高中数学人教A版选修4教学案第三讲二一般形式的柯西不等式

22222222222222212n22222212n222222222222222212n22222212n22二

一般形式的柯西不等式名称三维形式柯西不等式

对应学生用书形式设，，，，，∈，(a＋1231＋a＋＋)≥b＋a＋211b)33

等号成立条件当且仅当b＝b＝b＝0或在一个1实数k使a＝(i＝1,2,3)ii一般形式柯西不等式

设，，b，b，b，，当仅当b＝0(i1,2，…，)或存12n12i是数，则(a＋a＋＋a(b＋在个实数，使得＝(in1n2ii＋…＋b)≥(a＋b＋＋a)1,2…，n)n1122[说明]一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四形式的柯西不等式的归纳与推广其特点可类比二维形式柯西不等式来总结边是平方和的积右是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．对应学生用书P32利用柯西不等式证明不等式1[例1]设x，，，都正数，求证：＋＋＋≥12xx＋＋…＋x1n[思路点拨][证明]∵(x＋＋＋)12

＋＋…＋x1n1＝[()＋()＋＋x)]＋＋…＋12n12

≥

x＋＋…＋x12

xn

＝n，

212n22x822x2212n22x822x211n∴＋＋＋≥xx＋x＋…＋12柯西不等式的结构特征可以记为：(＋＋…＋a)·(b＋b＋…＋)≥(a＋12n2bb).22其中，∈Ri，n，在使用柯西不等式时要善于整体上把握柯西不等式ii的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．．已知，b，∈R，且＋b＝1，求证：a1＋＋1＋c＋12.证明：据柯西不等式，有(3＋1b＋3＋1)≤＋1＋1)(3a＋3＋1＋c＋，∴3＋1＋b＋＋≤3利用柯西不等式求最值[例2](1)已知，，R，＋＋＝求＋＋的小值．x(2)设x＋3＋5＝求函数2＋＋y＋＋＋的最大值．419[思路点拨](1)＋＋＋(xyzx(2)(234z×21y4×56).[解](1)∵x＋y＋＝1，∴＋＋＝＋＋(＋＋)x≥

23＋＋x

2＝＋2＋3)＝36.yz当且仅当x＝＝，

2d22122＋22222232d22122＋22222231即x＝，y＝，＝时等号．34所以＋＋的最小值为x(2)根据柯西不等式，有(＋＋3＋4·15z＋≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋＋＋＝3＋3＋z＋＝3＝故2x＋1＋y＋4z＋≤230，当且仅当2＋1＝3＋4z＋6即x＝，＝，＝时号立．915此时＝利用柯西不等式求最值时键对原目标函数进行配凑保证出现常数结果时要注意等号成立的条件．．设，b，均为正实数，则(＋b＋)·

11＋＋＋的小值为．解析：(＋b)·

11＋＋＋bd＝[(a＋)＋)＋(d

22＋2ad

≥

＋＋c＋bc

2

＝(1＋1＋1＋1)＝＝，当且仅当ab＝c＝d时等号．答案：16．已知：x，y，z∈且＋＋＝2，x＋y＋3的大值为()A2C．

B2D．5解析：∵(xz)＝×x＋＋)≤(1＋＋)[(x＋)＋1()]＝8(＋＋)＝16.当仅当x＝y＝z＝时等.

222222442222222222222244222222222＋2b3c22222222＋…＋a＋1n∴x＋2y＋3≤答案：．把一根长为m细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和最小，并求此最小值．x解：设三段绳子的长分别为x，y，则＋＋＝12三个正方形的边长分别为，，z

x均为正数，三个正方形面积之和S＝＋＋＝x＋＋)．∵(1＋＋＋＋z≥(x＋y＋z＝12，即x

＋y＋

≥48.从S≥×＝3.x当且仅当＝＝时取号，1又x＋y＋＝，∴x＝y＝＝4时，S＝min故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3对应学生用书P3311．若，b∈，且＋＋＝，则a2＋3的小值为()2bcA9C.3

B3D．6解析：柯西不等式得＋＋3＝(a＋2b3c

1＋＋≥(1＋11)＝，∴a2＋3c的小值为答案：A．已知＋＋＋a＝1x＋＋…＋＝，则ax＋＋…＋a的大1211值是)A1C．

B2D．4解析：(＋ax＋…＋)≤a1122n

＋a1

222n12

＋＋xn

2

)＝×1＝，当x且仅当＝＝＝＝时等号．aa1∴ax＋＋…＋的最大值是1.1122答案：A

22222222222222222222222222222722222222222222222222222222222722232222．已知

＋b

2

＋c

＋d

＝，则abbc＋的最小值为)A5C．

B－D．－25解析：ab＋＋＋da

≤(a

2

＋

＋c

＋

2

＋c

＋

2

＋a

)＝25，且仅当b＝c＝d±

时，等号成立．∴ab＋bc＋＋bd的小值为答案：．(湖北高设a，b，，，z是数，且＋＋＝10x＋＋＝40＋＋＋c＋＝，则＝)x＋y＋zC.

解析由柯西不等式得a

＋b

2

＋c

)(x＋y＋

)≥(＋by＋cz

b＝当且仅当＝＝xc1＋bc＝时等号，因此有＝z＋＋答案：知＋3y＋＝＋y＋取最小值时形成的x)＝________.32解析：柯西不等式＋＋＋y＋z)≥＋y＋z)，即x＋y＋≥＝.x当且仅当＝＝z时号成立．又2＋y＋z＝8312解得：x＝，y＝，＝，124所求点为，，.124答案：，，7．设，bc正数，则＋b)

36＋＋的最小值是________解析：(＋b)

936＋＋b＝[(a

＋()

＋()

]＋＋≥

3＋＋cbc

2＝＋3＋6)＝

＋2222222222222222≥＋＋＝22222222222222222226222＋2222222222222222≥＋＋＝22222222222222222226222bc当且仅当＝＝＝kk为实)，等号成立．36答案：121．已知，b∈且＋bc＝，则2＋b＋2c＋的最大值为．解析：由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2＋)＝×a＋×2＋1＋×2＋

≤(1

＋1＋

a＋＋12＋＝3(2×＋＝48.当且仅当2b1c＋3，即＝2＋1＝2c等号成立．13又＋b＋c＝6，a＝，b＝，c＝时a＋b＋2＋3取得最大值3.答案：43．△ABC中设其各长为

b，c外接圆半径为

，求证：＋b＋c)

1＋＋sin

≥36R.证明：＝＝＝2RsinAsinB∴(a＋＋)

＋＋sinBsinCbAsinC

2．求实数x，的使得y－＋(x＋y－3)＋(2＋y－6)取到最小值．解：由柯西不等式，得＋2

2

＋1

2

)×[(y－1)＋(3－x－y)＋＋－6)

]≥[1×(－＋2×(3－)＋x＋y－＝，即(y－1)＋(x＋y－＋x＋y－≥.y－1－x－x＋y－6当且仅当＝＝，1即x＝，y＝时上式取等