第五非线性方程求根演示文稿

第五非线性方程求根演示文稿当前1页，总共64页。（优选）第五非线性方程求根当前2页，总共64页。图5.1.1卫星定位示意图

美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星,它们不断地向地球发射信号报告当前位置和发出信号的时间,卫星分布如图所示。它的基本原理是:在地球的任何一个位置，至少同时收到4颗以上卫星发射的信号。发射的信号，

设地球上一个点R，同时收到卫星

当前3页，总共64页。假设接收的信息如表所示。请设法确定R点的位置。图5.1.2卫星分布图表GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组,当时就是单个方程.当前4页，总共64页。.其中可以是代数方程，也可以是超越方程。使成立的x值称为方程的根，或称为的零点。科学与工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微（积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程，也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外，大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解，一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在后面讨论。当前5页，总共64页。1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？3．根的精确化。

f(x)=0（）当前6页，总共64页。1.根的存在性定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，如果f(a)

f(b)<0，

则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一实根x*。

定义：如果存在使得，则称为方程（）的根或函数的零点。若其中为正整数，则当m=1时，称为方程（5.1.1）的单根或函数的单零点。当时，称为方程（5.1.1）的m重根或函数的m重零点。当前7页，总共64页。2.根的搜索(1)图解法（利用作图软件如Matlab)(2)解析法(3)近似方程法(4)定步长搜索法当前8页，总共64页。（1）画出f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的位置。（2）从左端点x=a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+h的函数值，若那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或作为根的初始近似。x*abf(x)当前9页，总共64页。

开始读入a,ha

x0f(x0)

y0x0+h

x0f(x0)

y0>0打印结束否是继续扫描

例1：考察方程

x00.51.01.5f(x)的符号－－－＋当前10页，总共64页。ab或不能保证

x

的精度abx0x1x*§2二分法当前11页，总共64页。

执行步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x0)。3．判断若f(x0)=0，则x0即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x0]，

b1=x0,a1=a;（2）若f(x0)与f(a)同号，则知解位于区间[x0,b]，

a1=x0,b1=b。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：

当前12页，总共64页。4、当时，停止；即为根的近似。当时，，即这些区间必将收缩于一点，也就是方程的根。在实际计算中，只要的区间长度小于预定容许误差就可以停止搜索，即然后取其中点作为方程的一个根的近似值。注：

当前13页，总共64页。例1证明方程存在唯一的实根用二分法求出此根，要求误差不超过。解：记，则对任意

，因而，是严格单调的，最多有一个根，所以，有唯一实根又因为

当前14页，总共64页。用二分法求解，要使，只要解得，取。所以只要二等分7次，即可求得满足精度要求的根。计算过程如表所示k

f(ak)及符号f(xk)及符号f(bk)及符号012345670(－)0(－)0(－)0(－)0.0625(－)0.0625(－)0.078125(－)0.0859375(－)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.0625(－)0.09375(+)0.078125(－)0.0859375(－)1(+)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.125(+)0.09375(+)0.09375(+)0.09375(+)表所以，当前15页，总共64页。①简单;②对f(x)

要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢

二分法的优缺点当前16页，总共64页。

问题虽然二分法计算简单，能够保证收敛，但是它对于方程单根存在区域信息要求太高，一般情况下很难实现，并且不能求重根、复根和虚根。在实际应用中，用来求解方程根的主要方法是迭代法。使用迭代法求解非线性代数方程的步骤为：(1)迭代格式的构造；(2)迭代格式的收敛性分析；(3)迭代格式的收敛速度与误差分析。§3

迭代法当前17页，总共64页。1．简单迭代法f(x)=0x=

(x)等价变换其中

(x)是连续函数。方程（）称为不动点方程，满足（）式的点称为不动点，这样就将求（）的零点问题转化为求的不动点问题。称这种迭代格式为不动点迭代。以不动点方程为原型构造迭代格式当前18页，总共64页。例3：求方程的一个根.构造迭代格式x1=0.4771x2=0.3939 …x6=0.3758x7=0.3758解：给定初始点当前19页，总共64页。xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1当前20页，总共64页。定理2如果

(x)满足下列条件 （1）当x[a,b]时，(x)[a,b]

（2）当任意x[a,b]，存在0<L<1，使 则方程x=

(x)在[a,b]上有唯一的根x*,且对任意初值

x0[a,b]时，迭代序列xk+1=

(xk)

(k=0,1,…)收敛于

x*，且有如下误差估计式：(5.3.2)2．迭代过程的收敛性与误差估计停机准则。（）当前21页，总共64页。求方程在内的根例：。解：原方程可以等价变形为下列三个迭代格式当前22页，总共64页。由迭代格式（1）

取初值得

结果是发散的？！当前23页，总共64页。由迭代格式（2）

取初值得

结果精确到四位有效数字，迭代到得到收敛结果。

十步才能得到收敛的结果！当前24页，总共64页。

由迭代格式（3）

取初值得

结果精确到四位有效数字，迭代到得到收敛结果。四步就能得到收敛的结果了！当前25页，总共64页。迭代格式（1）的迭代函数为

求导得

当时故迭代格式（1）是发散的。分析:当前26页，总共64页。当时，

迭代格式（2）的迭代函数为

由知当时，

所以迭代格式（2）是收敛的。当前27页，总共64页。迭代格式（3）的迭代函数为当时，由时，

知当所以迭代格式（3）也是收敛的。当前28页，总共64页。结论:

通过以上算例可以看出对迭代函数所得到的若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。求导，的上界若是大于1，则迭代格式发散；当前29页，总共64页。

3.加速收敛技术

L越小迭代法的收敛速度越快，因此，可以从寻找较小的L来改进迭代格式以加快收敛速度。思路(1)松弛法引入待定参数，将

作等价变形为（）将方程右端记为，则得到新的迭代格式当前30页，总共64页。由定理2知为了使新的迭代格式比原来迭代格式收敛得更快，只要满足且越小，所获取的L就越小，迭代法收敛的就越快，因此我们希望。当前31页，总共64页。可取

，若记则（）式可改写为称为松弛因子，这种方法称为松弛法。为使迭代速度加快，需要边计算边调整松弛因子。由于计算松弛因子需要用到微商，在实际应用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是线性收敛的，当计算不方便时，可以采用埃特金加速公式。当前32页，总共64页。(2)埃特金加速公式设迭代法是线性收敛，由定义知成立，故当时有由此可得的近似值（）当前33页，总共64页。由此获得比和更好的近似值，利用（）序列的方法称为(3)Steffensen加速法

将Aitken加速公式与不动点迭代相结合，可得（）式构造埃特金（Aitken）加速方法。利用（）式构造序列的方法称为Steffensen加速方法。即每进行两次不动点迭代，就执行一次Aitken加速。当前34页，总共64页。例2试用简单迭代法和Steffensen加速法求方程在附近的根，精确至四位有效数。解：记，简单迭代法公式为：计算得kxkkxkkxk00.570.55844140.5671210.6065380.56641150.5671620.5452490.56756160.5671430.57970100.5669140.56006110.5672850.57117120.5670760.56486130.56719当前35页，总共64页。Aitken加速公式计算得所以,。当前36页，总共64页。4．迭代过程的局部收敛定义1：

若存在的某一邻域，迭代过程对任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性。定理3设为方程的根，在的邻近连续，且，则迭代过程在的邻近具有局部收敛性。当前37页，总共64页。5．迭代过程的收敛速度

设由某方法确定的序列{xk}收敛于方程的根x*，如果存在正实数p，使得

（C为非零常数）定义2则称序列{xk}收敛于x*的收敛速度是p阶的，或称该方法具有p阶收敛速度。当p=1时，称该方法为线性（一次）收敛；当p=2时，称方法为平方（二次）收敛；当1<p<2或C=0,p=1时，称方法为超线性收敛。

当前38页，总共64页。定理4

如果在附近的某个领域内有()阶连续导数，且则迭代格式在

附近是阶局部收敛的，且有当前39页，总共64页。§3牛顿法一、牛顿法的迭代公式考虑非线性方程原理：将非线性方程线性化—Taylor展开取x0

x*，将f(x)在x0

做一阶Taylor展开:，在x0

和x

之间。当前40页，总共64页。将(x*

x0)2

看成高阶小量，则有：只要f

C1，且每步迭代都有，而且则

x*就是f(x)的根。公式（）称为牛顿迭代公式。(9.4.1)构造迭代公式当前41页，总共64页。x*x0x1x2xyf(x)二、牛顿法的几何意义当前42页，总共64页。三、牛顿法的收敛性定理4：

设f(x)在[a,b]上存在二阶连续导数且满足下列条件： （1）f(a)

f(b)<0； （2）f’(x)0； （3）f(x)在区间[a,b]上不变号； （4）取x0[a,b]，使得f(x)f(x0)>0则由（）确定的牛顿迭代序列{xk}二阶收敛于f(x)在[a,b]上的唯一单根x*。当前43页，总共64页。当前44页，总共64页。注：Newton法的收敛性依赖于x0

的选取。x*x0x0x0当前45页，总共64页。四.牛顿迭代法的局部收敛性与收敛速度

，,且设在包含的一个区间二阶连续可导，则Newton迭代法至少二阶收敛，即值得注意的是，当充分光滑且是的重根时，牛顿法在的附近是线性收敛的。且Newton迭代法在上的收敛性依赖于初值的选取。即初值的选取充分靠近时，一般可保证Newton迭代法收敛。当前46页，总共64页。并得出了是该方程的一个根，无人知道他用什么方法得出的，在当时这是一个非常有名的结果，试用牛顿法求出此结果。解：记则当时，，又所以有唯一实根，并改写例3Leonardo于1225年研究了方程当前47页，总共64页。用牛顿迭代格式所以，。当前48页，总共64页。五、求m重根的牛顿法1、迭代格式(9.4.2)2、重数m的确定3、迭代格式（9.4.2)的收敛阶（至少2阶收敛）当前49页，总共64页。由于Newton迭代法的收敛性依赖于初值的选取，如果离方程的根较远，则Newton迭代法可能发散。为了防止迭代发散，可以将Newton迭代法与下山法结合起来使用，放宽初值的选取范围，即将（）式修改为：其中，称为下山因子，选择下山因子时，希望满足下山法具有的单调性，即这种算法称为Newton下山法。在实际应用中，可选择。六、牛顿法的变形1、牛顿下山法当前50页，总共64页。牛顿下山法的计算步骤：（1）选取初始近似值x0；（2）取下山因子

=1；（3）计算（4）计算f(xk+1)，并比较与的大小，分以下二种情况 1）若，则当时，取x*

xk+1，计算过程结束；当时，则把xk+1作为新的近似值，并返回到（3）。

2）若，则当≤且|f(xk+1)|<，取x*

xk，计算过程结束；否则若≤，而时，则把xk+1加上一个适当选定的小正数，即取xk+1+作为新的xk值，并转向（3）重复计算；当＞；且时，则将下山因子缩小一半，取/2代入，并转向（3）重复计算。当前51页，总共64页。例5：求方程f(x)=x3

–

x

–1=0的根。kxk010.611/251.14063211.36681311.32628411.32472牛顿下山法的计算结果：当前52页，总共64页。牛顿迭代法每迭代一次都需计算函数值和导数值计算量比较大；且迭代过程中计算时，仅利用了点的信息，而没有充分利用已经求出的；在导数计算比较麻烦或难以求出时，

迭代格式构造

(2)构造方法：将Newton迭代格式中的导数用差商代替。2、割线法：(1)构造思想：用割线的斜率代替牛顿迭代法中切线的斜率；设法避开导数值的计算，因此可以采用离散牛顿法（割线法）。

一个自然的想法就是在充分利用“旧信息”的同时，当前53页，总共64页。割线法的几何意义x0x1切线

割线

切线斜率

割线斜率x2割线法迭代格式：当前54页，总共64页。割线法的局部收敛性与收敛速度

设，在,且的某一邻域内二阶连续可微，当时，由割线法产生的序列收敛于，且收敛阶至少为1.618。当前55页，总共64页。3、双点弦截法：切线斜率

割线斜率初值x0

和x1。x0x1x2当前56页，总共64页。§4非线性方程组的数值解法(1)构造思想：用线性方程组近似非线性方程组，由线性方程组解得的向量序列，逐步逼近非线性方程组的解向量。

(2)构造方法：若记一、

非线性方程组的牛顿迭代法则非线性方程组当前57页，总共64页。其中

，且中至少有一个是的非线性函数。类似于的情况，可将单变量方程求根的方法推广到非线性方程组。若已给出方程组的一个近似根。将函数的分量在用多元函数泰勒展开，并取其线性部分可表示为（）令上式右端为零，得到线性方程组（）其中当前58页，总共64页。称为

的Ja