概率论第二章最终稿浙大详解演示文稿

概率论第二章最终稿浙大版详解演示文稿当前1页，总共143页。优选概率论第二章最终稿浙大版当前2页，总共143页。我们记取出的黑球数为

X，则X的可能取值为1,2,3．因此,X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称

X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：当前3页，总共143页。由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量

X

的一个确定的取值，因此变量

X是样本空间S上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

表示至少取出2个黑球这一事件

表示取出2个黑球这一事件；当前4页，总共143页。例2一大批产品中次品率为p，从中任取n件，求其中最多有k件次品的概率。求P(B)当前5页，总共143页。例3.Bernoulli试验中，A表示成功，可设当前6页，总共143页。随机变量的定义定义：设随机试验E的样本空间是S={e}，

X=X(e)是一个定义在S上的单值实值函数，称X=X(e)为随机变量,简记为X。esxX=X(e)－－为S上的单值函数，X为实数

当前7页，总共143页。说明当前8页，总共143页。例4

盒中有5个乒乓球,其中2个白球，3个黄球,从中任取3个,记X=“取到白球的个数”,则X是一个随机变量,且X的可能取值是0,1,2,且有当前9页，总共143页。例5上午8:00～9:00在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于

50辆但不超过100辆这一随机事件．当前10页，总共143页。

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量连续型非离散型其它当前11页，总共143页。2.2离散型随机变量及其分布律目的：学习离散型随机变量的概率分布律重点：1.掌握表格和直方图2.掌握三种重要的离散型分布当前12页，总共143页。定义如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量.设离散型随机变量X其可能的取值为称为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布律一、离散型随机变量的分布律当前13页，总共143页。表格形式分布列的性质：当前14页，总共143页。概率直方图（面积大小表示概率数值）另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X当前15页，总共143页。例1袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布.解设X为取到白球时的取球次数X的可能取值为1,2,3,4,5不难求得因此,所求的概率分布为123450.20.20.20.20.2当前16页，总共143页。二几种常见的离散型分布一、两点分布二、二项分布三、泊松(Poisson)分布四、超几何分布*当前17页，总共143页。定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分布,即参数为的两则称服从处的两点分布.参数为若服从处则称服从参数为的分布.一、两点分布当前18页，总共143页。

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明当前19页，总共143页。例1

抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量X，令pi=P{X=i}=0.5(i=0,1

)X

0

1p0.5

0.5X的概率分布表：概率分布为当前20页，总共143页。例2200

件产品中,有

196

件是正品,则服从参数为0.98的两点分布.于是,4

件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定当前21页，总共143页。二、二项分布定义

若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,,n,其概率分布为…

很显然,n重伯努利试验中成功的次数服从二项分布事实上,二项分布就是来源于n重伯努利试验模型当前22页，总共143页。n=1时，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性质(1)(2)当前23页，总共143页。二项分布的图形特点:对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.当前24页，总共143页。在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：对于固定及当增加时，概率先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少.pknOn=10,p=0.7图1当前25页，总共143页。注：为不超过的最大整数.当为整数时，二项概率在和处达到最大值.可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一性质，二项概率在达到最大值；不为整数时，且当pknOn=10,p=0.7图1当前26页，总共143页。例3

一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解每答一道题相当于做一次伯努利试验，则当前27页，总共143页。例4按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽取20只,问20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只为一级品的概率为多少？记X为20只元件中一级品的只数,解当前28页，总共143页。解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,则X~B(400,0.02),某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。所求概率为当前29页，总共143页。随机变量X所有可能取值为0,1,2,…,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为X~().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布又称泊松小数法则（Poissonlawofsmallnumbers）

性质当前30页，总共143页。当前31页，总共143页。电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.当前32页，总共143页。例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisson分布，问一年中不多于两次意外断电的概率.解设一年中的意外断电次数为X所以,一年中不多于两次断电的概率为=0.06197查表(累积概率)当前33页，总共143页。二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的泊松逼近当前34页，总共143页。泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有该定理于1837年由法国数学家泊松引入！当前35页，总共143页。二项分布

泊松分布

可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！实际计算中，时近似效果变很好.当前36页，总共143页。

由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等当前37页，总共143页。例6

一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品多少件?解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.当前38页，总共143页。保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保,每个人一年内死亡的概率为0.005个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过10人的概率．对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，1000人就是做1000重伯努利试验，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理当前39页，总共143页。2.3连续型随机变量及其密度函数目的：学习连续型随机变量的描述，采用概率密度重点：1.理解概率密度函数的几何意义，并会求已知密度函数，求未知常数和某个区间概率2.掌握三种连续型分布及其不同性质和用途当前40页，总共143页。f()为X的概率密度函数,x(或概率密度),f(x)定义与物理中的线密度定义相似一、密度函数定义当前41页，总共143页。xf(x)x密度函数几何意义当前42页，总共143页。二、有关事件的概率=0事实上当前43页，总共143页。积分中值定理当前44页，总共143页。例1设随机变量X的密度函数为求常数A和

解所以当前45页，总共143页。1.如果随机变量X的密度函数为从密度函数的意义可知三、几种常见的连续型分布当前46页，总共143页。均匀分布的意义当前47页，总共143页。例2某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.当前48页，总共143页。解以

7:00为起点

0,以分为单位,依题意为使候车时间少于

5分钟,乘客必须在

7:10到7:15之间,或在

7:25到

7:30之间到达车站,故所求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是

1/3.当前49页，总共143页。例3

设随机变量

X在

[2,5]上服从均匀分布,现对

X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为

{X>3}

表示“对

X的观测值大于

3的概率”,解因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则当前50页，总共143页。2.如果随机变量

X的密度函数为则称X服从参数为

的指数分布的几何图形如图.注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间.例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.当前51页，总共143页。例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保费1000元，若被保险人在10年内死亡，保险公司将赔负5000元，假设人的寿命服从参数为1/65的指数分布.试帮保险公司做出决策.解假设某人的寿命为X假设某人投保时年龄超过S岁则此人再活10年以上的概率为当前52页，总共143页。因此，被保险人在10年内死亡的概率为所以保险公司对该被保险人的预期收益为1000-0.1426*5000=287(元)结论:保险公司可以开展这种保险业务.一般化在已活s年的基础上,再活t年的概率等于寿命大于t年的概率.指数分布永远年轻,无记忆性当前53页，总共143页。3、正态分布当前54页，总共143页。

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

当前55页，总共143页。标准正态分布的概率密度表示为二、标准正态分布当前56页，总共143页。2.4

分布函数目的：为了统一描述离散和连续随机变量的概率分布，引入累积概率的分布函数重点：1.正确理解分布函数F(x)，区分x定义域和随机变量X的取值区间2.必须会给定分布律，求分布函数和概率给定概率密度，求分布函数和某区间概率当前57页，总共143页。称为X的分布函数．0xxX

设X是一个随机变量,是任意实数,函数几何定义：一、分布函数的定义当前58页，总共143页。分布函数的性质F(x)是单调不减函数

0≤F(x)≤1,且不可能事件必然事件F(x)处处右连续当前59页，总共143页。

引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。分布函数表示事件的概率当前60页，总共143页。是不是某一随机变量的分布函数？不是因为函数可作为分布函数思考当前61页，总共143页。二，离散随机变量的分布函数当前62页，总共143页。(1)X的分布函数F(x)，并且画图例子1随机变量X得的分布律如下(2)求概率当前63页，总共143页。三，连续型随机变量的分布函数积分关系导数关系当前64页，总共143页。1.如果随机变量X的密度函数为从密度函数的意义可知四，几种常见的连续型分布函数当前65页，总共143页。均匀分布的分布函数为当前66页，总共143页。二维随机变量第五节目的：引入同时描述多个变量的随机变量重点：1.会求离散型的联合分布律和概率2.会求连续型的联合概率密度和概率当前67页，总共143页。例如

E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

此时不仅仅是X及Y各自的性质，要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。一，概念引入当前68页，总共143页。

设X、Y

为定义在同一样本空间S上的随机变量，则称向量（X，Y）为S上的一个二维随机变量定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A当前69页，总共143页。二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数性质(3)(x,y)当前70页，总共143页。x1x2y1y2

P（x1Xx2，y1Y

y2）

=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)当前71页，总共143页。二维离散型随机变量

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。当前72页，总共143页。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质当前73页，总共143页。一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求的联合分布列.

的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例1解当前74页，总共143页。

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度

定义当前75页，总共143页。联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶柱体的体积当前76页，总共143页。设二维随机变量的概率密度为

(1)确定常数k；

(2)求的分布函数；；

.

(4)求例2当前77页，总共143页。(1)所以解

当前78页，总共143页。(2)当时，当时，所以，当前79页，总共143页。(3)41或解当前80页，总共143页。(4)当前81页，总共143页。224例3

已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率解

1当前82页，总共143页。续解……….x+y=3当前83页，总共143页。思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率2241解答

当前84页，总共143页。目的：通过给出的二维分布，求出X,Y的一维分布重点：掌握由二维分布求一维分布和边缘概率密度第六节：边缘分布当前85页，总共143页。回顾二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题

当前86页，总共143页。二维离散型R.v.（随机变量）的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………当前87页，总共143页。二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…当前88页，总共143页。边缘分布是两个一维分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…当前89页，总共143页。二维离散型R.v.的边缘分布例1

设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布当前90页，总共143页。关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布当前91页，总共143页。二维连续型随机变量的边缘分布

关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为的概率关于当前92页，总共143页。例2

设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由得当时关于X的边缘分布密度为113当前93页，总共143页。113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关于Y的边缘分布密度为当时当时当时关于Y的边缘分布密度为当前94页，总共143页。注意已知二维分布可以求X,Y的边缘分布已知X,Y的边缘分布不能求出二维分布二维分布比X,Y各种的边缘分布要精细当前95页，总共143页。选学：边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为（1）求k值(2)求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y<-1)和P(X>1/2)当前96页，总共143页。(2)均匀分布解(1)由得当时-11当前97页，总共143页。当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..

当前98页，总共143页。-11解当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为当前99页，总共143页。解（3）

当前100页，总共143页。第八节相互独立的随机变量（R.v.）目的：定义了两个随机变量X,Y的独立性重点：1.与第一章事件独立性的关系2.会用定义去验证离散和连续R.v.的独立性3.会判断和应用X,Y独立性从而解决问题当前101页，总共143页。随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于：★★定义设X,Y两个随机变量，对于任意的a,b,c,d,有对任意i,j对任意x,y成立，则称随机变量X，Y相互独立。当前102页，总共143页。

在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明当前103页，总共143页。设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐个验证等式当前104页，总共143页。证

∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y当前105页，总共143页。例2

设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）

(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。解①设A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11当前106页，总共143页。②边缘密度函数分别为当时当时所以，同理可得当前107页，总共143页。③所以X与Y相互独立。当前108页，总共143页。例3

已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解（X,Y）的密度函数为当前109页，总共143页。当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当前110页，总共143页。当时，所以，关于Y的边缘分布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时当前111页，总共143页。所以所以，X与Y不独立。当前112页，总共143页。设（X,Y)服从矩形域上的均匀分布，求证X与Y独立。课后：时解当前113页，总共143页。于是同理所以即X与Y独立。时当前114页，总共143页。第九节一维随机变量函数的分布目的：学会由已知随机变量X的简单分布，得到复杂分布的方法。重点：掌握简单离散和连续型随机变量函数的分布的求法。当前115页，总共143页。随机变量的函数随机变量密度函数分布函数当前116页，总共143页。若X为离散型随机变量,其分布律为X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．pk

p1p2p3．．．．．．．pn．．．．则随机变量X的函数Y=g(X)的分布律为Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．如果g(xi)与g(xj)相同，此时将两项合并，对应概率相加．离散随机变量的函数的分布当前117页，总共143页。设随机变量X的分布律为求Y=2X2+1的分布律．解例1由题设可得如下表格X－1012pk

0.20.30.40.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布律为y

139pk

0.30.60.1当前118页，总共143页。解由题设可得如下表格设圆半径X的分布律为求周长及面积的分布律．例2X

9.51010.511pk

0.060.50.40.04x9.51010.511周长19π20π21π22π面积90.25π100π110.25π121π概率0.060.50.40.04当前119页，总共143页。解周长19π20π21π22π概率0.060.50.40.04所以，周长的分布律为面积90.25π100π110.25π121π概率0.060.50.40.04面积的分布律为当前120页，总共143页。设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为

f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数(1)求Y的分布函数FY(y)根据分布函数的定义(2)对FY(y)求导，得到fY(y)连续型随机变量的函数的分布一般方法当前121页，总共143页。设随机变量X的密度函数为求随机变量Y=2X+8的概率密度。先求Y=2X+8的分布函数FY(y).解（1）例3当前122页，总共143页。（2）求Y=2X+8的概率密度当前123页，总共143页。解先求分布函数FY(y)。设随机变量X服从正态分布求的概率密度。当时，所以，选学当前124页，总共143页。当时，所以，当前125页，总共143页。推论定理正态分布的线性函数仍服从正态分布正态分布的标准化当前126页，总共143页。练习设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。答案：当前127页，总共143页。2.9二维随机变量函数的分布目的：已知随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是连续函数。重点：学会X，Y是独立随机变量时的g（X，Y）的分布当前128页，总共143页。

二维离散型随机变量函数的分布设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12…pij…Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)…g(xi,yj)…当前129页，总共143页。例1.设随机变量(X,Y)的概率分布为XY-1012-10.20.150.10.320.100.10.05求随机向量(X,Y)的函数的分布(1)Z1=X+Y(2)Z2=XY。(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)(2,2)pij0.20.150.10.30.100.10.05Z1=X+Y-2-1011234Z2=XY10-1-2-20