第十二讲中心极限定理数理统计基本知识演示文稿

第十二讲中心极限定理数理统计基本知识演示文稿当前1页，总共41页。优选第十二讲中心极限定理数理统计基本知识当前2页，总共41页。例题2（1998，6分）第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前3页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前4页，总共41页。一、中心极限定理1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。设随机变量之和为:且数学期望和方差都存在：设随机变量相互独立,则则和的标准变量为：2.中心极限定理变量的设定第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前5页，总共41页。1.林德伯格条件及其意义设独立随机变量有其中是随机变量的概率密度,若对于任意的正数,第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前6页，总共41页。林德伯格定理长一些，我们不去证明，这里只解释它的意义：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识则当时，有设独立随机变量满足林德伯格条件:有其中是随机变量的概率密度,即对于任意的正数,2.林德伯格定理(z为任意实数)即当前7页，总共41页。列维定理服从相同的分布，并且有数学期望和方差：则当时，(z为任意实数)设独立随机变量它们和的极限分布是正态分布，即

在中心极限定理中，我们重点关注列维-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前8页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前9页，总共41页。各次实验中发生的概率为棣莫弗—拉普拉斯定理n

次实验中发生的次数,则有其中z

是任何实数，设在独立实验序列中,事件A

在随机变量表示事件A在为任意实数第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前10页，总共41页。当n

充分大时,变量近似地服从正态分布由于随机变量服从二项分布所以棣莫弗—拉普拉斯定理说明:的随机第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前11页，总共41页。例题12-1-1第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前12页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前13页，总共41页。3.样本值（观测值）对总体X中抽取n个体，得到的n个数据称为样本的一个样本观测值.二、总体与样本1.总体：所研究对象的全体。总体的指标是一个随机变量，总体就是指某个随机变量X

可能取值的全体.记作X.相应地，个体是组成总体的每个单元（或元素）.样本容量样本中所包含的个体的数量n.若从总体X中抽取n个个体则称为X的一个样本.2.样本：总体中的部分个体.第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前14页，总共41页。简单随机样本简单随机抽样得到的样本

（1）（2）具有下述特点:

简单随机抽样（1）抽样的随机性

总体中的每一个个体都有同等的机会被抽到.（2）抽样的独立性各次抽样的结果互不影响.4.简单样本：例如从一批含有n个灯泡的产品中，不放回地取20个测定其寿命.就是一简单随机样本第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前15页，总共41页。随机抽样可以近似看作是简单随机抽样.[注]当总体容量n很大，而样本容量n很小时非简单教材涉及的抽样与样本均是简单随机样本。频率频数观测值从总体中抽取容量为n

的样本：

并得到n

个样本的观测值，其中：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识5.样本分布函数：设总体X的分布函数为F(x).当前16页，总共41页。由伯努利大数定理可知，即对于任意给定的正数ε，有第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识

由此可知，样本分布函数是总体分布函数的一个良好的近似，统计理论中，它就称为用样本研究总体的依据。当前17页，总共41页。样本分布函数的性质（1）（2）（3）跳跃间断点，（4）样本分布函数的图形如下所示：1第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前18页，总共41页。6.频率直方图及其的作法：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前19页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前20页，总共41页。三、样本函数与统计量2.样本函数与统计量定义：2.常用的统计量和观测值：样本的（平）均值、方差、标准差、原点距、中心矩均是样本变量的函数，即统计量第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前21页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前22页，总共41页。其观测值为：

第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前23页，总共41页。计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩.例12-3-1

设抽样得到样本观测值如下：19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3.解样本均值样本方差样本二阶中心矩为使计算简化，可把所得数据整理如下：当样本容量n

较大时，相同的样本观测值往往会重复出现，频数观测值第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前24页，总共41页。

例12-3-2

设抽样得到100个观测值如下表：81219262114频数543210观测值计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩。解第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前25页，总共41页。

例如计算§2.4(P144)中的零件尺寸偏差的样本平均值、样本方差及样本二阶中心矩。

1

+27.5

47

-2.5

5

+22.5

35

-7.5

13

+17.5

23

-12.5

26

+12.5

11

-17.5

36

+7.5

6

-22.5

45

+2.5

2

-27.5频数区间中点值（微米）频数区间中点值（微米）解第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前26页，总共41页。其概率密度:定理1正态分布

N

(0,1)，则随机变量服从自由度为k的分布.设随机变量记为相互独立，并且都服从标准1.分布:四、数理统计中的常用分布第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前27页，总共41页。（1）可加性：若随机变量X与Y独立，且

则

1.分布的性质:（2）可查性：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前28页，总共41页。查表得例如：k=10，α=0.05时查表附表三

2.t分布（“学生”分布）定理2设随机变量X与Y独立，则随机变量其概率密度:服从自由度为

k的

t

分布，记作。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前29页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前30页，总共41页。当k=10，α=0.05时，可查得例如

3.F分布定理3设随机变量X与Y独立，则随机变量其概率密度:服从自由度为的F分布，并记作为第二自由度。其中为第一自由度；第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前31页，总共41页。α第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前32页，总共41页。当=10，=15，α=0.05时，例如查表P292第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前33页，总共41页。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识例12-4-1（2003，4分）当前34页，总共41页。五、单个正态总体统计量的分布服从正态定理1设总体则样本均值即分布则统计量定理2设总体第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前35页，总共41页。定理3则统计量设总体证第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前36页，总共41页。定理4则设总体(1)样本均值独立;与样本方差或证明略，仅对自由度作如下说明:第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识当前37页，总共41页。∴n个随机变量不独立