【金版学案】高中数学人教版选修41练习：2.3圆切线性质及判定定理(含答案解析)

第二讲直线与圆的地点关系2.3圆的切线的性质及判断定理A级

基础稳固一、选择题1．以下说法正确的选项是

(

)A．垂直于半径的直线是圆的切线B．垂直于切线的直线必经过圆心C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过切点分析：A垂直于半径且经过半径外端的直线是圆的切线，

B明显不正确，

C正确，D

显然不正确．答案：C2.如下图，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A＝40°，则∠APB等于( )A．25°B．20°C．40°D．35°分析：如下图，连结OP.由于AP为圆O的切线，因此∠OPA＝90°.由于∠A＝40°，因此∠AOP＝90°－40°＝50°.由于OP＝OB，因此∠OPB＝12×(180°－50°)＝65°.因此∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90°－65°＝25°.答案：A3.如下图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则cos∠APO的值为( )33A.4B.544C.5D.3分析：由于PA为⊙O的切线，因此OA⊥PA，在Rt△OAP中，OP＝OA2＋AP2＝32＋42＝5.故cos∠APO＝PA4OP＝.5答案：C4．AB是⊙O的切线，在以下给出的条件中，能判断AB⊥CD的是( )A．AB与⊙O相切于直线CD上的点CB．CD经过圆心OC．CD与⊙O订交D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O分析：由圆的切线性质定理，可选D.答案：D5.如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心的圆与斜边AB相切于点D，则⊙C的半径为()7A．5B.512C.5D．1分析：连结CD(如图)，则CD⊥AB.由三角形面积公式，11得S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC.因此CD＝BC·AC.AB又由于AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5，12因此CD＝5.答案：C二、填空题6．如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC与⊙A相切于点D，与AB订交于点E，则∠BDE＝________．分析：由于BC与⊙A相切于点D，因此AD⊥BC.1且∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，又由于AD＝AE，因此△ADE为等边三角形，即∠ADE＝60°.因此∠BDE＝90°－∠ADE＝30°.答案：30°7．如下图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连结OA、OB.若∠ABC＝70°，则∠A等于________．分析：由于BC与⊙O相切于点B，因此OB⊥BC.因此∠OBC＝90°.由于∠ABC＝70°，因此∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.由于OA＝OB，因此∠A＝∠OBA＝20°.答案：20°8．如下图，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD＝1，AD＝3，那么cos∠ACB＝________．分析：连结BD(如图)，由于AB为半圆的直径，因此∠ADB＝90°，即BD⊥AC.又由于BC为半圆的切线，因此AB⊥BC.因此Rt△BDC∽Rt△ADB.因此CD＝BD，即BD2＝AD·CD＝3.BDAD因此BD＝3.因此Rt△ADB中，AB＝AD2＋BD2＝23.因此cos∠ACB＝cos∠ABD＝BD＝3＝1.AB232答案：12三、解答题9．如下图，OA和OB是⊙O的半径，而且OA⊥OB，点P是OA上随意一点，BP的延伸线交⊙O于点Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延伸线于点R，求证：RP＝RQ.证明：连结OQ(如图)．由于QR是⊙O的切线，因此OQ⊥QR.由于OB＝OQ，因此∠B＝∠OQB.由于BO⊥OA，因此∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，PQR＝90°－∠OQP，因此∠RPQ＝∠PQR，因此RP＝RQ.10．如下图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，试证明PE是⊙O的切线．证明：如下图，连结OP、BP，由于AB是⊙O的直径，因此∠APB＝90°.因此∠BPC＝90°.又由于BE＝CE，因此PE＝BE.因此∠3＝∠1.又由于OP＝OB，则∠4＝∠2.由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°.因此∠3＋∠4＝90°.即OP⊥PE.因此PE是⊙O的切线．B级能力提高11.如下图，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于点C，AC＝2BC，则sin∠MCA等于( )12A.2B.235C.2D.5分析：连结OC(如图)．由于MN切⊙O于点C，因此OC⊥MN，因此∠MCA＋∠ACO＝90°.由于OC＝OA，因此∠ACO＝∠CAO.由于AB是⊙O的直径，因此∠ACB＝90°，因此∠CAO＋∠B＝90°，因此∠MCA＝∠B.1由于AC＝2BC，即BC＝2AC，因此AB＝AC2＋BC2＝AC2＋4AC2＝5AC，ACAC5因此sinB＝AB＝5AC＝5.因此sin∠MCA＝55.答案：D2．如下图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延伸BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．分析：连结OC(如图)．O、C为AB、DB中点，则OC∥AD.又OC⊥CE，则CE⊥AD.又AC⊥BD，BC＝CD.因此AB＝AD＝6.由射影定理，有CD2＝AD·ED＝12，22因此BC＝CD＝12，即BC＝23.3．如下图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延伸线订交于点E，G是长AF与CB的延伸线订交于点P.

AD

的中点，连结CG并延伸与BE订交于点

F，延(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是圆O的切线．证明：(1)由于BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，因此EB⊥BC.又由于AD⊥BC，因此AD∥BE.易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC.因此BF＝CF，EF＝CF.DGCGAGCGBFEF因此DG＝AG.由于G是AD的中点，因此DG＝AG.因此BF＝EF.(2)连结AO，AB(如图)．由于BC是圆O的直径，因此∠BAC＝90°.在Rt△BAE