高考专题《排列与组合》解题技巧

《排列与组合》解题巧排列组合问是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型样，思路灵活，不易掌，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类识别模式、熟练运用，本文绍十二类典型排列组合题的解答策略．1相邻问题并组法4标号排位问题分步法7交叉问题集合法

2相离问题插空法5有序分配问题逐分法8定位问题优先法

3定序问题缩倍法6多元问题分类法9多排问题单排法10．至少”问间接法12．部分条件问题排除法1相邻问题组法

11．排问题先取后排法13．均匀配问题-均分法题目中规定邻的几个元素并为一个组(当作一个素)参排列．【例】AB、、D、五人并排站成一排，如A、B必须相邻且A的边，那么不同排法种数有（）A．种B种C．36D．种分析：A、B视为一人，且B固定在A的右边，则题相当于44种，故D2相离问题空法元素相离(即不相)问题，可先把无位要求的几个元全排列，再规定相离的个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例七个人并排成一行，如果乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是（）A．B．3600．4820D．48005个P55

6P6

55

P6

3600B3定序问题倍法在排列问题限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小数的方法．【例】BDE个人并排站一排如果B须站A的右边(AB可不相邻，那么不同排法种数有（）A．种B种C．90D．120种1

分析B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即P5＝种，故选B．54标号排位题分步把元素排到定号码的位置上可先把某个元按规定排入二步再排另一个元，如此继续下去，依次即可完成．【例4将数字123，4填入标号为，34四个方格里，每格一个数，则个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A．6种B9种．种D．种分析：先把1填入方格，符合条件的有3种方法第二步把被填入方格的对应数字填其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下两个数字，只有一种填，共有3×3×1＝9种填法，故选B．5有序分配题逐分有序分配问是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量组法．【例5】有、乙、丙三项任务，甲需人承担，乙丙各需人承担，从10中选出4人担这三项任务，不同的选法总数有（）A．．2025种C．D．5040种分析：先从人中选出个承担甲项任务，再从剩下个中选人承担乙项任务，第步外7人中1个承两务不同C1C种C76多元问题类法元素多，取的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容几类情况分别计算，后总计．【例6由数字，123，4，5组且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于位数字的共有（）A．个B300个C．464．600个分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，、13、1P个，54333选B．【例7，，3…100个数中任取两个数，使它们的乘积能被整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种分析：被取的两个数中至少有一个能整除时，它们乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被整除的数的集合记A，则A＝｛7，14，…｝共有14个元素，不能被7除2

A2，…，100}共8素A中任共2A中A个14有C11合11295148614【例从12…100这个数中，任取两个数，使和能被整除的取法(不顺序)多少？分析：将Ⅰ＝｛12…，100｝成四个不相的子集，能被4整除的数集A＝48…，除余的数集B｛1，5…，974除余的数集为2984除余3的数集为D399易见这四个合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；从BD中各取一个数的取也符合要求从C中任取两个数的取法样符合要求；此外它取法都

+

+C

．7交叉问题合法某些排列组问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个公式n(AB)＝n(A)＋n(A∩B)【例9从名运动员中选出4参加接力赛果甲不跑一棒，乙不跑第四，共有多少种不同参赛方法？分析设全集Ⅰ｛6人中任取4人参赛的排｛甲第一棒的列B｛乙跑第四棒的排列据求集合元素个数公式得参赛法共有：－n(B)n(A∩P

3

3

2

252(8定位问题先法某个(或个)元要排在指定置可先这个(几个元素再其他元素．【例】名老师和名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端则有不同的法有_______种老P14名34P4

3

P4

72【eg】架上有3本不同书，如果保持这些书的相对顺序不变再放上2不同的书，种不同的放法分析：法一：分两部完成，一步，固定本不同的书前后顺序进行排列，设其排列数N，第二步，再对三本书行内部排列，A33

种不同的方，由分布计数原，A，所以5

A5A33

20种不同方法。

82方法二：可解为从5位置中选2进行排列A2，三本书放剩余位置。8259多排问题排法把元素排成排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】个不同元素排成前后两排每排个元素，那么不同的排法种数是（）A．B120．D．1440．分析：前后两排可看成一排的两段，此本题可视为个不同元素P

720种，故C【例】8不同的元素排成前两排，每排4个元素，其中某个元素要排在前排某1个素要排在后，有多少种排？高中代数甲种本第三册，23②．析看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排个，有P24种；某1个元素在后半段四个位置中选一个，有4

种；其余5个元素任排在剩余的个位置有P5

种，故共有P4

P24

P55

＝5760种排法．10．“至、“至问题接法关于至少”类型组合问题，间接法较方．【例】4台型和5台乙型视机中任取台，其中至少要型和乙型电视机一台，则不同取法共有（）A．种B．80种C．70D．种分析：逆向思考，至少各一台的反面是分别只取一种型号，不取C

C

种．故C．如7男同学和5女同学中选出人，至少有2名同学当选的法有_______（答：596）提醒：亦可类来求.11．排问题取后排从几类元素取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置，可用先取后排法．【例】个不同的球入编号为，234四个盒中，恰有一个空盒的放法共_CP3种2144种444

24

【例】9乒乓球运动员，其男5名，女名，现要进行混合双训练，有多种不同分组法？CC种；54有P2

2

25

C

24

P2

如种产品有4只品和只正品，每只产均不相同且区分，今每次取出一只测，直到只品全测出为，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现不同情况种数是____（答：57612．分合条问题除法在选取总数，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条数，即为所求．【例】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有（）A．个B个C．58D．个正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上可构成

4四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面，所

12．【例】六边形中心和顶点共7点，以其中个点为顶点的三角形共有________个．7个C7

37

3＝13、匀分配题-均分【例】6不同的书，下列要求各有多少种不的选法：（1）分给甲、、丙三人，每人本；（2）分为三份每份2；（3）分为三份一份1，一份本，一份本；（4）分给甲、、丙三人，一人本，一人2，一人3本（5）分给甲、、丙三人，每人至少本解）根据分步计原理得到：CC290种；642（2）分给甲、、丙三人，每人两本有C种法，这个过程以分两步62完成：第一分为三份，每份两本，设有种法；第二步将这三份分给甲、乙、丙三名学有A3

种方法．根分步计数原理可得：C

26

C

24

C

22

33

，所以5

．．．．．．．．x

262A3

．因此，分为三份，每份两本一共有15方法．点评：本题分组中的“均匀分组”问题．一般：将个不同素均匀分组（每组个元共Cmn

A

m

种方法．（3）这是不均匀分”问题，共有12360种方法65（4）在（3）的基础上再全排，一共有1C2CA种方法633（5）可以分为类情况：①“2、22”即（）中的分配情况有

26

24

22

方法；②、、型”即（4）中的分配情况，有1C3种方法；63③、、型”，有种方法；6所以，一共90+360+90＝种方法．C41C点评：本题（）种类型为部分匀分组再分配其分组总数为2．A2思考（1名球员住AB、三个房间，每个房间最住3，有多少种住C3C宿方法？解2A2

．思考（本相同的书给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三是否均分到书．有多少种不同的分法？解：用档板处理，○|○○|○eq\o\ac(○,○)eq\o\ac(○,)，结果为2

228点评题〗求不定程的负整数解的个数？2练习1）本不同的书分给三个人，每人至少一本全部分完，几种分法？解：先分组再分配有23种．3（2）不同的书，给个，每人至少1，全部分完，有几种分法？6

解：先分组再分配有Cn种．nn（3）相同的书，给个人，人至少本，全部分完，有几种分法？解：共n种法．（4）10个相同的小球放入编号