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文档简介

哈滨业学级代与何期考试哈尔滨工大学2007《代数与何》期末试（此卷满分50）注：本试卷中

、、

分别表示

的秩，

的转置矩阵、

的伴随矩阵；

表示单位矩阵.一、填题（每小题2分共10）1．若矩阵满足，则2．在空间直角坐标系中方程

的特征值只能是的图形是

.

.3．向量组4．若矩阵

满足，

的秩为是行满秩阵，则

.5空间直角坐标系中曲线程为.二、选题（每小题2分共10）

绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方1．设（）（C）

是

矩阵，则方程组；（B；（）

有唯一解的充要条件是【】；.2．设有维列向量组（）示，则

;可由向量组（）【】

线性表（）若（）线性无关，则（）线性无关；（B若（）线性相关，则（）线性相关；/

（C）若（）线性无关，则

；（D）若（）线性无关，则

.3．设

，则必有【】（）

是正交阵；（B）

是正定阵；（C）

是对称阵；（D）

.4．实二次型

正定的充要条件是【】（）；（B）

；（C）；（D）

.5．设,

B是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是【】（）若A与B价，则AB似；（B若A与B似，则AB同；（C）若AB同，则A与B相似；（）若A与B价，则AB同.三、（题）已知列向量组

是

的基，

也是的基由基

到基

的过渡矩阵求

在基下的坐标.四、（题）设矩阵

与

相似，求

.五、（题）已知六、（题）

，其中，求/

.

已知三阶实对称矩阵A每行元素之和都等于2且秩

.（用正交变换将二次型阵.

化为标准形，并求所用的正交变换矩（求

,其中m是大于等于1的自然数.七、（题）设

是阶方阵，，试证：若存在自然数

使，则

.八、（题）设实矩阵，

，

是

的列向量组.实向量是齐次线性方程组线性无关.

的基础解系.试证：向量组参考答案一、填空1、2.、双叶双曲面.、二、选择1、A.2、C.3D.4、、B.

4、.、

.三、解：由知由基

到基

的过渡矩阵为在基

下的坐标为/

四、解：

与

相似，知

是

的特征值，所以，

.进而，

由此得解得

.五、解：

.由，得，整理得

.由知

可逆，且故

，.

六、解：1）因

的每行元素之和都等于，所以

是

的属于特征值2特征向量.因，所以

是A征值,对应于

有两个线性无关的特征向量.设

是A的属于特征值

的特征向量.因

实对称知X与

正交，即.解得将

的属于特征值2特征向量

是A属于特征值规范正交化得

的特征向量，规范正交化得..令

，则P为正交矩阵，在正交变换

下，.（2），七、证：因，所以存在可逆矩阵

使

其中

.于是

故

从而

.八、证法设（1）因

是齐次线性方程组

的基础解系，用

在左边乘（1）式两边得，进而，故，再由由（1）知

知，由

是基础解系，从而线性无关，于是，故

线性无关.

证法2：（1）因

是齐

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