2022年综合实践-探索图形创新定稿

开展综合实践在实践中创新----《探索图形》综合实践案例活动背景：“探索图形”一课是人教版五年级下册第三单元在认识长方体和正方体之后的一节综合与实践活动。目的是让学生运用所学过的正方体的特征等知识，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的数量上的规律，以及每种涂色小正方体的位置特征，培养学生的空间想象能力和推理能力，体会分类计数、化繁为简、数形结合的思想方法，感受代数思维的优越性。本活动分为四个层次：第一个层次：创设情境，提出问题由生活情境“魔方”引出问题：用若干个棱长为1cm的小正方体拼成大正方体，然后把大正方体的表面涂色，找出小正方体中三面、两面、一面涂色以及没有涂色的个数。第二个层次：尝试解决，探索规律学生尝试以简驭繁，从棱长为2cm、3cm、4cm入手用列表法表示出问题，通过观察、想象和推理找出每种涂色情况的小正方体的块数。在尝试过程中，逐步发现每种涂色情况的位置特征和规律。第三个层次：应用规律，解决问题在学生初步发现规律后，再利用规律找出棱长5cm、6cm的大正方体的涂色情况，加以验证，明确规律，并进一步应用到更多的大正方体中。第四个层次：拓展应用,开拓创新借助数图形的问题，利用前面积累的活动经验和方法进行问题解决的探究。活动目标：1、进一步认识和理解正方体和长方体特征。2、通过观察、列表、想象等活动经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，培养学生的空间想象力，让学生体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。积累数学思维的活动经验。3、在相互交流中，学会倾听他人意见，及时自我修正、自我反思，增强学好数学的信心。活动重点：学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简及分类计数的思想方法。活动难点：探索规律的归纳方法。活动准备：魔方、木制小正方体和课件。活动过程：一、谈话激趣，揭示课题师：我想了解一下大家平时都有什么兴趣爱好？（生说）师：兴趣爱好比较广泛呢，我发现了一个玩魔方的高手，一起来看。（播视频），有什么感受？师：30″单手还原魔方确实让人惊叹！（课件出示：魔方）师：这是一个九阶魔方，你能想到哪个立体图形？生：正方体师：确实，整个魔方是一个大的正方体，请你再仔细观察，你还发现了什么？生：有若干个小正方体组成，每面的颜色不同师：那我就有个问题想问你，这个魔方到底有多少个小正方体组成？（课件出示：9³=9×9×9=729个）师：我发现大家不仅很会观察，而且还很善于思考。师：关于正方体，它有哪些特征？生：正方体有8个顶点，6个面，12条棱（课件：把九阶魔方换成没有颜色棱长9的正方体）师：今天这一节课，我们就用正方体来探索有关图形的相关问题。（板书课题：探索图形）【评析：好奇心、求知欲与创新思维是紧密相连的，它们是创新思维的起点。好奇心可以唤起创新的意识，激发创新的动机，推动人们进行创新思维活动。单纯的数学知识往往比较枯燥乏味，难以激发学生的兴趣与学生的求知欲，若能从生活实际出发创设情境，给出一些生动的、有趣的、真实的数学问题让学生解答，不仅可以提高他们的学习兴趣，也有利于促进学生积极思维。本案例中通过一个简短的交流，同时借助生活实际中绚丽多彩的魔方导入，继而提出问题，较大程度地激发学生学习的兴趣，让学生也知道本课要探索的图形是和正方体有关的图形，唤醒学生已有的认知经验，为即将展开的的探索活动做好知识的铺垫。为即将展开的的探索活动做好情感的铺垫。】二、探究新知，经历过程（一）提出问题，化繁为简。师：同学们来看，这是一个用棱长1cm的小正方体拼成的大正方体，如果给这个正方体的表面涂上颜色，每个小正方体涂色部分会一样多吗？生：不一样多，有的小正方体图了三个面，比如最边上的；有的小正方体只图了两个面，比如边上的；有的小正方体只图了一个面，比如面中间的；有的小正方体没有被涂色，比如里面的；师：确实如此，如果根据涂色的情况给这些小正方体分类，你想怎样分类？（三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的）板书：三面涂色的两面涂色的一面涂色的没有涂色的师：要研究四类小正方体各有多少块，可以用什么方法进行研究呢？生：列表法。序号棱上块数观察与发现三面涂色的块数两面涂色的块数一面涂色的块数没有涂色的块数=1\*GB3①2

=2\*GB3②3

=3\*GB3③4

师：对，我们可以利用列表的方法进行分类计数。你能数出每一类小正方体到底各有多少块吗？（2秒之后）你有什么感觉？师：这个图形太复杂了，数起来不方便。怎样才能解决这个问题，谁来支支招儿？生：从小一点的研究，发现规律，再来解决这个复杂的问题。师：好主意！我们先来研究简单的图形，探索图形中蕴含的规律，再用规律解决这个复杂的问题。【评析：创设问题情境,大正方体中四类小正方体各有多少块？在解决这个问题的过程中学生会感受到用原有的经验和方法解决问题有困难，产生认知冲突，促使学生积极主动地思考，寻求解决问题的新方法，激发学生的求知欲望，深刻体会化繁为简、探索规律解决问题的意义。】（二）分析问题，探索规律师：先研究哪个图形呢？①②①②③（课件出示：①、②、③图）师：可以，这三个相对比较简单，按我们刚才的分类，大家打算怎样研究？（一个一个的研究，把发现的数据用列表的方法标示出来，然后找出规律）1、直接观察：图①棱长为2cm的正方体师：先一起来研究第①个图，棱长为2cm的正方体，它由多少个小正方体组成？师：现在把它的表面涂上颜色，请你观察每个小正方体涂色情况。你发现了什么？（三面涂色的块数：8其它情况都是0）师：一眼就看出来了，观察的很敏锐。2、借助三阶魔方观察：图②棱长为3cm的正方体：师：再来研究第②个图，棱长是3cm，它由多少个小正方体组成？师：大正方形表面涂色后，每种情况的小正方体各有多少块？师：你还能一眼看出来吗？师：我们可以借助魔方来观察，忽略魔方每个面的颜色，我们只研究这些小正方体涂色的情况。生：独立借助魔方观察研究，并把结果记录在探索单上。师：谁来说说你的发现？这幅图中，每种情况小正方体的块数分别是多少个？生：三面涂色的块数：8两面涂色的块数：12一面涂色的块数：6没有涂色的块数：1师：说说你是怎么找到的？预设学生回答：（1）三面涂色的小正方体还在大正方体的顶点位置。（2）两面涂色的：这个在这条棱上，正方体有十二条棱，其他每条棱上也有一块两面涂色的小正方体，一共是12块。（3）一面涂色的：在每个面的的中间，正面有一个块，六个面就有6块。（4）没有涂色的：一共27各小正方体，除了上面三种情况，其它就是没有涂色的块数：27-8-12-6=1块。师：同意他的说法吗？看来大家都很厉害，借助魔方观察，不仅找到了每种涂色情况的小正方体的位置，还正确地数出和算出了每种情况小正方体的块数。把掌声送给自己吧！【评析：小学是学生接触知识的初始阶段，是培养学习习惯的阶段，也是培养学生思维和创新意识的基础阶段，而小学的高段刚刚开始接触立体图形，他们的思维模式大多都还处于最原始的“形象思维”状态之中；而观察客体所得的各种事实和材料是科学研究的基础，是一切科学发明创造的出发点。数学教学中培养学生的观察力至为重要。通过直接观察直观形象的正方体，到数一数小正方体的不同颜色的个数，再到观察对比位置的不同；在不同变化中找他们变化规律。在这个过程中，必须要对观察对象进行分析，然后抽取出共同的东西加以综合，得出变化的规律。这种观察能力的培养和思维方法加以综合，得出变化的规律。这种观察能力的培养和思维方法的训练，是数学课中创新的基本途径。】3、先观察，再想象：图③棱长为4cm的正方体：师：有刚才探索图形①和图形②的经验，现在请你先自己在图③中仔细观察，每种情况小正方体的块数分别是多少个？师：除了直观的观察，还可以发挥你的想象哦！有想法吗？把你的想法在四人小组内讨论交流。四人小组合作探究：活动建议①用小正方体学具摆出相应的图形②观察每类小正方体都在什么位置③把结果填写在记录表中④观察表中记录的数据，能否找到规律全班交流汇报：【评析：《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“‘综合与实践’的教学，重在实践，重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。”让学生全员参与，合作探究，充分探索，这是本课的活动重点，也为学生提供了创新环境。整个探索活动通过任务的驱动和问题的引领，让学生全程完整地参与探索，在经历探索的过程中加深对相关数学知识的理解，体验各类小正方体的位置特征，并逐步发现规律。】师：谁来代表你们小组带领大家探索图形③。预设学生回答：（1）三面涂色：还是8块，还在大正方体的顶点处，因为任何一个正方体都只有8各顶点，所以三面涂色的小正方体有8块。（2）两面涂色：一共有24个，正面最上面的棱上有2块，其它每条棱上都有2块，12条棱上就有12×2=24块。或者有学生会数，引导学生比较“数”和“算”哪个简便？质疑：“2”哪来的？生可能会说棱的最中间有2块。师：嗯，确实如此。每条棱上有4块小正方体，顶点的有2块是三面涂色的，那中间就剩2块两面涂色的了，我们也可以用4-2=2来计算。（3）一面涂色：正面有4块，在正中间，有6个面，一共就有4×6=24块。质疑：4怎么算？（棱长-2）²（它还是一个正方形）（4）没有涂色：这个正方体一共有4³=64个小正方体组成，64-8-24-24=8块。师：还有没有更简便的方法呢？课件演示：将三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体剥离出去的过程，激发学生寻找更简单的方法。发现：没有涂色的部分也是一个正方体，它的棱长就是每条棱上的小正方体块数-2（每条棱上的小正方体块数-2）³（引导学生说）【评析：充分的交流，才能将解决问题的过程中出现的各种情况呈现出来，使学生的思维达到发展；充分的交流，才能让学生明晰解决问题的最好途径和问题解决的最终结果，使学生经验得到积累；充分的交流，抓住疑问，从中摩擦出思维创新的火花。哲学家亚里士多德说过：“思维是从质疑和惊奇开始的。”引导学生质疑，敢于标新立异，提出自己的独特见解，是培养学生创造能力的重要途径。在教学中，教师要善于围绕知识关键设置疑难，促使学生对疑难问题产生探讨的兴趣，引导学生通过知识迁移，使疑难得以解决。课堂上无论学生提出的问题正确与否，教师都应从正面引导，鼓励他们敢于发表自己的见解，尊重他们的自尊心，同时教师也要把握住学生提出思维含量较高的问题，促使学生深入地探究。这样，就能不断激发学生的创新意识。】4、猜想，发现规律并加以验证。师：通过刚才探究这三个图形，我发现大家都是实力派，探究能力很强啊！师：按这样的规律摆下去，接下来大正方体是什么样子的？师：是，课件出示：棱长为5cm、6cm的大正方体。你知道三面、两面、一面和没有涂色的小正方体各有多少块吗？师：根据之前的经验，请你先猜想，并记录在作业纸上。生汇报。师：你猜想的的对吗？一起来验证一下吧！课件演示。5.总结归纳规律。师：咦？你怎么猜想的这么准确呢？（有规律）师：有规律？现在我们来静静地思考一下，每种涂色小正方体的位置和块数有什么规律？同桌两人互相讨论讨论。生讨论后汇报。师：我把大家的发现的规律打在了大屏幕上。自己读一读吧！课件出示：师：根据大家刚才的研究结果，我们一起来梳理一下吧。★三面涂色的师：我们先来看三面涂色的有什么位置特征和数量规律呢？生：三面涂色的都在大正方体的顶点上（师板书：顶点上），因为大正方体有8个顶点，所以三面涂色的都是8块。（课件依次出示三幅图形，并闪现三面涂色小正方体）小结规律1：三面涂色的小正方体块数都是8师：简洁明了，很好！★两面涂色的师：两面涂色的呢？生：两面涂色的在棱中间（师板书：棱中间），大正方体有12条棱，所以用每条棱上除去两个顶点后剩下的块数乘12。（课件依次出示三幅图形，并闪现两面涂色小正方体）师：思路很清晰，先找到位置规律，再说数量规律。小结规律2：两面涂色的小正方体块数：每条棱中间的块数12，即12×（每条棱上小正方体的块数-2）★一面涂色的师：一面涂色的呢？生：在正方体每个面的中间（师板书：面中间），大正方体有6个面，所以用每个面除去外边一圈后后剩下的块数乘6。（课件依次出示三幅图形，并闪现一面涂色小正方体）师：说的也很清楚。小结规律3：一面涂色的小正方体块数：每个面中间的块数×6，即6×（棱长-2）²★没有涂色的师：那没有涂色呢？生1：用总块数减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，最后剩下的就是没有涂色的。师：是啊，这个方法虽然不错，但有的时候用起来还是不太方便，那谁有比较简洁的方法？生2：没有涂色的在大正方体的中心，也就是把前后左右上下一圈都剥离一层后剩下的部分，它是一个新的正方体，用它的棱上块数×棱上块数×棱上块数，简单的说就是棱上块数3。师：这个方法听起来还不错哦。用心观察和思考，我们就可以发现新旧正方体之间的数量关系，利用它们之间的关系进行研究就简单多了。小结规律4：没有涂色的小正方体块数：新正方体棱上块数3，即（每条棱上的小正方体块数-2）³师：通过刚才的学习，我们不仅探索出图形中各类小正方体所在的位置，还发现了各类小正方体块数的规律，真是收获满满呐。师：一起来看一下，哇哦，也是满满的一屏幕文字啊，这个规律还能用更简洁的方法表示出来吗？师：对，就是用字母表示。如果用n来表示大正方体棱长，你自己试着来表示一下这个规律吧。写在探索单的最下面。生汇报，课件出示，不正确的订正。三面涂色：8两面涂色：一面涂色：没有涂色：预设学生可能发现和正方体的棱长公式、表面积公式、体积公式有关。【评析:围绕梳理归纳不同面数的块数的规律，引导学生分析与思考,把学生的各次活动得到的感性认识加以适当提升,启发学生进一步思考,使学生在自主探索的基础上发现并总结规律,提高了学生的概括能力，同时帮助学生积累了有特殊到一般、寻找规律的一般经验。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法”。面向全体学生，从他们交流的语言中，可以清楚地看到一种创造性思维的脉搏在跳动，让他们各抒己见，互相启发补充，开拓思路，有利于促进创新意识的发展。】（三）应用规律，解决问题现在你能解决我们最初的这个问题了吗？【评析:学生已经有了之前从特殊到一般的活动经验，这个环节则是让学生感受到探索规律的价值所在，学以致用。】（四）回顾反思，感悟思想师：回想刚才的探索过程，我们先从简单图形入手进行研究，在发现规律之后再用规律去解决复杂的问题，这是一种解决问题的常用方法叫做“化繁为简”。在探索四类小正方体的数量规律时，我们还运用了“数形结合”和“分类计数”的方法，这些都是我们数学研究中的常用方法，这些方法可以让原本复杂的问题变得简洁清晰，有助于我们发现规律。【评析：综合与实践可以理解为一种数学探究或数学建模活动，是学生综合运用所学的数学知识、思想、方法解决一些数学问题或现实问题的过程。思想感悟与经验积累决定了人的思维方式。学生只有对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，才能将经历内化为能够理解的经验。本课中所体现的“分类计数”、“数形结合”、“化繁为简”等数学思想方法都是在数学研究中常用的方法，让学生有所感悟，有助于学生更好地利用这些活动经验解决更多的问题。】三、巩固练习，拓展运用师：接下来，请大家借助刚才的这些活动经验，完成一道练习题。（出示练习题）想一想，数一数，下面图形中各有多少块小正方体？（学生独立思考后全班交流）生1：第一幅图：从上往下看，第1层有1块；第二层比第一层多两块，是1+2=3块。一共就有1+3=4块。第二副图：从上往下看，第1层也是1块；第二层是1+2=3块，第三层是3+3=6块。一共就是1+3+6=10块。第三副图：从上往下看，第1层是1块；第二层是1+2=3块，第三层是3+3=6块。第四层是6+4=10块，一共就是1+3+6+10=20块。师：他是按照