北师大八年级下第四单元《因式分解》第一讲

书之屋教育因式分解公因式1知识点梳理（1）定义：把一个多项式化几个整式的积的形式，这变形叫做把这个多式因式分，也叫作分解因。具体方法1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的。4）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-号时，多项式的各项都要变号。例如：

ambm

；基本步骤1找出公因式；2提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。例1把

2axayby

bx

分解因式．例2把

(c

2

2

)a

2

2

)

分解因式．[例练习（1）公因式1.多项式

8my

n

xy

n

的公因式是（）3.单项式

y3x6与

的公因式是（）4.多项式

2

2

3

中各项的公因式是（）5.

xy

的公因式是（）1

书之屋教育（2）提公因式法1.用提取公因式法解因式正确的是（）A.

12

2

b

2

B.

3x2y

yx2C.

2

D.

x

2

yxy

yx

2

x

2.下列多项式,用提公因式法分解因式的是)A.

2

B.

x

x

C.

2

2

D.

x

2

23.如果

b

，那么bab

2

的值是()A.42

B.-42C.13D.-134.将下面各式进行式分解（1

a

（2

xx（3

b

a

b

（4

a

2

b

2

ab（5

x

（6

a

（7

a

b

（8

a)

()(

（9

（

82a2babn33

2

书之屋教育5.已知

2x

18

，xy22x4y

3

3y

4

的值.6.已知

xy

，求

x

yx

y

的值.2公式法定义：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式。平方差公

a

2

2

；完全平方式：

2

ab

；注意：能运用完全方公式分解因式的多项式必须是三项式，的平方和的形式，另一项是这两个数(或)的积的2倍。完全平方式变形：

其中有两项能写成两个数(或)()a2ab

2a22ab)2ab()

2

()

2

ab(

2

)]

2

()

2(2)]2三项式的全平方公式：

2()

2

2

2

2

abbc例1把下列式子分解因式：（1

36

2

2

；（2

x

2

2

.3

书之屋教育例2把下列式子分解因式：（1

xy

；（2

3

.[例练习](1)

a

；

（

(a)

a)

；（3

16x

2

；

（4

x

x(x

.（5

x

ax

（6

y2（7

m

（

3

ay

（9

()

2

2(p)

（

(x

4

x

2

（11

)

)

（12）

799

4

书之屋教育2.已知

x

y，xy，求x

3

yx

2

y

2

3

的值.3配方法：例1分解因式

x

2

4十字相乘法：（1）

x

)xpq

型的因式解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和．x

2

p)xx

2

pxqxpq(xp)()xp)(x)因此，

x

2

)xpq)运用这个公式，可以把某些二次项系数为二次三项式分解因式．例1把下列各式因式分解：(1)

x

2

x

(2)

x

2

x例2把下列各式因式分解：(1)

x

2

(2)

x

2

例3把下列各式因式分解：(1)

x

xy

(2)

x22x5

书之屋教育（2）一般二次三项式

ax

2

型的因式解大家知道，

(1

ax)aacc)c1222222

．反过来，就得到：

aa2ac)xcxax)12212我们发现，二次项系数

分解成a2

，常数项

c

分解成

c2

，把

a,,c,c2

写成

aca

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到

acc1

，如果它正好等于

ax

2

的一次项系数

，那么2

就可以分解成

(x)()12

，其中

c1

位于上一行，

a

,

位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例4把下列各式因式分解：(1)

12x

(2)

5xxyy

[例练习(1)

x

2

(2)

x

2

(3)

x2（4

x

（5）

x

（6

y)y)27

（7

(

y)

y)6

书之屋教育5分组分解法分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如

a

2

2

没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：a这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式[例练习

，（1

2

xy

（2

2a

（3

a

abb2a

（4）

xy

（5

ax因式分解一般步骤可归纳为一“提“套“分“查(1)一提看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来(2