陕西省咸阳市科技大学附中2021年高三数学理模拟试卷含解析

陕西省咸阳市科技大学附中2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，在△ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（，） D．（，）参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：设∠BAD=θ，（0≤θ≤），则∠CAE=θ，则=（﹣）?（﹣），将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到﹣2cosθ，再由余弦函数的性质，即可得到范围．解答：解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤），则∠CAE=θ，则?=（﹣）?（﹣）=?﹣?﹣?+?==1×1×cos﹣1×2×cos（）﹣2×1×cos（）+2×2×cos=﹣2（cosθ+sinθ+cosθ﹣sinθ）=﹣2cosθ，由于0≤θ≤，则≤cosθ≤1，则≤﹣2cosθ≤．故选：A．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题2.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）． A． B． C． D．参考答案：C、、、均为偶函数，仅有项在单调递增，故选．3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC＝sinB，则A＝

(

)A．30°

B．60°C．120°

D．150°参考答案：A略4.已知集合，，则A∩B=（

）A．{－1,0}

B．{0}

C．{－1}

D．参考答案：C因为成立，所以属于集合，属于集合，又因为不成立，不成立，所以不属于集合，不属于集合，综上可得，故选C.

5.直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知是第二象限角，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C7.已知集合是整数集,则A.{－1}

B.{1}

C.{－1,0}

D.{0,1}参考答案：C

8.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点，则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】连结，、，推导出为平行四边形，从而，异面直线与所成角为与所成锐角，即，由此能求出异面直线与所成的角的余弦值．【详解】解：如图，连结，、，由题意知为平行四边形，，异面直线与所成角为与所成锐角，即，连结，设，则在△中，，，，．异面直线与所成的角的余弦值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线的右焦点F(c,0),渐进线的方程为，可得d==b=2a，可得c==，可得离心率e=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.10.的虚部为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D

解析：，虚部为二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为

．参考答案：－1或2试题分析：约束条件所表示的可行域为如图所示的三角形区域，又因为目标函数中的含义为直线在y轴上的截距，当目标函数取得最大值时，直线在y轴上的截距取得最大值，又取得最大值的最优解不唯一，所以直线与直线或平行，所以或．

12.在直角坐标系中,如果两点A(a,b),B(－a,－b)在函数的图象上,那么称[A,B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点([A,B]与[B,A]看作一组).函数关于原点的中心对称点的组数为_____________参考答案：213.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为

．参考答案：抛物线的准线为x＝?1，所以P横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，)，所以OP＝．14.函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．参考答案：[4，5]【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．15.函数的定义域为

参考答案：略16.已知上的可导函数的导函数满足：，且则不等式的解是___________.参考答案：略17.函数的值域是________．参考答案：试题分析：由题意有，，则，则.考点：对数函数的性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．（Ⅰ）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．参考答案：（Ⅰ）证明：由题意得：，即，则是“平方递推数列”．

……………2分对两边取对数得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．………4分（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知.

……………5分.

……8分(Ⅲ）解:

………………9分

……10分又，即

…11分又，所以．

…………………12分

略19.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求sin的值；（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.PNMABC参考答案：解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，则，——————————————————————3平面ABC的一个法向量为则（*）于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，.———————————ks5u————————7（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.由得，解得.—————10令于是由，解得的延长线上，且.————————————1420.（本小题满分12分）边长为4的菱形中，满足，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将翻折到的位置,使平面,连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求点D到平面PBF的距离．参考答案：见解析【知识点】空间几何体的表面积与体积垂直【试题解析】（1）因为平面，

平面

则，

又

（2）由题知：为边长为4的等边三角形，所以PO=。

所以中，

所以

因为即21.已知椭圆的左、右顶点为，点P为椭圆C上一动点，且直线AP，BP的斜率之积为.（Ⅰ）求a，b及离心率e的值；（Ⅱ）若点M，N是C上不同于A，B的两点，且满足AP∥O