人教版高中数学《导数》全部教案

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导数的背景（5月4日）

教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义

教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本

教学难点极限思想

教学过程

一、导入新课

1.瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

析：大家知道，自由落体的运动公式是S=[gt2（其中g是重力加速度）.

2

当时间增量At很小时，从3秒到（3+Z）秒这段时间内，小球下落的快慢

变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时

的速度.

从3秒到（3+At）秒这段时间内位移的增量：

△s=s(3+At)-s(3)=4.9(寸回)2-4.9k2=29.4,+4.9Qt)2

—&

从而，v=—=29.4旬.9也

At

从上式可以看出，卜越小，迎接近29.4米/秒；当t无限趋近于。时,o△

△t△t

无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当去趋向于0时,的极限是294

sAt

当A趋向于0时，平均速度区的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做

△t

瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s=s（t）,则物体在t到（t2t）这段时间

+A

内的平均速度为^s=s（tt）-s（t）.如果A无限趋近于0时，无限趋近于

4At△t

某个常数a,就说当At趋向于0时，丝的极限为a,这时a就是物体在时刻t

△t

的瞬时速度.

2.切线的斜率

问题2：P（1,1）是曲线yx*上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q

沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.

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2

析：设点Q的横坐标为1+9，则点Q的纵坐标为(1+Ax)，点Q对于点P

的纵坐标的增量(即函数的增量)(1+AX)2-1=28fx)2,

2

△y2/<+(△x)

所以，割线PQ的斜率kPQ=——=------------------=2+Ax.

△x&x

由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，Ax变得越来越小，kpQ越来

越接近2；当点Q无限接近于点P时，即Ax无限趋近于0时，kpQ无限趋近于

2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫

做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：y1-.

一般地，已知函数的图象是曲线C,P(xo,yo),(x0x,yoy)

y=f(x)c+△+△

是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当

点Q沿着曲线无限接近点P,即x趋闺于。时，如果割线PQ无限趋近于一

个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜

率卜「0=义无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说，当AX趋向于0时，割线

△xy

PQ的斜率kPQ=—的极限为k.

△x

3.边际成本

问题3：设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为C(q)=3q*10,我

们来研究当q=50时，产量变化的对成本的影响.在本问题中，成本的增量为:

AC=C(50+“)£(50)5(50+4|)2+10-(3X50〃10)=300+3^q)2.

、

产量变化Aq对成本的影响可用：A工=300+3用来刻划，Aq越小，竺\C越接近

%Aq

300；当德无限趋近于0时，丝无限趋近于300,我们就说当Aq趋向于0时，

%

竺Ac的极限是300.

c°

我们把JA的极限300叫做当q=50时C(q)=3q2+10的边际成本.

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一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C=C（q）,

当产量为q。时，产量变化4对成本的影响可用增量比任，9°+8）°（q°）

AqAq

c

刻划.如果H无限趋近于0时，9无限趋近于常数A,经济学上称A为边际

△q

成本.它表明当产量为q。时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本

的一个近似值）.

二、小结

S

瞬时速度是平均速度当4趋近于o时的极限；切线是割线的极限位置，

At

切线的斜率是割线斜率型当AX趋近于0时的极限；边际成本是平均成本丝当

△xAq

△q趋近于0时的极限.

三、练习与作业：

1.某物体的运动方程为s（t）=5t2（位移单位：m,时间单位：s）求它在t=2s

时的速度.

2.判断曲线y效2在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3.已知成本C与产量q的函数关系式为C=2q?+5,求当产量q=80时的边际

成本.

4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单

位：s）之间的函数关系为h但，求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

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5,判断曲线y=算X。在(1,_)处是否有切线，如果有，求出切线的方程•

6.已知成本C与产量q的函数关系为C4q27力求当产量q=30时的边际成

导数的概念(5月4日)

教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数

教学难点：导数的概念

教学过程：

一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函

数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面

导数的概念。

二、新授课：

1.设函数y=f(x)在x=xo处附近有定义，当自变量在x=x()处有增量Ax时，则函数

Y=f(x)相应地有增量Ay=f(x(^Ax)-f(xo),如果AXT0时，Ay与Ax的比——(也

yAx

叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数

y-f(x)在xxo处的导数，记作y/x5)

7A

f(x0)=lim~xj-f(x0)

2△x

注：1.函数应在点Xo的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，AX趋近于0可正、可负、但不为0,而Ay可能为0。

殳V是函数y=f(x)对自变量X在为范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线

4

y=f(x)上点(x0,f(x0))及点(XQ-Ax,f(xo+Ax))的割线斜率。

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4.导数f/(X。)=limf(xo+，x)--------L是函数y=f(x)在点x0的处瞬时变化率，

△tZ

它反映的函数y=f(x)在点xo处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)±

点(xo,f(xo))处的切线的斜率。因此，如果y=f(x)在点x0可导，贝U曲线y=f(x)

在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)«

5.导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在xo及其附近的函数值有关，与Ax无关。

6.在定义式中，设x=x()+Ax,则Ax=x-xo,当Ax趋近于。时，x趋近于Xo,因

/+A--MX)

此，导数的定义式可写成f(xo)=lim-Mx0-----x)-f(xo)=limf(x)-------°。

AT。4x-*ox-Xo

f(Xo..f(x0)

7.若极限lim_1+葭)二___不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导。

△会怎

8.若f(x)在Xo可导，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))有切线存在。反之不然，若曲

线y=f(x)在点(x(),f(xo))有切线，函数y=f(x)在x()不一定可导，并且，若函数

y=f(x)在xo不可导，曲线在点(x0,f(x0))也可能有切线。

一般地，lim(a+bAX)=a，其中a,b为常数。

AT

特别地，lima=ao

ZMO

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个xw(a,b),都

对应着一个确定的导数f/(X),从而构成了一个新的函数f/(x)。称这个函数f/(x)为函

数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/,即

f/(x)=y，'=lim匕=limf(&x)-f(x)

>A>A

x0入Yx0人Y

函数y=f(x)在xo处的导数y/XK。就是函数y=f(x)在开区间(a,b)(x€(a,b))上导

数f/(x)在xo处的函数值，即y/x=°=flx。)。所以函数y=f(x)在xo处的导数也记作

注：1.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数y=f(x)在开区间

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(a,b)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一

个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数y=f(x)在点x0处

的导数就是导函数U(x)在点X。的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的xo换成x就可，即/(x)=limf(x+7(x)

ATAX

4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是：

(1).求函数的改变量AY=f(x+4x)_f(x)。

⑵.求平均变化率f(x+a)-f(x)。

△xAx

⑶.取极限，得导数y/=lim竺。

3Ax

例1.求y=2x/_1在x=-3处的导数。

O

例2.已知函数y=x+x

(1)求y，。

O

(2)求函数y=x+x在x=2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习与作业：

1.求下列函数的导数：

(1)y=3x-4；(2)y=1-2x

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O

⑶y=3x_12x(3)y=5_x3

2.求函数y=x'+1在-1,0,1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数:

2c2

(1)y=x,Xg=2；(2)y=—x,XgQ；

3

o2

(3)y=(x-2),XQ=1(4)y=x一x,xo=—1.

4.求下列函数的导数:

2

(1)y4x1t(2)y=10-x；

2

(3)y=2x_3x;(4)y=2x+7。

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O

5.求函数y=x_2x在一2,0,2处的导数。

导数的概念习题课(5月6日)

教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则

教学重点导数的概念及求导法则

教学难点导数的概念

一、课前预习

1.f(X)在点Xo处的导数是函数值的改变量____________________与相应自变量的改变

量—的商当_____________________________

2.若f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数f/(x),称f/(x)为函数f(x)的导函数；求

一个函数的导数，就是求；求一个函数在给定点的导数，就是求.函

数f(x)在点x0处的导数就是.

3.常数函数和寻函数的求导公式：(c)/=—(X)=(n^N)

4.导数运算法则：若,则：

[f(X)由(X)]/=f''(x)士g/(x)[cf(X)]7=cfz(x)

二、举例

例1.设函数f(x)=x”-1,求：

(1)当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量Ax：

(2)当自变量X由1变到1.1时，函数的增量Ay；

(3)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

(4)函数在x=1处的变化率.

O

例2.生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)=200t).05q,求

(1)生产90个单位该产品时的平均成本；

(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；

(3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少

例3.已知函数f(x)=x2,由定义求i(x),并求f/(4).

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例4.已知函数f(x)=(ax+b)2(a,b为常数)，求f'(x).

2

例5.曲线y=_X上哪一点的切线与直线t3xJ平行？

2

三、巩固练习

1.若函数f(x)=x3,则[f(2)]/=

2.如果函数y=f(x)在点xo处的导数分别为：

⑴f(xo)=0(2)f/(Xo)斗

Z

(3)f(Xo)-|=-(4)f(XQ)=2,

试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.

//1

3.已知函数f(x)=x-2x2，求f(0)，f(—)，・

4

4.求下列函数的导数

(1)y=lx2+3K2(2)y=J.X3-1-X2+5)u1

243

(3)y=x(x-4)(4)y=(2x-1产(3h2)

四、作业

1.若limf(x)存在，则[limf(x)]z=

xf

ot(x1t

2.若f(x)=x，则lim

厂x-l

3.求下列函数的导数：

⑴y=2x4-20x2-40x中(2)y=32x4婿-SX^X4

6

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(3)y=(2x3+1)(3x2+x)(4)y=(x+2)2(x-i)3

o

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即C(x)=1000+7x+5x,试求:

(1)当日产量为100时的平均成本；

(2)当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；

(3)当日产量为100时的边际成本.

5.设电量与时间的函数关系为Q=2t”+3t+L求t=3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是sJ3t2+2t+1,计算从1=2到1=2+At之间的平均速度，并计算

当N=0」时的平均速度，再计算t=2时的瞬时速度.

7.若曲线y=_X*1的切线垂直于直线&X6$3=0,试求这条切线的方程

2

O

8.在抛物线y=2+x_x/上，哪一点的切线处于下述位置？

(1)与x轴平行

(2)平行于第一象限角的平分线.

(3)与x轴相交成45°角

9.已知曲线y=2X-X2上有两点A(2,0),求：

(1)割线AB的斜率kAB；(2)过点A的切线的斜率kAT；

(3)点A处的切线的方程

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O

10.在抛物线y=X”上依次取M(1,1),N(3,9)两点，作过这两点的割线，问：抛物线上

哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程

11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时-，该气球的体积与表面积的增长

速度.

12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增

加，求在x=20m,y=15m时，长方形面积的变化率.

O

13.(选做)证明：过曲线xy=a"上的任何一点(xo,yo)(x0>0)的切线与两坐标轴围

_1/

成的三角形面积是一个常数•(提小：(_)=_」)

XX2

导数的应用习题课(5月8日)

教学目标掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值

教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法

教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用

一、课前预习

1.设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内,则yf(x)是这个

区间内的；如果在这个区间内,则=yf(x)是这个区间内的.

2.设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的值都大

(小)，则称f(X。)是函数y=f(x)的一个.

3.如果y=f(x)在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值；

(1)求导数；(2)求方程的根(可能极值点)；

(3)如果在根的左侧附近为右侧附近为则函数y=f(x)在这个根处取得极—值；

如果在根的左侧附近为右侧附近为则函数y=f(x)在这个根处取得极—值.

4.设y=f(x)是定义在［a,b］上的函数，y=f(x)在(a,b)内有导数，可以这样求最值:

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(1)求出函数在(a,b)内的可能极值点(即方程%)=0…

fx在(a,b)内的根X1,X2,,xn)；

(2)比较函数值f(a),f(b)与f(Xi),f(X2),…，f(Xn),其中最大的一个为最大值，最

小的一个为最小值

二、举例

例.确定函数

1()=23_92+12_3

XXXX的单调区间.

例2.设一质点的运动速度是v(t)_t3+2

47153,问：从t=0到t=10这段时间内,

运动速度的改变情况怎样？

13

例3.求函数QX-9、+4的极值.

X在Xi=1与X2=2处取得极值，试确

例4.设函数f(X)=4aX3+4bx升定a和b的值,

32

并问此时函数在X1与X2处是取极大值还是极小值?

例5求函数()=33-9+5

fXXX在［-2,2］上的最大值和最小值.

例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度

最大的横梁，断面的宽和高应为多少？

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例7.求内接于抛物线y=1_x”2与x轴所围图形内的最大矩形的面积

例8.某种产品的总成本C(单位：万元)是产量x(单位：万件)的函数：

C(x)=100+6x_0.04X2+0.02X3，试问：当生产水平为x=10万件时，从降低单

位成本角度看，继续提高产量是否得当？

三、巩固练习

1.若函数f(x)在区间⑶b］内恒有，(x)<0,则此函数在［a,b］上的最小值是

f

2.曲线y-X3-彳X2-x+1的极值点是

432

=———

3.设函数f(x)ax°(ax)axa在x=1处取得极大值-2,则a=.

4.求下列函数的单调区间：

=+_+=++

qpo

(1)y2x3x12x1(2)y(x1)(x2)

5.求下列函数的极值：

=_+=——+

2

(1)yx4x6,(2)yx3x9x5,[-4,4]

6.求下列函数的最值：

=一十=­

2

(1)yx4x6,［-3,10］(2)yx3x,[-1,4]

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7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为C(q)=aq3_bq2+cq，(其中

a>0,b>0,c>0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成

本.

8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为C（q）=3+q（单位：百元），可

得的总收入为R（q）=6q_q2（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使

利润最大？最大利润是多少？

9.在曲线y=_1x&（xO,/0）上找一点（x0,yo）>过此点作一切线，与x轴、y轴构成

一个三角形，问：Xo为何值时，此三角形面积最小？

10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为C（q）=2.2x103q+8x107,通过市场调查，

可以预计这种彩电的年需求量为A=3.1x105_50p,其中p（单位：元）是彩电售

价，q（单位：台）是需求量•试求使利润最大的销售量和销售价格

多项式函数的导数（5月6日）

教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数

教学重点：导数运算法则的应用

教学难点：多项式函数的求导

一、复习引入

1、己知函数f（x）=x：由定义求f（X），并求f"4）

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2、根据导数的定义求下列函数的导数:

(1)常数函数y=C<(2)函数y=xn(neN,)

二、新课讲授

1、两个常用函数的导数:

(xn)z=nxn_1(reN,)

2,导数的运算法则；

如果函数f(x)、g(x)有导数，那么

[f(x)±g(x)],=f，(x)±g，(x)；

[C•f(x)]/=Cf'(x)

也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积

的导数，等于常数乘函数的导数.

例1：求下列函数的导数：

(1)y=7x3(2)y=-3x4(3)y=4x5+3x3

(4)y=(X2+1)(X-2)(5)f(x)=(axb)2(a、b为常数)

18

例2:已知曲线y=-3X上一点P(2,〜求：

33

(1)过点P的切线的斜率；(2)过点P的切线方程.

三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用

四、课堂练习：1、求下列函数的导数：

OOQ

(1)y=8x(2)y芝x卜(3)y=2x+x(4)yWx-4x

(5)y=(2x十)(3x才(6)y=x2(x3-4)

2、已知曲线y=4x-X2上有两点A(4,0),B(2,4),求:

(1)割线AB的斜率kAB；(2)过点A处的切线的斜率KAT；(3)点A处的切线的方程

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O

3、求曲线y=3x_4x+2在点M(2,6)处的切线方程.

五、课堂作业

1、求下列函数的导数：

020

(1)y=5x-4x+1(2)y=-5x+3N7(3)y=7x+13x-10

QQO

(4)y=3+x-3x(5)y=2x-3x+5x-4(6)f(x)=(2+x)(3-x)

(7)f(X)=3x4-23x3+40x-10(8)f(对(x2).x

(9)()=(23_1)(32+)=+2_

fxxxx(10)y3(2x1)4x

2、求曲线y=2x-x°在x=-1处的切线的斜率。

3、求抛物线y=」*"在*=2处及*=_2处的切线的方程。

4

32

4、求曲线y=x_3X+1在点P(2,-3)处的切线的方程。

函数的单调性与极值(5月10日)

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设X1<x2的前提下，比较f(Xl)<f(X2)与的大

小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函

数的单调性就比较简单.

二新课讲授

1函数单调性

O

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x—4次3

的图像可以看到：在区间(2,+8)内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大

而增大，即y/>0时，函数y=f(x)在区间(2,+o0)内为增函数；在区间(…W内，

切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y/<。时，函数y=f(x)在区间

(-8,2)内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内V,>0,那么函数y=f(x)

在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内y/<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的

减函数。

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例1确定函数y=x?一2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

+7的单调区间。

2极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们

说*0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说

f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在x=xo及其附近有定义，如果f(X。)的值比x0附近所有各点的函

数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如果f(X。)的值比x0附近所有各点的

函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注

意以下几点：

(i)极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比

较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

(ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以

不止一个。

(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，

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(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取

得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有

f(x)右。但反过来不一定。如函数y=x3,在x旬处，曲线的切线是水平的，但这点

的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设Xo使

f(X。)=0,那么x0在什么情况下是的极值点呢？

此，X。的左侧附近f(x)只能是增函数，即Xo的右侧附近f(x)只能是减函数，

即f(x)0,同理，如上右图所示，若Xo是极小值点，则在Xo的左侧附近f(x)只能是减

函数，即f('x)<0,在Xo的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)>0,从而我们得出结论：

若Xo满足f(Xo)=0,且在Xo的两侧f(X)的导数异号，则x0是f(X)的极值点，f(Xo)是

极值，并且如果f'(X)在Xo两侧满足“左正右负”，则Xo是f(X)的极大值点，f(Xo)是极

大值；如果f(’X)在X0两侧满足“左负右正”，则Xo是f(X)的极小值点，f(Xo)是极小值。

3

例3求函数y=lx-4x4的极值。

3

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三小结

1求极值常按如下步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程y/=o的根，这些根也称为可能极值点；

④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。（最好通过列表法）

四巩固练习

1确定下列函数的单调区间：

⑴=22_5+7=-3

yxx(2)y3xx

2求下列函数的极值

22

(1)y=x一7x+6(2)y=-2x+5x

(3)y=x_27x(4)y=3x2_x3

五课堂作业

1确定下列函数的单调区间：

2

（1）y=-4x+2(2)y=(x-1)

oy=x3_x2_x

(3)y=-x-2x■g(4)

2求下列函数的极值

22

(1)y=x_4x+10(2)y=_2x+4x_7

■3

(3)y=x+3x-1(4)y=6+12x-x

(5)y=4x-3x-6x(6)y=2x2-x4

函数的极限（4月29日）

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教学目标：1、使学生掌握当xTX。时函数的极限；

2、了解：limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)息

X—>0X—>O+Xf-

教学重点：掌握当XTXo时函数的极限

教学难点：对“XHXo时，当XTXo时函数的极限的概念”的理解。

教学过程：

一、复习：

(1)limqn=qJ;(2)lim工=,(kwN)•

x-^3Cx

2

(3)limx=?

xf

二、新课

就问题(3)展开讨论：函数y=x2当X无限趋近于2时的变化趋势

当x从左侧趋近于2时(—N)

X1.11.31.51.71.91.991.9991.9999T2

T

y=x1.21

当x从右侧趋近于2时(XT2力

X2.92.72.52.32.12.012.0012.0001T2

2T

y=x8.41.7.29

发现limx2=

我们再继续看y=——>；

X―1/。1-7^----------------------------

当x无限趋近于1(x4)时的变化趋势：/

函数的极限有概念：当自变量x无限趋近于x0(xwXo)时，如果函数y=f(x)无限

趋近于一个常数A,就说当X趋向Xo时，函数y=f(X)的极限是A,记作limf(x)=A。

特别地，limC=C；limx=XQ

三、例题

求下列函数在x=o处的极限

(2x,x>0

(1)lim<3)f(x)0,x=<

x-^2;

I1+x2,x<0

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四、小结：函数极限存在的条件：如何求函数的极限。

五、练习及作业：2x11

、对于函数y=+填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于时的变化趋势,

说出当xT1时函数V=2X+1的极限

T

X0.10.90.990.9990.99990.999991

T

y=2X+1

T

X1.51.11.011.0011.00011.000011

y=2X+1T

2yx13

、对于函数=2-填写下表，并画出函数的图象，观察当X无限趋近于时的变化趋势,

说出当xT3时函数y=x2-1的极限

X2.92.992.9992.99992.999992.999999T3

y=X2-1T

X