-交通流理论课件

交通工程学（第4章交通流理论）

4.1概述（了解）4.2交通流的统计分布特性（理解）4.3排队论模型（理解）4.4跟驰模型（理解）4.5流体模型（理解）第4章交通流理论交通流理论是交通工程学的基本理论，是借助于物理、数学的定律与方法来阐明交通流基本特性的一种理论。4.1概述车辆的到达在某种程度上具有随机性，描述这种随机性的统计规律的方法称为交通流的统计分布。离散型分布：考察在一段固定长度的时间内到达某场所的交通数量或一定距离内分布的交通数量的波动性。

信号周期内到达的车辆数。连续型分布：描述事件之间时间间隔的连续型分布为工具，研究事件发生的间隔时间或距离的统计分布特性。车头时距分布、速度分布和可穿越空档分布。

4.2.1交通流统计分布的含义4.2.2离散型分布4.2.2.1泊松分布4.2.2.2二项分布4.2.2.1泊松分布（1）基本公式，k＝0，1，2，…

Pk—在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；λ—单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；t—每个计数间隔持续的时间（s）。若令m=λt为计数间隔t内平均到达的车辆（人）数，则，当m为已知时，可求出在计数间隔t内恰好有k辆车（人）到达的概率。4.2.2.1泊松分布（续）例4-1某路段每小时有120辆车通过，假设车辆到达服从泊松分布，问在指定的某一分钟内有3辆车通过的概率是多大，而一分钟内不超过3辆车的概率又是多大。（5）应用举例例4-2某信号灯交叉口的周期C=97s,有效绿灯时间g=44s,在有效绿灯时间内排队的车流以S=900（辆/h）的交通量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369（辆/h），服从泊松分布公式中，求到达车辆不致二次排队的周期数占周期总数的最大百分率。4.2.2.1泊松分布（续）例4－2解：一个周期内能通过的最大车辆数A＝gS＝900×44/3600＝11辆，当某周期到达的车辆数N≻11辆时，则最后到达的（N-11）辆车就不能在本周期内通过而发生二次排队。在泊松分布中，一个周期内平均到达的车辆数m=λt＝369×97/3600＝9.9辆。则可能到达车辆数大于11辆的周期出现的概率为即到达车辆不致两次排队的周期数最多占71％。例3、设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路段上有4辆及4辆以上汽车的概率。解：λ=60/4000辆/mt=400mm=λt=6辆不足4辆的概率为：P(<4)=P0+P1+P2+P3=0.15124辆及4辆以上的概率为：P(≥4)=1-P(<4)=0.84884.2.2.2二项分布（1）基本公式：，k＝0，1，2，…Pk—在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；λ—单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；t—每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m）；n—观测次数，正整数。通常记，则二项分布为：4.1.2.2二项分布（续）（2）递推公式：（3）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布。负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊松分布时，车头时距则符合负指数分布。由公式：可知，当车辆平均到达率为λ时，P(0)为计数间隔t内无车到达的概率。

可见，在具体的时间间隔t

内，如无车辆到达，则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至少有t，即h≥t。4.2.3.1负指数分布（1）

基本公式：P(h≥t)——到达的车头时距h大于t秒的概率；λ——车流的平均到达率(辆/s)。（2）适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应。例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于或等于10s的概率。解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内无车的概率。

由λ=360/3600=0.1

同样，车头时距小于10s的概率为：4.2.3.2移位负指数分布（1）基本公式为克服负指数分布的车头时距趋近于零其频率出现愈大这一缺点，可将负指数分布曲线从原点O沿t向右移一个最小间隔长度τ，得到移位负指数分布曲线：τ—大于零的一个最小车头时距，一般在1.0～1.5s之间。4.2.3.2移位负指数分布（续）（2）适用条件用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。（3）移位负指数分布的局限移位负指数分布的概率密度函数曲线是随t-τ单调递降的，车头时距愈接近τ，其出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。从统计角度看，车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降的。4.3.1基本概念4.3.2基本原理4.3.3排队系统的表示4.3排队论模型（1）排队系统的3个组成部分输入过程：各种类型的“顾客(车辆或行人)”按怎样的规律到达。如定长输入；泊松输入；爱尔郎输入。（到达时距符合什么样的分布）排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。如损失制；等待制；混合制。服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。如定长分布；负指数分布；爱尔朗分布。4.3.2基本原理（2）排队系统的主要数量指标队长和排队长：若排队系统中的顾客数为n，排队顾客数为q，正在被服务的顾客数位s，则n=q+s。队长是排队系统提供的服务水平的一种衡量。逗留时间和等待时间：逗留时间是指一个顾客逗留在排队系统中的总时间。等待时间是指从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。忙期和闲期：忙期是指服务台连续繁忙的时期，相对应的是闲期，这关系到服务台的工作强度。4.3.2基本原理（续）主要参数：设平均到达率为λ，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/λ；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为μ，则平均服务时间为1/μ

；比率：称为交通强度或利用系数，由比率ρ即可确定各种状态的性质。M/M/1排队系统（单通道服务系统）当比率ρ<1（即λ<μ），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当比率ρ≥1（即λ≥μ），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是ρ<1（即λ<μ）。例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=8s

如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。M/M/1排队系统（单通道服务系统）当比率ρ<1（即λ<μ），系统处以稳定状态：在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有k个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：M/M/1排队系统（单通道服务系统）系统中顾客数的方差：随着ρ的增大，n增大；当ρ≥0.8以后，n迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。平均排队长度：

这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。M/M/1排队系统（单通道服务系统）平均非零排队长度：

即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。排队系统中平均消耗时间：

这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。M/M/1排队系统（单通道服务系统）排队中的平均等待时间：这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。

共有八个指标。M/M/1排队系统（单通道服务系统）例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为400辆/h，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。解：λ=400/3600（辆/s）,μ=1/8（辆/s）

ρ=λ/μ=0.89<1，排队系统是稳定的。收费站排队系统中的平均车辆数：M/M/1排队系统（单通道服务系统）平均排队长度：排队系统中的平均消耗时间：排队中的平均等待时间：M/M/1排队系统（单通道服务系统）例2：修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适。解：λ=72（辆/h）,μ=120（辆/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排队系统是稳定的。进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。M/M/1排队系统（单通道服务系统）

验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)，如果P(＞5)很小，则得到“合适”的结论正确。由：

验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。M/M/1排队系统（单通道服务系统）4.4.1车辆跟驰特性分析4.4.2线形跟驰模型4.4跟驰模型（1）跟驰理论的定义：运用动力学的方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态的一种理论。（2）车辆跟驰特性分析（非自由行驶状态的车队）制约性：后车紧随前车前进。传递性：前车的运行状态制约着后车的运行状态。延迟性（滞后性）：后车运行状态的改变在前车之后。4.4.1车辆跟驰特性分析线性跟车模型示意图4.4.2线形跟驰模型两车在刹车操作后的相对位置如图所示。—第i辆车在时刻t的位置；—两车在时刻t的间距，且:—后车在反应时间T内行驶的距离；—后随车在减速期间行驶的距离；—前导车在减速期间行驶的距离；—停车后的车头间距；—第n+1辆车在时刻t的速度。假定，要使在时刻t两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则应有：

对t微分，得:

式中:为后车在(t+T)时刻的加速度，称为后车的反应；1/T称为敏感度；称为t时刻的刺激。这样，上式就可理解为：反应＝敏感度×刺激。

第五节流体力学理论

一、流体动力学理论建立

车流连续性方程的建立设车流顺次通过断面Ⅰ和Ⅱ的时间间隔为△t，两断面得间距为△x。车流在断面Ⅰ的流入量为Q、密度为K；同时，车流在断面Ⅱ得流出量为：(Q+△q)，(K-△K)，其中：△K的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。ⅠⅡ△

x

△tQ

KQ+△Q

K-△K

KQ(K,Q)(K-△K,Q+△Q

)一、流体动力学理论建立

车流连续性方程的建立：根据物质守恒定律，在△t时间内：流入量-流出量=△x内车辆数的变化，即：[Q-(Q+△Q)]△t=[K-(K-△K)]△x

或：，取极限可得：含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。一、流体动力学理论建立车流波及波速：列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。此车流波动沿道路移动的速度称为波速。二、车流波动理论波速公式的推导：假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w（w为垂线S相对于路面的绝对速度），并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即：式中:(V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出S面前后相对于S面的速度。二、车流波动理论V1=100km/hK1=10辆/kmV2=80km/hK2=14辆/km车头间距71mwwK1V1K2V2ABSS二、车流波动理论

由：规定：当K2<K1，密度降低，产生的w为消散波；当K2>K1，密度增加，产生的w为集结波。三、车流波动状态讨论当Q2<Q1、K2<K1时，产生一个消散波，w为正值，消散波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为w的速度移动。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)三、车流波动状态讨论当Q2>Q1、K2>K1时，产生一个集结波，w为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为w的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、车流波动状态讨论当Q2<Q1、K2>K1时，产生一个集结波，w为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为w的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、车流波动状态讨论当Q2>Q1、K2<K1时，产生一个消散波，w为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为w的速度移动。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)四、车流波动理论的应用例：道路上的车流量为720辆/h，车速为60km/h，今有一辆超限汽车以30km/h的速度进入交通流并行驶5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为40辆/km，该超限车离去后，受到拥挤低速车队以车速50km/h，密度为25辆/km的车流疏散，计算：(1)拥挤消散时间ts；(2)拥挤持续时间tj；(3)最大排队长度；(4)排队最长时的排队车辆数；(5)参与过排队的车辆总数。四、车流波动理论的应用解：三种状态的Q、K、V分别如图所示：超限车进入后，车流由状态变Ⅰ为状态Ⅱ，将产生一个集结波：（注意集结波的方向！）5kmQ1=720V1=60K1=12Q2=1200V2=30K2=40Q3=1250V3=50K3=25w1w2ⅠⅡⅢ四、车流波动理论的应用超限车插入后，超限车的速度为30km/h，集结波由超限车进入点以w1=17.14km/h的速度沿车流方向运动。如果这种状况持续1h，1h后跟在超限车后的低速车队长度为：30-17.14=12.86km。但超限车行驶5km后离去，超限车行驶5km所用时间为：ta=5/30=0.167h，在超限车驶离时刻超限车后的低速车队长度应为：5-w1ta=2.14km。5kmw1w1ta5-w1ta=2.14km四、车流波动理论的应用超限车离去后，车流由状态Ⅱ变为状态Ⅲ，在超限车驶离点产生一个消散波：注意：超限车离去，低速车队前端以-3.33km/h的速度消散，后端还在以17.14km/h的速度集结。5kmw1w2w1ta5-w1ta=2.14km四、车流波动理论的应用由此可见，在超限车离去的时刻低速车队最长！因此，最大排队长度为2.14km（为什么？），这2.14km上的车辆数即为最大排队车辆数：2.14K2=2.14×40=86（辆）（为什么是K2？

）超限车离去的时刻，低速车队前端以-3.33km/h的速度消散，后端还在以17.14km/h的速度集结，设要消散长度为2.14km的