线性代数第一章节演示文稿

线性代数第一章节演示文稿当前1页，总共40页。（优选）线性代数第一章节当前2页，总共40页。性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2如果行列式中有一行(列)元素全为零，则此行列式的值为零.当前3页，总共40页。推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明当前4页，总共40页。性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如当前5页，总共40页。性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如当前6页，总共40页。二、应用举例我们将应用行列式性质来计算行列式，我们约定：当前7页，总共40页。例１计算例2计算当前8页，总共40页。例3

计算阶行列式解将第都加到第一列得当前9页，总共40页。当前10页，总共40页。例4证明当前11页，总共40页。证明当前12页，总共40页。当前13页，总共40页。同理：当前14页，总共40页。例5反对称行列式的形式为：由性质1当前15页，总共40页。1.5行列式按行（列）展开定义1：在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．1.5.1余子式，代数余子式定义例如当前16页，总共40页。1.5.2行列式按行（列）展开法则定理1

行列式D等于其任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和，即

推论行列式的某一行（列）的各元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。当前17页，总共40页。综上所述，可得到代数余子式的一个重要结论：例1设当前18页，总共40页。例2证明范德蒙（Vandermonde）行列式

证用数学归纳法当前19页，总共40页。当前20页，总共40页。n-1阶范德蒙德行列式当前21页，总共40页。1.5.3拉普拉斯定理定义2当前22页，总共40页。第1行第3行第2列第4列当前23页，总共40页。定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展开就是拉普拉斯定理k=1时的特殊情形。当前24页，总共40页。例3

用拉普拉斯定理计算行列式解：选取第1，2行，只有三个非零二阶子式，对应的代数余子式为当前25页，总共40页。例4证明当前26页，总共40页。例5

计算2n阶行列式当前27页，总共40页。设线性方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.1.非齐次与齐次线性方程组的概念1.6克莱姆法则当前28页，总共40页。定理1(Cramer法则)如果线性方程组的系数行列式不等于零，即当前29页，总共40页。其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为当前30页，总共40页。证明在把个方程依次相加，得当前31页，总共40页。由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解当前32页，总共40页。由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.当前33页，总共40页。二、重要推论定理1

如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2

如果线性方程组无解或有无穷多个不同的解，则它的系数行列式必为零.当前34页，总共40页。齐次线性方程组的相关定理定理3

如果齐次线性方程组的系数行列式

,则齐次线性方程组只有零解.当前35页，总共40页。定理4

如果齐次线性方程组

有非零解,则它的系数行列式必为零.有非零解.系数行列式当前3