最大熵原理在气象学中的应用

第六章最大炳原理在气象学中的应用上一章我们把熵原理作了简要介绍，并附带提及了它在一些领域的应用。由于熵原理的普遍的适用性，因而认真分析它在气象上的应用潜力是十分值得的。很显然，用熵原理说明的气象学中的问题越多，不仅越加显示熵原理的重要性，显示宇宙真理的统一性，而且也为气象学找到了新的理论武器，而这势必也提高了气象学的科学性和实用性。在这一章我们就重点讨论最大熵原理怎样应用于各种气象问题之中，以及由此得出的结果。把最大熵原理用于说明气象现象大致包含如下步骤：♦首先把气象问题归结为某种分布函数（这在第二章已列出约30个分布函数的个例）。♦找出形成上述分布函数的物理（气象）过程中有哪些重要的约束条件。♦从物理（气象）过程含有随机性引出对应的熵达到极大值（即随机性导致最混乱）。♦进行数学处理，从熵理论导出分布函数。♦用实际资料验证理论结果（如不符，可再重复上述过程）。后边的介绍就是把上述步骤分别用于各个具体的气象分布问题中，并从中逐步加深对最大熵原理的认识。另外，从70年代以来Paltridge[i]等人从热力学熵平衡角度研究地球纬圈上的气温分布的工作，也应属于试着用熵原理的一种事例。这个工作中尽管在原理上尚有不清楚之处，但其结果与实况的一致性和引用极值原理都是很有意义的。鉴于汤懋苍⑵近年对此已有介绍，我们这里就不再评述 熵气象学一第六章最大熵原理在气象学中的应用 152了。顺便指出，早在上世纪，从力学中发展起来的最小作用原理就从力学领域体现了自然界遵守某种极值原理的精神。在气象界，罗伦茨［3］在60年代就设想大气也应当遵守某种极值原理。而我们指出有一些气象分布函数可以从熵达极大的角度推导出来，这可以看成是罗伦茨思想从统计角度（非决定论角度）的具体体现。所以，最大熵原理在气象学中的应用不仅应看作是随机论（非决定论）的胜利，也应当看成广义的极值原理的胜利。§1大气的温度场和气压场从最大熵原理出发，很容易说明大气中的温度场和气压场的分布。在第二章第4节我们已经论证了大气的温度场和气压场的分布。对气压场，我们从简单的分析得出它应是均匀分布，对温度场则从平均图上得出其分布也是均匀分布。这就是说，如果从大气中纯随机地抽取一个空气样品，则其气压（气温）为各种可能值的出现概率都是相等的，或者说各种可能的气压（温度）占有的大气质量是一样的。图2.5就是其代表。大气温度为什么恰为均匀分布（它竟然遵守如此简单的分布，确实有些出人意料！）?形成现今温度分布的原因当然是太阳辐射和大气的对外辐射，这使我们想到如图6.1的极简单的模型。图的左侧有一高温的恒定热源，其温度为孔，左侧有一低温的恒定热汇，其温度为％。介质处于T1和T0两个温度之间，它的温度在各处不会都是T1或T0，从而构成了一个温度场。如果介质仅能从左右两端吞吐热量而其他界面与外界绝缘，那么介质中的温度场理应会形成如图所示的等温线呈均匀分布之形状。此时介质上的温度分布函数应为均匀分布，对此我们也可以从解热传导方程中得出来。Ti—1To+7T十 1.*< 1.[,■ -■i-i.•:、久…1 ■“ .・，匕a1 —r1 .r…i\$--1-+1.N热源们<■B1811I ■ . ・厂"：介质/ ■1 '1, ' ' 曰-■Lf■!? 热汇*I■1 -匕■卜・，«-\r七 1-1a・，』・・iN，sJ■■X<■Ji•-■J■J-Ti—2To+2To图6.1恒温热源（T1）热汇（To）之间的介质中的温度场从熵原理角度可以这么想:约束介质的温度场的条件十分简单，它不能高于T1,,不能低于T0,此外再找不出其他约束，而依最大熵原理，温度在介质中随机性最大的分布（熵极大）此时应为均匀分布（参见第五章第2节）。在第二章第4节已经从资料中证实全球大气的温度为均匀分布，这里又从熵原理对此作了说明，而6.1图进一步启示我们可以把大气看成图中的介质。换言之，尽管天文上告诉人们大气受的日光有日变化、尽管太阳对地球是不均匀加热、尽管大气无时不在流动、尽管热量除了从赤道传向两极之外还有垂直传送……，可是这些复杂因素作用下形成的温度场竟然简单到与图6.1的物理过程相似，从而形成了温度的均匀分布，这确实出人意料一一谁能想到结局会如此简单！那么如何理解气压也遵守均匀分布呢？均匀分布中要求有限定的上下限。就气压而言，它不可能出现负值，因而N0,可以看成是对气压下限值的约束。另外，如果也像动力气象中那样，承认空气给地面的压力与大气质量受的地心引力基本相等，这就又决定了（一级近似）大气压力的上限。除上述约束外，承认大气中每个空气微团的压力有最大的随机性（熵最大），就会导出大气压力应在0-1013hPa之间呈均匀分布的结论，这样就沿着熵原理引出了气压的均匀分布。§2雨量在面积上的分布用熵原理分析降水现象，在笔者看来是十分方便又富有成效的。这里十分重要的一个步骤就是设法把问题首先转化成分布函数问题，再依本章开头介绍的思路往下分析。降水在面积上的分布就是一个很有说服力的事例。在过去，气象、水文工作者分析过大量的降水量在地域上的分布图--在地图上分析一场（或6小时，一天、…）雨的雨量等值线，而有了分布函数概念后，就可以从每一张雨量图上归纳出一个不同雨量各占有多少面积的关系来。这实际上把一个二元函数（地理经纬度两个自变量和雨深这个函数值）简化成一个一元函数了（雨深是自变量，占的面积为函数值）。这种简化使我们丧失了一些信息（不知道每个几何位置下了多少雨了），但是正如第二章第7节揭示的：在统计的近100场大暴雨中（其位置、雨量、成因都差别很大），其相对分布函数的形状竟然都是相同的。为什么从地理分布各异的雨量图简化出来的分布函数竟然都相同?其物理背景是什么？在上一章介绍统计力学思路时我们举的正是这个例子，所以可以说在那里已经从统计力学的状态数W达最大出现机会最大的角度引出了降水量在面积上呈负指数分布的结论。这已经对现象作了物理说明，如果改用熵的原理来说明此事可能更易于讲明白。对于降水在面积上的分布中的约束条件是易找出来的。首先可以想到在降水区域内的任何一个位置上，其雨量尸的值仅能大于零（有时在雨量图上人们仅关心雨量比零还大一些的降水量的分布）；再一点就是认为在当时的天气学、动力学条件下，天气系统能降下来的总雨量V和总面积A 熵气象学一第六章最大熵原理在气象学中的应用 155都是给定值。而V和A的给定意味着这场降水的平均雨量V/A是给定值（不是无限大）。.如果约束仅只是这些，并认为这些雨水以最任意（随机、混乱）的方式洒向地面，则雨量在面积上的分布函数就应当是在这些约束下恰使熵达到极大。从第五章己作的推证看，这恰好对应于负指数型的分布函数，这个分析过程可以从表6.1中看的更清楚些。在第二章第7节业已指出，从中国各地的86场暴雨的雨量面积数据的分析中证实，雨量尸与其占有的面积的对数值有良好的线性关系。86场降水中有85场的线性相关系数通过了信度为0.05的显著性检验。表6.1从熵原理分析降水的面积与深度的关系（函数）通用提法 在本问题中的含义问题变量x的概率密度分布 雨量r在面积上的相对分布函数f（x） 函数f（r）是什么约束条件变量x有大于零的下限x0（令0）雨量r有大于零的下限r0（r0>0）变量x平均值我有限值 雨区内的平均雨量为有限值=V/A熵极大在约束条件下使H极大雨滴以最混乱的方式洒向地面意味着分布函数大,）对应的熵达到了给定约束下的极大值结果 fx）应为负指数分布 分布函数是f（x）=— exp（=0）r—r r—r实际上，依相对分布函数的含义，总降水面积为A时，降水为rrr+Ar占有的面积应当是Af"。把f>）的负指数分布代入可得AAr 、Af(r)Ar=——exp(—f)

1r—r r—r0令A.代表r.^r.+Ar占有的面积Af(ri)时则对上式取对数后会有lnAilnAi_inAAr "-r0r—rr—r(6.1)上式中真正的变量是降水r.和其占有的面积A.，其他的量对于每场降水而言都是常数(Ar是由人选定的参数)。所以(6.1)式表明面积A.的对数值(1nA.)与降水值r.是线性关系。这就是说，分布函数为指数型，那么InA.与(r.)应为直线关系。如果实测资料证实它们为线性关系，也就证实了分布函数确实属于负指数分布了。第二章第7节已讲过，对不同天气类型的降水过程的总雨量，上述线性关系都很好，这样从理论与实践两方面得到的结论就互相印证了(统计力学思路也得出同一结论)。图6.2是面积的对数值inA.与其对应的雨量r.的线性关系的示例。图6.2雨量r与其占有的面积A的对数为线性关系的示例（河南1975年8月5—7日暴雨）以上讨论的雨量与面积的关系，都是针对着同一场降水过程而言的。验证时哪些降水才属于同一场降水不是我们定的，而是由有关总结、分析人员分别选定的。那么几个降水过程合计起来的总降水量的面积分布是否也遵守这个关系呢?我们初步认为此时的约束条件会复杂化，从而不宜用此分布函数。看来这是值得进一步研究的问题。反之，如果不是几个降水过程的雨量而仅是某一瞬时的降水量（如一小时、六小时、一天）的分布，它是否也应符合这种关系（也是负指数分布）呢？对此我们曾经用詹道江译成中文的世界气象组织出版的《ManualforEstimationofProbableMaximumPrecipitation，1973》一书中提供的资料，计算了美国实测的大暴雨过程中的6、12、…、72小时的雨量与面积的关系，发现它们也服从负指数关系。看来一场降水过程内部的给定时段的雨量，面积关系也能用负指数关系来描述。在上节讨论大气温度场、气压场时，我们是把地球大气总体视为一个闭合系统。大气运动的任意性导致与温度场、气压场对应的熵达到极大值，针对着对应的约束我们求得了均匀分布。而在本节我们面对的不是地球大气总体了，这里面对的系统实际上是地球上的一个移动着的降水天气系统所形成的降水，这里的熵实际上仅只表示着雨量在地域分配上的混乱程度。以上对比使我们看到，熵原理可以适用于大小不等的特定系统。看来恰当地选定适宜的系统，进而分析其熵是很重要的。以上两节的讨论中我们都没有具体计算熵极大时的熵值究竟是多少，这并不是因为很难计算，而是由于我们的目的不是求熵是多少，而是找出熵极大时对应的分布函数是什么。而一旦找出分布函数，也就认为达到了目的。§3降水现象中的指数簇我们把降水问题中的很多分布函数都呈负指数分布的现象简称为降水现象中的指数簇。在上一节曾就降水的面积分布作了较深入的讨论，而现在我们要扩大如上思路进而分析降水过程的其他分布函数。这就使人们看到降水问题中的负指数关系确实很多，它们构成了一个指数簇。3.1降水元的线径分布大气中凝结的水汽变成降水而降下来时，它们都是以颗粒为单元一个个地掉下的，最常见的是雨滴，还有一片片的雪花、一粒粒的霰和一个个的冰雹 。我们不妨把这些可以清楚地区分成一个个的降水元量统称为降水元。观测表明，尽管降水元的变化十分复杂，但是在一级近似下，可以认为各种降水过程的各种降水元的线径大小都服从指数分布。所谓线径，指的就是雨滴的半径或直径），而降水元为雪花、霰粒、冰雹……时，指的是它们融成水以后折合成的球体半径直径）。线径分布指的是在某次降水过程中，在降水元组成的总体集合）中线径大小不等的降水元各占多少，它们都是分布函数的特例。在第二章第1节，实际上已经指出上述分布不含云滴）都以指数分布为主要特征，因而可以在一级近似下说它们都服从指数分布律。3.2降水强度的时间分布分布函数除了可以描述某变量取不同数值时各占有多少个数、面积、质量而外，也可用以描述变量取不同数值时各占了多少时间。在第二章就讨论过在一场降水过程中各时段的降水强度并不相等，这就引出了不同的降水强度各占用了总历时的百分比问题。这个百分比的数值与降水强度的函数关系，就是雨强在时间上的分布函数。第二章第7节的讨论表明，雨强的时间分布也是负指数分布。3.3过程雨量、持续时间和无雨期长度的分布任何一个地理位置上，其发生的一次次的降水过程的过程雨量是不尽相等的，因而就应当有一个过程雨量的概率分布函数以反映不同雨量出现机会的多少。对于确定的地点、确定的季节来说，如承认在近数百年内气候的变化可以忽略（一级近似），那么可以认为其过程雨量的平均值不变。这时依最大熵原理，易于证明过程雨量也服从负指数的概率分布。马淑红曾用全国40站的4季资料对此作了验证。她为工作之便，把日降水量视为过程雨量而进行统计验证［4。统计显示，日降水都较好地服从负指数分布，即大降水出现概率很小，而小降水很易发生图6.3。这又是一个指数律。其实日降水量遵守负指数分布早已有不少人作了论证。

ooO976**«ooQ板率分布ooO976**«ooQ板率分布0.500.400.300.20OJO0.5 10,5 20.5 30.5图6.3日雨量的概率分布示例（北京）固定地点、固定季节的气候如基本不变，也可推出每次降水的总历时的概率分布也服从负指数律。文献［5］用日本资料对此作了论证，图6.4就是从文中引出的一个例子。

图6.4不同降水历时的出现次数（东京，1957年-1960年，7—10日）降水持续的时间遵守负指数型的概率分布，余下的不下雨的一段段时间不可能都是一样的长，因而这些不降水的“干期”的历时长度必然也存在一个概率分布函数。L.L.Weiss[6]曾从Markov链的角度研究过此类问题，指出过存在指数关系。最近马淑红用新疆春季50个测站的逐日降水资料分析了无雨期长度的概率分布，结果50个站的资料全都可以认为符合负指数分布。图6.5就是其一个例子O这样我们又看到涉及降水（含不降水的时间长度）的三种概率分布也是服从负指数分布。如果把先前讨论的降水在面积上的负指数也并在一起，我们至少可以从降水现象中归结出10个含义不同的分布函数都遵守负指数分布。表6.2就把这些作了概括。相对次致相对次致图6.5不同无雨期的长度的出现次数（新疆阿勒泰）

有这么多的含义不同的分布竟然都遵守同一种数学结构的关系式，难道不值得我们认真思考一下更深一层次的物理背景吗？表6.2降水现象中服从负指数分布各个项目■变量名称分布问题从炳原理导出它需要的假设1过程降水量占有的地域的大小在面积上的平均雨量为固定量2瞬时降水量占有的地域的大小在面积上的平均雨量为固定量3雨滴半径占有的个数的多少?4雪花的线径占有的个数的多少?霰的线径 占有的个数的多少 ？冰雹的线径 占有的个数的多少7测站的一次降占有的历时的多少平均降水强度为水中的降水强固定值度8测站的一次降水过程的降水量不同雨量的出观概率平均过程雨量为固定值9测站的一次降水的持续时间不同的持续时间的出现概率平均持续时间为固定值10测站的无降水的时间的长度不同的无降水时段的长度的出现概率平均无降水时段长度为固定值从动力学角度寻找这种数学上同构的原因可能是困难的，但是从熵原理角度看则易于找出答案。从指数分布的公式看，公式中的主要参数仅有变量的数学期望这一个值（公式中的变量下限仅是个辅助性的参数），而在最大熵原理推 熵气象学一第六章最大熵原理在气象学中的应用 164求分布时，假设条件越少，求出来的分布函数中的参数也越少。指数分布中仅有一个参数这件事本身就告诉我们约束条件仅有一个是主要的，即我们找不出更为重要的约束值补入求解分布函数的方程中。气象学中，人们对降水现象的任意性留有深刻印象，降水几乎是最难作预告的气象要素。这种定性的认识，实际上从一个侧面显示出约束降水的条件是很少的。而最大熵原理告诉我们约束条件越少，分布函数越简单（参数少），这样看来任意性大（约束条件少）的降水现象遵守参数极少的，外形简单的分布函数就是意料中的事了。表6.2中列出了服从指数分布的10个降水现象中的具体项目。从熵原理看，只要认为仅有该变量的平均值为固定值这一个约束，而无其他明显的约束，它就应当是服从指数分布律。表6.2中的10个项目，我们认为有6个可以假设其对应的平均值为固定值，另外4个关于降水元的线径分布问题，我们在假设栏内仅打了个问号，原因是我们不敢作这种假设。实际上，当假设某平均值为固定值时，也就自然蕴含了该系统中与平均值对应的总量是固定值的含义。例如在降水的平面分布问题中，设“平均雨量为固定值”实际上是说天气系统在给定面积上降落的总雨量（水体总质量）为常数。在统计物理中，这类约束条件与分析的系统中的总能量或总粒子数不变是一个含义。哈根说“热力学中合适的约束就是守恒定律[7]”，而在我们的各种气象问题中，这种约束也都有着对应的深刻含义。假如我们看到各种降水元（雨滴、冰雹…）的线径服从负指数分布，就希望用“降水元的平均值为固定值”的假设辅以熵最大而证明它（这实际上是假设雨滴等降水元的线径的合计值为守恒量），这显然与易于想到的质量守恒是矛盾的。因为我们可以说，各个雨滴（姑且以此代表各类降水元）的质 熵气象学一第六章最大熵原理在气象学中的应用 165量的合计值与这次降水的降下来的总水体质量的值相等，但是我们不能说各个雨滴的半径（即线径）的合计值与总降水水体对应的大水球的半径相等1。正是由于顾及“降水元的线径的平均值为固定值”的假设与质量（降水物总体积）守恒的合理想法有矛盾，在表6.2中我们打了4个问号，我们猜想将来可能沿其他思路一一还是要用熵原理，得以说明降水元的线径为什么竟都是负指数分布。最大熵原理在实用时经常受到的批评就是“假设的任意性太大”，我们希望如上分析会帮助大家慎重地引用假设［最好与统计力学思路联合（平行）起来分析］。有了降水现象的指数簇的知识，当然对于天气预告、气候分析、水利工程设计等众多实用业务有很大好处。限于篇幅这里不便再具体讨论了（我们引的一些文献曾有不少讨论）。§4稳定层云的云滴谱云都是由水滴或冰晶组成的。当我们从云中采集一批个数充分多的云滴样品后，就可以分析出半径不同的云滴各占多少。云体中云滴的半径（直径）与占有个数的函数关系就是云滴谱。云滴变大就成了雨而降落，这种变大当然对应云滴谱的变化。可以想见，在产生降水的云中，云滴谱的形态可能随着时间而有很大的变化。但是云物理观测证实，云滴谱自有其偏爱的形态，有一种呈偏态单峰（见图2.1）分布的谱最易被观测到。人们自然要想，为什么这种谱型那么容易出现?18个半径为l的球仅能合并成体积与之相等的一个半径为2的球。故体积累加时，半径就不会累加（两者不是线性关系）。形成这种谱的物理原因是什么？偏态单峰的云滴谱既然经常被观测到，就说明它并不是仅存在于某一瞬间的不稳定的谱，而是在较长时间内始终存在的谱，即它对应于云体处于某种平衡态下，其滴谱型具有稳定性。这样分析起来，把偏态单峰谱看成稳定层云的谱是妥当的。在文献［8］中，把云滴的表面自由能考虑为变量，从最大熵原理的角度论证了云滴应当呈现单峰偏态分布。云体中的云滴有的大有的小，这种大小不一就是混乱不一的表现。熵是混乱程度的测度，云体稳定、云滴谱稳定则是混乱程度已经达到极值的标志。换言之，偏态单峰的谱是与某种熵达到极值对应的。熵是与分布函数相联系的。在云滴问题中我们指出过，云滴谱是关于云滴半径的分布函数，可是云滴问题中还存在着关于云滴的表面积的分布函数和云滴的质量的分布函数，因而在谈到熵达极值时应当讲明是与那个变量［半径、面积、体积（即质量）］的分布函数所对的熵达到了极大值。文献［8］的贡献在于它指出是云滴面积（不是半径或体积）的分布函数对应的熵达到了极大值，由此可以推证出云摘半径应当遵守偏态单峰分布，这又与表面自由能守恒的假设直接联系起来。模型中，实际上是认为成云的过程（未碰并前的初始云滴形成）就是把一定量的表面自由能随机地分配到各云滴的过程。“一定量的表面自由能”对应于云体中云滴的表面自由能F的平均值为固定值，而随机分配对应的熵最大会导致各云滴的表面自由能F应遵守负指数分布，即依最大熵原理有f（F）=£exp（-F） （6.2）FF表面自由能就是液体表面积荷有的、可以全部用来作功的自由能，它是恰好与液体具有的表面积成正比的。如以S、5分别代表云滴的表面积及它在云中的平均值，则因S与F成正比，而可以把(6.2)式改写成f(5)=2exp(-5) (6.3)5 5上式给出了云滴的表面积的分布函数，它并不是云物理学中定义的云滴谱(后者是云滴半径的分布函数)。为了要从云滴表面积的分布变换或云滴半径的分布，我们要应用随机变量的函数的概率分布的求算办法把变量变换过去[9]。仿照[8]的作法，这个变换如下：设研究的云滴总数为N。，那么(6.3)式的含义可理解为云滴的表面积为5—5+As的云滴有An个，此时(6.3)式变成TOC\o"1-5"\h\z1An 1 ,s、==exp(-=) (6.4)N0As ss由于球形的云滴的面积s与半径,之间应有s=4nr2故 As=8nrAr将上式代入(6.4)得TOC\o"1-5"\h\z8兀rN s\o"CurrentDocument"An=——0[exp(-=)]Ar (6.5)s s表面积平均值s可以写成s勺/N0令r为均方根半径，即

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"住r)2 LNI0^则(6.5)式可变成An=2%r[exp-(r)2]Arr2 rdn而云滴谱的含义为dn/dr，故将&移项即得dn2N匕exp[-(r)2]\o"CurrentDocument"dr r2 r上式中已经没有与表面自由能成正比的表面积，而变成云滴半径r与其占有个数n的关系了。n是r的这种函数在云物理学中常以n(r)表示，所以上式也可写成n(r)=2%rexp[-((=)2] (6.6)r2 r这正是从表面自由能守恒、熵最大导得的云滴谱方程。依概率论中的称法，把上式两侧都除以N0。以后的分布应当称为瑞利分布，即稳定层云的云滴谱应符合瑞利分布。而概率论中早已揭示瑞利分布是偏态单峰分布，在第二章第一节和文献[8]中都指出观测的结果与此理论预言的结果是吻合的。附带指出，沿用统计力学思路也能得出同一结果，在1987年4月号的“新疆气象”上就给出了有关的证明步骤。从表面上看，这种论证的过程比熵最大的思路要长一些，但是那里的物理假设、物理模型都讲的更为清楚。这些殊途同归的结果，使我们对这个物理模型更加信任。限于篇幅，这里就不进一步阐述了。在总结云滴谱的推导过程时应当看到，除了引入“表面 熵气象学一第六章最大熵原理在气象学中的应用 169自由能”这一新的着眼点外我们还引用了求变量的函数的概率分布的思路。我们知道表面自由能服从负指数分布，这与偏态单峰的分布是不同的，可是利用表面积与半径的非线性关系经过变换后求得的关于云滴半径的分布函数就成了偏态单峰分布了（参见图2.1）。有了变量的函数的分布的思路后，就会在利用附录C提供的分布函数时又增加了很多灵活性，也许将来关于降水元的线径呈负指数分布问题，可以沿此思路而找到求解途径（当然，占首位的仍然是其物理模型）。§5其他上面已经就最大熵原理如何引出气象学中的若干分布函数作了不少讨论，但是与第二章中我们收集（也仅是初步）的气象学中的分布函数相比（有30多个），这仅是一小部分。这说明我们还余有不少问题至今尚未从最大熵原理角度予以理论说明。这一节我们要就另一些从最大熵原理也易于解释的分布作简要说明。另外，还就找出分布函数后如何扩大成果、推广应用等问题作些讨论。5.1其他的负指数分布在第二章和附录B中，指出了风速在全球大气质量中的分布、比湿在全球大气质量中的分布、位能在全球大气质量中的分布都是负指数分布型的。依据前几节的讨论，只要在承认对应的熵达到极大值之外还承认风速的全球平均值为给定值、全球大气中的水汽总质量守恒、全球大气的总位能守恒，就可以沿熵原理得出对应的负指数分布。对此我们就不一一细说了。关于平均风速为给定（固定）值的提法，我们想补充一句：这与平均动能为固定值的提法是不等价的（人们似乎更乐于接受关于动能的提法而不是风速）。水汽总质量守恒的 熵气象学一第六章最大熵原理在气象学中的应用 170提法不仅与平均比湿为固定值的假设等价，从而导致比湿为负指数分布，而且由于水汽的汽化热随温度变化很小（可视为常数），同样推出大气的潜热能也服从负指数分布。附带指出，由于内能与温度（绝对温标下的）成正比，因而前面论证了温度场为均匀分布也就自然地等于论证了内能也符合均匀分布。5.2其他的引申出采的分布当已知某变量服从某种分布后，常常可以通过不同的途径又引申出另一与它有关的变量的分布。这里介绍几个。•动能的分布函数动能是与风速的平方成正比的，在第二章就已经利用求随机变量的函数的概率分布的办法，从风速分布求出了动能分布。如果大家认为前面关于风速分布的物理思路可接受，那么第二章导得的动能分布也就成为说明动能分布原因的一个组成部分了。•n次降水过程的总降水的概率分布前面已经论证了一次降水过程在某地（固定的任一地点）造成的降水量服从负指数分布。n次降水的总量当然是各次降水的合计值，问题是这个新变量（其合计值）的概率分布应当是什么。在概率论中［10，我们知道如果n个变量互相独立，又都遵守参数值也都相同的Gamma分布，那么n个变量的合计值仍然是Gamma分布。由于负指数分布可以视为Gamma分布的特例，所以n个具有同一参数的负指数分布的降水量的合计值应服从Gamma分布。具体地讲，如降水量尤遵守如下负指数型的概率密度九尤）分布〜、 1 _上/（x）—euu则n次降水的合计值y应遵守如下概率密度分布f（y）yn-1 yf（y）= e一uun（n-1）!这里u是一次降水的平均值，而上式正是以n和u为参数的Gamma分布。它有时也称为皮耳逊III型分布，并在水文学中广为应用。在气象上人们常分析出旬、月的降水（对应于几次降水的合计值）服从Gamma分布的原因概出于此。总之，一旦我们从最大熵原理导出一次降水过程的雨量服从负指数分布，那么也就必然导致n次降水合计值应服从camma分布，这样关于降水概率分布的知识就系统化了。1981年5月号的新疆气象杂志上曾登载过n次降水服从Gamma分布的事例，这里不具体介绍了。Gamrna分布在n>l时为偏态单峰分布（图略），但是如果n很大（如>100），则它与正态分布就十分接近，而可以用正态分布代替它［11。由此看来，多雨地区的年降水应当是近于正态分布的。这样从过程雨量的负指数分布到n次降水的Gamma分布，再到n充分大时的正态分布，就组成一个有内在逻辑关系的分布簇。对于其他的各个具体的分布函数，只要从最大熵原理阐明应当服