人教版高中数学选择性必修二导学案

人教版高中数学选择性必修二导学案全套

《4.1数列的概念》导学案

（第一课时）

【学习目标】

1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.

2.掌握数列的分类.

3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.

4.掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

【重点和难点】

重点：数列的有关概念与数列的表示方法

难点：数列的函数特征

【知识梳理】

一、数列

1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.

2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1

项,常用符号&表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a?表示……第n个位置上

的数叫做这个数列的第n项,用a“表示.其中第1项也叫做首项.

3.表示:数列的一般形式是abaz,…,a,简记为｛a„｝.

点睛：（D数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性.

数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，

例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.

（2）符号｛a,｝和a”是不同的概念，区｝表示一个数列,而a表示数列中的第n项.

二、数列的分类

类别含义

按项的有穷数列项数有限的数列

个数无穷数列项数无限的数列

按项的变递增数列从第2项起,每一项都大壬它的前一项的数列

化趋势递减数列从第2项起,每一项都小王它的前一项的数列

常数列各项相等的数列

从第2项起,有些项大工它的前一项,有些项

摆动数列

小于它的前一项的数列

三、数列与函数

数列｛aj是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…，n｝)到实数集R的函数,

其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项a”，

记为a„=f(n).

另一方面，对于函数y=f(x),

如果f(n)(nGN*)有意义，

那么构成了一个数列｛f(n)｝.

f(l),f⑵，…，f(n),•••

o123456789101112131415161718〃

四、数列的通项公式

如果数列｛a“｝的第n项a“与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式

子叫做这个数列的通项公式.

点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)｛1,2,…,n)为定义

域的函数表达式.

(2)并不是所有的数列都有通项公式.

(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列

T,1,T,1,T,1,…的通项公式可以写成心=(-1)",a„=(T)"；a„=cosn兀等.

1.下列叙述正确的是()

A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类

B.数列中的数由它的位置序号唯一确定

C数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝

D.同一个数在数列中不可能重复出现

2.若数列｛a0｝的通项公式是a„=n2-l,则该数列的第10项ai°=,224是该数列的第

项.

【学习过程】

一、情景导学

古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”

如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，

则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.

那么什么叫数列呢？

二、问题探究

1.王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成

一列数：

75,87,96,103,110,116,120,128,138,

145,153,158,160,162,163,165,168①

记王芳第i岁的身高为％,那么1=75,h2=87,…，3=168.

我们发现看中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定

位置，即h1=75是排在第1位的数，hz=87是排在第2位的数

…，也7=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以

①具有确定顺序的一列数。

2.在两河流域发掘的一块泥板（编号K90,约生产于公元

前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，

每天月亮可见部分的数：

5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240.②

记第i天月亮可见部分的数为Si，那么s1=5,s2=10,…，Si5=240.这里，*中的i反映了

月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即S/5是排在第1位的数，s2=10

是排在第2位的数……S】5=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也

是具有确定顺序的一列数。

3.《的11次幕按1次累，2次幕，3次累，4次累……依次排成一列数:

1111

一，—，—，-'③

24816

思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

三、典例解析

例1.根据下列数列｛a｝的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.

n1)1T

(1)an=;(2)an=cos^-

例2.根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式：

(%,2,38,…;(2)1,-3,5,-7,9,-;

(3)9,99,999,9999,…；(4)早,早,?，?，…；

(5)-J-J_-_LJ_....

'1X2*2X3"3X4,4X5，'

(6)4,0,4,0,4,0,-.

根据数列的前几项写通项公式的具体思路为：

(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.

(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系.

(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(T)-处理符号.

(4)对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答.

2.常见数列的通项公式

(1)数列T,1,T,1,…的一个通项公式是a„=(-l)",数列1,-1,1,-1,•••

的一个通项公式是a0=(T)""或(T)1

(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是a0=n.

(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是a„=2n-l.

(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是a„=2n.

(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是a„=2n".

(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是a0=n：

(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是a”一等.

(8)数列…的一个通项公式是a,.=i.

跟踪训练L写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴1,林下⑵与号用8a

⑶。曰17;⑷|福最专

(5)7,77,777,7777.

2

例3(1)已知数列｛aj满足an=n-5n-6,n£N*.

①数列中有哪些项是负数？

②当n为何值时,a“取得最小值?求出此最小值.

(2)己知数列瓜｝的通项公式a0=(n+D管)％G“)，试问数列瓜｝有没有最大项?若有,求出

最大项和最大项的项数;若没有，请说明理由.

求数列的最大(小)项的两种方法

(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调

性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集｛1,2,…,n｝这一

条件.

(2)可以利用不等式组[7支(2])找到数列的最大项；

lan—an+l

利用不等式组二］an，(n>D找到数列的最小项

ldn—dn+l

变式探究：在本例(2)中，若已知数列的通项公式a0=上-仁)：neN\试求该数列｛a,,｝的最小

n+3\87

项.

【达标检测】

L下列各项表示数列的是()

A.△,O,□

B.2008,2009,2010,-,2017

C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

D.a+b,a-b,ab,Xa

2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()

A.1,2,3,,,,,20

B.-1,-2,-3,,,,,-n,

C.1,2,3,2,5,6,

D.-1,0,1,2,,,,,100,•••

3.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆

圈.

OO

O

OOO

O

OOO0°C°OO

UOOOOOOO°OoO°

O

OOO

OOOO

OO0

OO

⑴(2)(3)(4)(5)

4.已知数列｛a.｝的通项公式为a0=log3(2"+l),则a产.

5.已知数列次,77,何底，…,则5g是该数列的第项.

6.在数列｛a„｝中，已知a„=^y-i(nSN*).

(1)写出aw,3tl+i.

(2)79|是不是该数列中的项?如果是,是第几项？

7.已知数列｛an｝的通项公式a“#7(keR).

2n+3

⑴当k=l时,判断数列｛a“｝的单调性；

(2)若数列｛aj是递减数列,求实数k的取值范围.

【课堂小结】

'数列的定义

数列的表示

数列的概念与表示(数列的分类

数列的函数特征

、数列的通项公式

【参考答案】

知识梳理

1.解析:按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错

误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合｛1,3,5,7｝是两个不同的概念,C错误；同一个

数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数歹ij,D错误;对于给定的数歹！J,

数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.

答案:B

2.解析:aio=lO：-1=99.令a„=rf'T=224,解得n=15,

即224是该数列的第15项.

答案:9915

学习过程

一、典例解析

例1.解：(1)当通项公式中的n=l,2,3,4,5时，数列｛a„｝的前5项依次为

1,3,6,10,15

如图所示(1)

(2)当通项公式中的n=l,2,3,4,5时，数列｛a.｝的前5项依次为

1,0,-1,0,1

如图所示(2)

例2.解：(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观

察弓H卷尽…，所以，它的一个通项公式为a“=?

(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-l;考虑(-1)""

具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a„=(-l)ntI(2n-l).

(3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,--此数列的通项公式为10",可得原数列的

一个通项公式为a„=10"-L

(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2nT;分子的前

一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+l))分子的后一部分是减去一个自然数,

(n1)

其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为all-^/=粤宇.

2n-l2n-l

(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负，偶数项为

正,所以它的一个通项公式是a„=(-l)n-

n(n+l)

(6)由于该数列中，奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项

「4n为奇数

公式，即a,=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…，因此其通项公

(0,n为偶数.

式又可表示为a„=2+2X(-l)nH.

跟踪训练1.解：(l)a„=-i-;⑵a“=2n+2；(3)a„=2"+l;

2n-l2n

(4)a„=;(5)an^dO'-l).

(2n)-19

例3分析：(1)①根据数列的函数的特征，以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的

性质即可求出.

(2)数列｛a.｝的通项芈三计算确定单调性言广求解最大(小)项

n€N,正、负单调性

(1)ft?：®an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.

・・・n£N\・••数列中第1,2,3,4,5项为负数,

即-10,-12,-12,-10,-6.

②an=n"5n-6二(n-|)-祟当n=2>3时,a”取得最小值,最小值为T2.

(2)解法一：:aI1+i-an=(n+2乂耳)-(n+l)^)

/ioy9-n

\11/11,

・，・当n<9时,an+i-an>0,即an+1>an;

当n=9时，ant-an=0,即an+i=an;

当n>9时,an+i-an<0,即an+i<an.

,,

故ai<a2<a3<-<a9=aio>a11>ai2>---,

J数列中有最大项,最大项为第9,10项，

OM1O10

BPa9=aio=-^-.

解法二:设ak是数列的最大项，

则吃X，Jk+D(旌糕广

takak+1,kk+1

-[(k+l)g)>(k+2)(^))

整理得(10k+1°N11k,得9WkW10

楚埋'号Ilk+11>10k+20,倚'

所以k=9或k=10.又ai=1^〈a9=a1。，即数列瓜｝中的最大项为a产aio三崇

变式探究：解:设第n项a.最小，则1，

(―•(2)“<J_・"+；解得｛出

叩，n+3\8/n+2

(―•(2)“<_L_

5+3\87-n+4

所以5WnW6,所以n=5或n=6.又a尸5加二ae,

即as与加都是数歹I」的最小项，且a5=a,=g.

达标检测

1.解析:数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合.

答案:B

2.解析：由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.

答案：D

3.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第n个图形中

小圆圈的个数.

解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1X2+1,2X3+1,3X4+1,4X5+1,…，故第n

个图中小圆圈的个数为(nT),n+l=n'-n+l.

答案：--n+l

4.解析:观察可得数列的一个通项公式是a,=历久,而56=g=V4x19-1,所以5g是

该数列的第19项.

答案：19

:i

5.Va„=log3(2"+1),.*.a3=log3(2+l)=log39=2.

答案：2

6.解：⑴眦处产=嗫

(n+l)2+(n+l)-ln2+3n+l

④”3=-3~-

(2)令a.」M=79|,解得n=15(n=-16舍去)，所以79|是该数列中的项,并且是第15项.

7.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项a”与的大

小来确定数列的单调性；

对于(2),可根据数列是递减数歹!I,得出a“与a“”的大小关系,从而确定k的取值范围.

解：⑴当k=l时,a„=-^-,所以a0“=

2n+32n+5

所以an+i-an=-^----—=---------->0,

2n+52n+3(2n+5)(2n+3)

故数列｛a,,｝是递增数列.

(2)若数列⑸｝是递减数列，则a„tl-an<0恒成立,

kn+kkn3k

即Q-nt1-Hn<0恒成立.

2n+52n+3(2n+5)(2n+3)

因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.

《4.1数列的概念》导学案

(第二课时)

【学习目标】

1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.

2.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.

【重点和难点】

重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系

难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式

【知识梳理】

一、数列的递推公式

像an=3an_x（n>2）这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一

项了

点睛：通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映了a.与n之间的关系，即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值a„;

递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系,要

求a“,需将与之联系的各项依次求出.

二、数列的通项与前n项和

1.数列｛aj从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列｛a.｝的前n项和,记作S,„即

S„=a,+a2+-+a...如果数列｛aj的前n项和S“与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来

表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

2a=pi，n=1，

（Sn-Sn-i,n>2.

点睛⑴已知数列｛aj的前n项和S,„求a”一般使用公式an=S「Sz（n》2）,

但必须注意它成立的条件（n）2且nGN*）.

⑵由求得的a,„若当n=l时,a.的值不等于&的值,

则数列的通项公式应采用分段表示,即a“=《i'个=1；>>

（Sn-Sn1，nN2.

1.设数列区｝满足ai=l,a„=l+—（neN*,n>l）,则a3=________.

an-l

2.判断（正确的打“J”，错误的打“义”）.

（1）递推公式也是表示数列的一种方法.（）

（2）所有数列都有递推公式.（）

（3）&i=Sn—Sn-l成立的条件是n£N*.（）

2

3.已知数列｛an｝的前n项和S„=n+2,求数歹I」｛aj的通项公式.

【学习过程】

一、课前小测

1.数列｛aj的通项公式为a“=*n—l)(n+l),则a$=()

A.10B.12C.14D.16

2.由数列前四项：9，1,5,…，则通项公式％=..

2oo

3.己知数列的前几项是0、一1、：2、三3、•一，写出这个数列的一个通项公式是.

二、新知探究

例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三

角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式

<1)<2)(3)(4)

换个角度观察图中的4个图形，可以发现a1=l,且每个图形中的着色三角形都在下一个图

形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着

色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前4项满

足

a1=1,a?—3a1，--3a?a4—3a3

由此猜测，这个数列满足公式an=n=l

(3an-i,n>2

三、典例解析

例1己知数列｛a,｝,a尸1,且满足a„=3a,11+^(nGN*,且n>l),写出数列｛aj的前5项.

由递推公式写出数列的项的方法

根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外，

解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的

形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

跟踪训练1已知数列⑸｝满足an=4a,r+3,且aR,则此数列的第5项是()

A.15B.255C.16D.63

跟踪训练2.已知数列⑸｝,④=2,a.+i=2a.,写出数列的前5项，并猜想通项公式.

例2若数列｛aj的前n项和S„=-2n2+10n,求数列｛a“｝的通项公式.

变式探究：试求本例中S“的最大值.

已知数列｛a,,｝的前n项和S,„求通项公式的步骤：

(1)当n=l时，ai=Si.

⑵当n22时，根据S.写出S…，化简a„=S0一Si.

(3)如果ai也满足当n>2时，心=杯一S1的式子，

那么数列｛aj的通项公式为a„=S„-S„-l;

如果ai不满足当n22时，a„=Sn~~S“-i的式子，

[Si,n=l,

那么数列｛a0｝的通项公式要分段表示为a.=°°

lS„-Sn-i,n》2.

跟踪训练3.己知数列｛a｝的前n项和S“=3n2—2n+l,则a“=—.

【达标检测】

1.已知数列｛aj,a尸1,a.“=|a“+*,则该数列的第3项等于()

A.1B.iC.-D.-

448

2.已知数列瓜｝,an-i=man+l(n>l),且a2=3,a3=5,则实数m等于()

2

A.0B.-C.2D.5

5

3.若数列｛a„｝的通项公式为a„=-2n2+25n,则数列｛aj的各项中最大项是()

A.第4项B.第5项C.第6项.D.第7项

4.已知数列｛④｝的前n项和为S,„且S„=n-5a„+23,n《N*,则数歹ij｛aj的通项公式a„=()

A,3X(6)n1-1B.3X(沪1C.3X(|)n\1D.3X(|)n+l

5.(1)已知数列｛a“｝满足ai--l,anti-a+——,n£N,

nn+1

求数列的通项公式a,

⑵在数列｛an｝中，ai=l,a„=(l-j)a“i(n)2),求数歹(j｛an｝的通项公式.

【课堂小结】

【参考答案】

知识梳理

1.解析：由已知，得a2=l+—=2,a3=l+—=

aja22

答案:|

2.(1)V(2)X(3)J

3.解:aHE+2=3,①

_22

而n22Si,an=SnSn-i=(n+2)-[(n-1)+2]=2n-1.(2)

在②中，当n=l时,2X1-1=1,故a,不适合②式.数列区｝的通项公式为11=

学习过程

一、课前小测

1.B解析：由题意，通项公式为a“=/n—l)(n+l),

则as=1x(5-1)X(5+1)=12.故选B.

2.岁77+2【详解】由题意，该数列前四项可变为：

345_6_

，，，，>

24816

由此可归纳得到数列的通项公式为4=*.

3.【详解】该数列的前四项可表示为

因此，该数列的一个通项公式为4=■("©").

n'/

二、新知探究

例4.解：在图中(1)(2)(3)(4)中，着色三角形个数依次为

1,3,9,27

即所求数列的前4项都是3的指数基，指数为序号减1,

因此这个数列的通项公式是an=3-1

三、典例解析

例1分析：由&的值和递推公式,分别逐一求出a2,a%a,,as的值.

解：由题意,得a2=3ai+-^-,而ai=l,

所以a?=3X1+，——

(1)

同理a3=3a2+■^-=10,at=3a3+-^-=—,a5=3ai+-=91.

2222

跟踪训练1解析：因为apO,所以a2=4ai+3=3,a3=4a2+3=15,a,=4a3+3=63,为=4a,+3=255.

答案:B

跟踪训练2.解：由a1=2,an+i=2a„,

得：a2=2a1=2X2=4=2,,

a3=2a2=2X4=8:=23,

4

a.i=2a3=2X8=16=2,

d.5=2sLi=2X16=32=2'',

•••，

猜想an—2"(nSN*).

例2(W：VS„=-2n2+10n,

2

.•.Snl=-2(n-l)+10(n-l),

2

...a„=S„-S,rl=-2n+lOn+2(n-1)-10(n-1)=-4n+12(n>2).

当n=l时,a,=-2+10=8=-4Xl+12.

此时满足a„=-4n+12,

・・3^二12一4n.

2

变式探究：解：•飞=-2/+m=-2(11-习+§,

又曾《"，

.•.当n=2或n=3时,S”最大,即S2或S3最大.

跟踪训练3.解析：*.•S“=3n2-2n+l,

Sn-i—3(n—1)2—2(n—1)+1=3n~—8n+6.

・••当nN2时:

-22

an=SnSn-i=(3n—2n+l)—(3n—8n+6)=6n—5.

又当n=l时,ai=S1=2不适合上式,

._12,n=l,

bn—5,n22.

达标检测

1.解析:42=31+]=1,@3二京2+/—

答案:C

2.解析：由题意，得a2=ma3+l,即3=5m+l,解得m=|.

答案:B

22

3.解析：因为an=-2n+25n=-2(n-y)且nW”，

所以当n=6时,热的值最大,即最大项是第6项.

答案:C

4.解析:当n=l时,ai=l-5ai+23,解得ai=4.

zz

当n22时，anSn-Sn-i=n-5a,i+23-(n-l-5an-i+23),即an二三an-1+工，

66

即故数列｛a「l｝是以3为首项为公比的等比数列，

DO

则anT=3X(1y1,所以a13xC)n.故选c.

答案:C

5.分析：(1)先将递推公式化为a„.-an=i-再利用累加法求通项公式；(2)先将递推公式

nn+1

化为国=—,再利用累乘法求通项公式.

an-in

解：(1)•.•anti-an'--------

nn+1

・_11_11_11_11/

••S2—Hl--------------,S3-32--,a「a3-------------,,,,,Bn-3n1---------------------,

122334n-1n

将以上n-1个式子相加，得

-*,,

(a2ai)+(a3-a2)+(a.i-a3)++(a„-an-i)

=(i3)+G4)+…+(=-»

即an-ai=l--(n^2,n£N*).

an=ai+l_—nWN").

nnn

又当n=l时,ap-1也符合上式.・,・*」.

n

(2)因为ai=l,an=^l-^ani(n22),

所以也=匚，

anin

所以an*•地・皿....画・恐•ai

a

an1an-2an-32al

n-1n-2n-321-1

****,..’’•..一.••••••I""-一

nn1n-232n*

又因为当n=l时,ai=l,符合上式，

所以a»q.

《4.2.1等差数列的概念》导学案

(第一课时)

【学习目标】

1.理解等差数列的概念

2.掌握等差数列的通项公式及应用

3.掌握等差数列的判定方法

【重点和难点】

重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用

难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定

【知识梳理】

1.等差数列的概念

如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常

文字语言数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公

差通常用字母d表示

符号语言a“+i—a“=d(d为常数，n《N*)

2.等差中项

(1)条件：如果a,A,b成等差数列.

(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项.

(3)满足的关系式是a+b=2A.

3.从函数角度认识等差数列｛aj

若数列｛a,J是等差数列，首项为a“公差为d,

则a«=f(n)=ai+(n—l)d=nd+(a1-d).

(1)点(n,a“)落在直线y=dx+(a「d)上；

(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d

1.判断(正确的打“，错误的打“X”).

(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列.()

(2)数列0,0,0,0,…不是等差数列.()

(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中

项.()

2.判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数

列.()

(2)等差数列、｝的单调性与公差d有关.()

(3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.()

3.在等差数列｛aj中，a)—2,d=6.5,则a?=()

A.22B.24C.26D.28

4.如果三个数2a,3,a—6成等差数列，则a的值为()

A.-1B.1C.3D.4

【学习过程】

一、学习导引

我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了

函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数不仅加深了对

函数的理解，而且掌握了基函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。

类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律135|7|9|11

的数列，_J_*・•••

建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学:：匚［：::

问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规”：：：：।：：

律比较简单的数列入手。

二、新知探究

1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形

的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到

外各圈的示板数依次为

9,18,27,36,45,54,63,72,81①

2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上对应的尺码分别是

38,40,42,44,46,48②

3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100

米处的大气温度（单位。C）依次为

25,24,23,22,21③

4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方

式还款，他从某月开始，每月应还本金”=卷）元，每月支付给银行的利息（单位:元）依次

为

ar,ar—br,ar-2br,ar—3br...,④

在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运

算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律

吗？

思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操

作？

三、典例解析

例1.（1）已知等差数列｛aj的通项公式为an=5-2n,求｛aQ公差和首项;

（2）求等差数列8,5,2…的第20项。

求通项公式的方法

(1)通过解方程组求得a“d的值，再利用a0=ai+(n-l)d写出通项公式，这是求解这类问

题的基本方法.

(2)已知等差数列中的两项，可用(1=直接求得公差，

再利用an=a«+(n—m)d写出通项公式.

(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过a.是关于n的一次函数形式，列出方程组求

解.

跟踪训练1.(1)在等差数列｛aj中,已知加=10,ai2=3L求首项ar与公差d.

(2)已知数列瓜｝为等差数列,a15=8,360=20,求a’s.

例2(1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则m和n的等差中项是

1I1k-l_pa-l-r'a+h

(2)己知二p上是等差数列，求证：—,干，空工也是等差数列.

8.Dca.DC

等差中项应用策略

1.求两个数X,y的等差中项，即根据等差中项的定义得A=8工

2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a,b,c成等差数

列，则有a+c=2b；反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.

跟踪训练2.在一1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数

成等差数列，求此数列.

【达标检测】

1.数列｛a.｝的通项公式为a“=5-3n,则此数列()

A.是公差为一3的等差数列B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列

2.等差数列｛a｝中，已知az=2,a5=8,则a§=()

A.8B.12C.16D.24

11

3.已知则a,b的等差中项为一

4.在等差数列｛a,J中，已知as=ll,as=5,则aio=__.

5.若等差数列｛a.｝的公差dWO且a”出是关于x的方程

；i

X—a3x+ai=0的两根，求数列｛a“｝的通项公式.

【课堂小结】

—「等差数列的概念|

|等差数列的概念|--------1等差中项|

—|通项公式|

【参考答案】

知识梳理

1.X;X;J

2.解析：(1)错误.若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；

若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.

(2)正确.当d>0时为递增数列；d=0时为常数列；

d<0时为递减数列.

(3)正确.若a,b,c满足2b=a+c,BPb—a=c—b,

故a,b,c为等差数列.

[答案]⑴X⑵V⑶V

3.D[a7=a3+4d=2+4X6.5=28,故选D.]

4.D[由条件知2a+(a-6)=3X2,解得a=4.故应选D.]

学习过程

一、新知探究

思考1：设一个等差数列｛aQ的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得

^n+l—^n—d

所以a2-ai=d,a3-a2=d,a4-a3=d,

于是a2=ax+d,

Sj=a2+d-(a1+d)+d=a1+2d,

a4=a3+d=(a]+2d)+d=at+3d,...

归纳可得an=ai+(n-1)d(n>2)

当n=l时，上式为ai=ajd-1)d=a「这就是说，上式当时也成立。

因此，首项为a1，公差为d的等差数列｛a。｝的通项公式为a”=a#(n-1)d

思考2：［提示］还可以用累加法，过程如下：

•3,2ai==d,

33-3.2=d,

a.i-a3=d,

3n-3n-1=d(n^2),

将上述(n—1)个式子相加得

an—ai=(n—l)d(n22),

Aan=ai+(n—l)d(n^2),

当n=l时，ai=ai+(1—l)d,符合上式，

•*.an=ai+(n—1)d(n£N").

二、典例解析

例L分析(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+i-a。=d,即

可求出公差d,(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列

的第20项

解：(1)当nN2时，由｛aQ的通项公式为an=5-2n,

可得an-i=5-2(n-1)=7-2n.

于是d=an-an_x=(5-2n)-(7-2n)=-2.

把代入通项公式an=5-2n,可得a1=3

(2)由已知条件，得d=5-8=-3

把a】=8,d=-3代入an=ai+(n-1)d,得

3n=8-3(n—1)=11—3n)

把n=20代入上式，得

a2o=11—3x20=-49,

所以，这个数列的第20项是-49

跟踪训练1.解：(1)设等差数列｛&J的公差为d.

fai+4d=10,

,•*as=10,ai2=31,则］

［ai+lld=31,

，这个等差数列的首项ai=-2,公差d=3.

(2)法一：设等差数列｛aj的首项为a“公差为d,

64

ai+14d=8,akT?

则由题意得，解得《

a,+59d=20,4

d=—

15,

644

故aT5=ai+74d=^+74X记=24.

20—84

7去—＞：•d6o=a15+(60-15)d,♦♦d=，、八二=1广，

60—1515

4

・・・a7=a+(75-60)d=20+15X—=24.

560lo

法三：已知数列｛aj是等差数列，可设a“=kn+b.

k]

15k+b=8,

由di5=8,为0=20得，解得《

60k+b=20,

b=4.

4

/.a5=75X—+4=24.

7lo

例2［思路探究］(1)列方程组-"求解m,n一一求m,n的等差中项

m+2n=8X2=16,

(1)6［由题意得

2m+n=10X2=20,

,,、,.m+n七

.*.3(m+n)=20+16=36,,m+n=12,?=6.]

⑵［证明］.•.(，(《成等差数列，

211

KW+l即2ac=b(a+c).

eeb+c^a+bcb+c+aa+b

*acac

a"+c'+ba+ca2+cZ+Zac2a+(?2a+c

acacba+cb

b+ca+ca+b

成等差数列.

abc

跟踪训练2［解］V-l,a,b,c,7成等差数列,

・・.b是一1与7的等差中项,

-1+7

・・・b==3.

又a是一1与3的等差中项,

又c是3与7的等差中项，

・3+7

••c-2-3.

・•・该数列为：-bb3,5,7.

达标检测

1.数列｛③｝的通项公式为a“=5—3n,则此数列（）

A.是公差为一3的等差数列B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列

A［等差数列的通项公式an=ai+（n—l）d可以化成an=dn+（a］一d）.对比an=-3n+5.

故公差为一3.故选AJ

2.等差数列瓜｝中，已知az=2,a5=8,则a9=()

A.8B.12C.16D.24

C[设等差数列｛aj的首项为a”公差为d,

[ai+d=2,

则由a=2,a=8,得彳

25[ai+4d=8,

解得a1=0,d=2,所以④9=ai+8d=16.故选C.]

11

3.已知a=',则a,b的等差中项为

11

小〔a+b_木+也木_陋_小一m+小+小—小］

222

4.在等差数列｛aj中,已知a$=lLa8=5,则aio=

解析：(方法一)设an=ai+(n—l)d,

[a5=ai+(5—l)d,

则

[a8=ai+(8—l)d,

ll=ai+4d,ai=19,

即解得

5=ai