≥ax)）恒成立，根据函数图象可知a≤0。综合①②得－2≤a≤0。易错点忽视对数的真数大于零错因分析：解决对数问题，时刻要注意真数大于零．【例1】函数y＝eqlog\s\do6（\f（1,2））(2x2－3x＋1）的递减区间为(）A．（1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4）)）C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2),＋∞）） D．eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3,4）,＋∞）)解析由2x2－3x＋1>0，得x〉1或x〈eq\f(1,2）,易知u＝2x2－3x＋1eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x〉1或x〈\f（1,2）))在（1,＋∞）上是增函数，而y＝eqlog\s\do6（\f（1，2））（2x2－3x＋1)的底数0<eq\f（1,2）<1，所以该函数的递减区间为(1,＋∞），故选A．【跟踪训练1】已知函数f（x）＝eqlog\s\do6(\f（1，2)）（x2－2ax＋3),是否存在实数a，使f(x)在（－∞,2)上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．解析令g(x）＝x2－2ax＋3，∵0〈eq\f(1,2)<1，∴要使f（x）在(－∞，2）上为增函数，应使g(x）在（－∞,2）上为减函数,且恒大于0，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥2,，g2≥0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2,，7－4a≥0，）)a无解．所以不存在实数a，使f(x)在（－∞,2)上为增函数．课时达标第9讲[解密考纲]本考点主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质、简单复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．函数y＝eq\f(lgx＋1,x－1)的定义域是(C)A．(－1,＋∞) B．［－1,＋∞）C．（－1,1）∪（1，＋∞) D．[－1,1)∪（1，＋∞)解析要使eq\f（lgx＋1，x－1）有意义,需满足x＋1>0且x－1≠0，得x〉－1且x≠1．2．若0<x<1，则下列结论正确的是(C)A．eq\r(x)>2x〉lgx B．2x〉lgx〉eq\r（x)C．2x〉eq\r(x)〉lgx D．lgx〉eq\r(x)>2x解析∵0<x<1，∴2x>1，0<eq\r（x）〈1，lgx<0，∴2x〉eq\r（x）>lgx,故选C．3．（2018·天津模拟）函数f（x)＝eqlog\s\do6(\f(1，2))（x2－4)的单调递增区间是（D）A．(0，＋∞) B．(－∞，0）C．（2，＋∞） D．（－∞，－2)解析函数y＝f(x)的定义域为(－∞,－2）∪(2，＋∞），因为函数y＝f(x）是由y＝eqlog\s\do6（\f(1，2））t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝eqlog\s\do6（\f（1,2))t在（0,＋∞）上单调递减,g(x）在（－∞，－2）上单调递减，所以函数y＝f(x)在（－∞，－2）上单调递增，故选D．4．（2018·福建福州模拟）函数y＝lg｜x－1｜的图象是（A）解析因为当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．5．（2017·北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与eq\f（M,N)最接近的是（参考数据：lg3≈0。48)（D)A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析因为lg3361＝361×lg3≈361×0。48＝173,所以M≈10173,则eq\f(M，N)＝eq\f（10173,1080)＝1093，故选D．6．（2018·四川成都一诊）设a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（7,9))）－eq\s\up5(\f（1，4)），b＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（9,7）））eq\s\up5(\f（1,5)),c＝log2eq\f(7,9），则a，b,c的大小顺序是(C）A．b<a〈c B．c<a〈bC．c<b〈a D．b〈c〈a解析∵a＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7，9）））－eq\s\up5(\f（1，4)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(9,7)))eq\s\up5(\f（1，4)）,b＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(9,7）))eq\s\up5(\f（1，5)）,且函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(9，7))）x为R上的增函数，eq\f（1，4）>eq\f（1,5),∴a〉b〉0，又∵c＝log2eq\f(7,9)<0,∴c<b<a,故选C．二、填空题7．函数y＝eqlog\s\do6(\f（1,2))（x2－6x＋17）的值域是__(－∞，－3]__.解析令u＝x2－6x＋17＝（x－3)2＋8≥8，又y＝eqlog\s\do6(\f（1，2)）u在[8，＋∞）上为减函数，所以y≤eqlog\s\do6(\f(1，2))8＝－3.8．已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（log4x,x>0，,2－x，x≤0,))则f（f（－4））＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（log2\f(1,6)))＝__8__。解析f(f（－4）)＝f（24)＝log416＝2，∵log2eq\f（1，6)〈0，∴feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（log2\f(1，6）)）＝2－log2eq\f（1，6)＝2log26＝6，即f（f(－4))＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(log2\f（1，6))）＝2＋6＝8。9．已知f（x）＝log2（x－2)，若实数m,n满足f(m)＋f（2n）＝3，则m＋n的最小值为__7__。解析由已知得f(m）＋f（2n）＝log2（m－2)＋log2（2n－2）＝log22(m－2)(n－1)，又f（m）＋f（2n)＝3,所以log22(m－2）(n－1）＝3，即2（m－2）（n－1)＝23＝8，因此(m－2）(n－1)＝4，所以m＋n＝（m－2)＋（n－1）＋3≥2eq\r(m－2n－1)＋3＝2×2＋3＝7，当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4,n＝3时取等号．三、解答题10．(1)lg5（lg8＋lg1000)＋(lg2eq\s\up6（eq\r(3）))2＋lgeq\f（