门爱东的数字信号处理教案4

第四章IIR数字滤波器的设计4.1引言4.2模拟滤波特性的逼近4.3模拟系统的数字仿真4.4脉冲响应不变法4.5双线性变换法4.6数字滤波器的变换4.7IIR滤波器的优化设计4.1引言 一个数字滤波器的设计过程，大致可归纳为3个步骤。 (1)按照实际需要确定滤波器的性能要求。(2)用一个因果稳定的系统函数去逼近这个性能要求，这种系统函数可以分为两类，即IIR系统函数与FIR系统函数。(3)用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。这里包括选择运算结构，如级联型、并联型、直接型、正准型和频率采样型等，还包括合适的字长和有效数字处理的方法等。2.IIR数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为这种设计一般有3种方法。(1)简单滤波器的零极点位置累试法。(2)用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器。(3)用优化技术设计参数。 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，即从已知的模拟滤波器系统函数Ha(S)求数字滤波器的系统函数H(z)。其常用的方法有脉冲响应不变法和双线性变换法两种，但无论哪种方法都遵循数字仿真原则。4.2模拟滤波特性的逼近 其频带按作用不同分为以下3部分，如图4-1所示： 通带——滤波器中能使信号通过的频带； 阻带——抑制噪声通过的频带； 过渡带——从通带到阻带的过渡频率范围。图4-1模拟滤波器的幅频特性按划分的标准不同，滤波器分为很多种类。按处理信号的种类分为模拟滤波器(其输入输出皆为模拟量)和数字滤波器(其输入输出皆为数字量)；按其应用不同分为有源滤波器和无源滤波器；按其通频带划分为低通滤波器(只允许低频信号通过而抑制高频信号)、高通滤波器(只允许高频信号通过而抑制低频信号)、带通滤波器(只允许某一频带的信号通过)和带阻滤波器(只抑制某一频带的信号)。2.巴特沃思(Butterworth)滤波特性的逼近(1)Butterworth滤波器特性 Butterworth滤波器的特点是具有通带内最大平坦的振幅特性，而且在正频率范围内是随频率升高而单调下降的，它的振幅平方函数为(2)Butterworth图表设计法 其设计步骤概括起来有以下几个方面：(3)巴特沃斯低通滤波器的Matlab实现

在Matlab中可以用[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)求出给定通带截止频率wp、阻带起始频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最大衰减Rs条件下，所需要的最小Butterworth模拟滤波器阶数和3dB频率。 Buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、带通、阻带滤波器的设计。对于带通和带阻滤波器，Wp和Ws说明了滤波器的两个边缘频率，其中第一个元素是低端的频率。3.切比雪夫(Chebyshev) 滤波特性的逼近(1)Chebyshev滤波器特性 Chebyshev滤波器频率特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调下降的，它比同阶的Butterworth滤波器下降快，如图4-5所示，而在通带内则是等波纹的，通带内波动的峰值个数与阶数N有关，N越大，波动越快图4-5Chebyshev滤波器频率特性图 Chebyshev滤波器的幅度平方函数为 式中N是滤波器的阶数，Ωc是通带宽度，当ε=1时，它等于通带的3dB截止频率，如图4.5所示。(2)Chebyshev滤波器特性的极点 对于N阶Chebyshev滤波器，其幅度｜Ha(Ω)｜2平方函数在s平面上有2N个极点，这2N个极点都是成复共轭对出现的，且关于虚轴对称，没有点落在虚轴上。极点可由作图法确定，即(1)以aΩc为半径画圆，将其圆周等分为2N个点；(2)以bΩc为半径画圆，将其圆周等分为2N个点；(3)每个极点的纵坐标由大圆的相应点的纵坐标确定，每个极点的横坐标由小圆的对应点的横坐标确定。(3)Chebyshev滤波器的设计方法 如同Butterworth滤波器，Chebyshev滤波器也可以采用查表法进行设计，其步骤如下。 (1)频率归一化，求λp，λs。 (2)根据αp，αs查归一化频率——幅度特性曲线，确定滤波器的阶数N。(4)Chebyshev滤波器的Matlab

实现 在Matlab

中可以用[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出给定通带截止频率wp、阻带起始频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最大衰减Rs

条件下，所需要的最小Chebyshev

I

模拟滤波器阶数。在数字滤波器中，wp和ws

在0~1之间，而在模拟滤波器中，wp和ws可以大于1。Cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、带通、阻带滤波器的设计。对于带通和带阻滤波器，Wp

和Ws

是一个两元素的是量，说明了滤波器的两个边缘频率，第一个元素是低端的频率。

而用Matlab

函数[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)求得n

阶低通Chebyshev

I

原型模拟滤波器的零点、极点和增益，通带内的波动为Rp

dB。极点p

和增益k

是长度为n

行的矢量，而零点z

是空矩阵。其传输函数为：4.Cauer滤波器特性 Cauer滤波器又称椭圆滤波器，它的特点是在通带和阻带内都有等波纹的振幅特性。它之所以被称为椭圆滤波器，是因为其振幅特性是由雅可比椭圆函数来决定的，其振幅平方函数为 式中，JN(Ω)是雅可比椭圆函数，N为滤波器的阶数。在Matlab

中可以用[n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出给定通带截止频率wp、阻带起始频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最大衰减Rs

条件下，所需要的最小椭圆模拟滤波器阶数。4.3模拟系统的数字仿真 如图4-1所示，h(t)表示模拟系统La的冲激响应，而h(n)表示数字系统Ld的冲激响应。若h(n)等于Tha(t)的取样，即h(n)=Tha(nT)

当T足够小时，Ld将是La的数字仿真，即y(n)=yT(nT)(1)输入为单频指数信号 设x(t)=ejΩt，若模拟系统La的系统函数为Ha(S)，未知的Ld的系统函数为H(z)，则模拟系统的输出为y(t)=Ha(Ω)ejΩ

t数字系统的输出y(n)y(n)=H(ejΩT)ejnΩT(2)输入为任意信号 为了建立具有普遍意义的仿真条件，需要在频域内建立Ha(Ω)和H(ejΩT)的关系，用冲激响应ha(t)和h(n)表示这些函数。4.4脉冲响应不变法 在此所讲的设计方法，是在给定了模拟滤波器的系统函数Ha(S)的情况下，求数字滤波器的系统函数H(z)的方法。2.z平面与s平面的映射关系 由式(4-28)可以看到，s平面与z平面的变换关系为 如果仅考虑极点的话，则这种映射关系变为式中应用了z和s的表达式z=rejω和s=σ+jΩ。3.Matlab实现 由以上的讨论，可以将脉冲响应不变法的特点归结成3点，如下所述。 (1)保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，这是脉冲响应不变法的一大优点。 (2)当模拟滤波器的频率响应不是严格限带时，则用脉冲响应不变法设计出来的数字滤波器有频域的混迭失真，这是脉冲响应不变法的缺点。(3)由于(2)而使得这种设计方法的使用受到限制，即当Ha(Ω)不严格限带或时域内变化不太平稳，而设计性能要求又较高时，不宜使用这种方法。4.5双线性变换法 由式(4-25)可以知道，一般模拟滤波器的基本单元都是积分器1/s，如图4-15所示的式(4-25)的框图。图4-15由积分器基本单元组成的模拟网络框图2.s平面与z平面的映射关系 把s=σ+jΩ代入式(4-21)，且令z=rejω，则得到3.Matlab实现 由以上的讨论总结双线性变换法的特点如下所述。 (1)模拟滤波器通过双线性变换后，不存在幅度频率特性混迭失真。 (2)由于(1)而对模拟滤波器的系统函数Ha(Ω)要求放宽，故适用范围广。(3)模拟滤波器通过双线性变换后出现相位频率特性失真，所以对滤波器的相位特性有较严格要求时，不宜采用这种方法。4.6数字滤波器的变换 如果用双线性变换将模拟系统函数变换成数字系统函数，对于如图4-20所示的低通、高通、带通和带阻型选频滤波器来说，它可以用一种和双线性变换非常相似的有理变换从低通数字滤波器变换出来。图4-20理想的滤波器特性 所以要求 (1)G(Z-1)必须是Z-1(或Z)的有理函数； (2)z平面单位圆内部必须映射成Z平面单位圆内部。2.Matlab的实现4.7IIR滤波器的优化设计假定IIR滤波器的z变换式可以写成级联式 令该滤波器所要求的频率响应为Hd(ejw)，在一离散的频率集{ωi，I=1,2,……,M)(不必是均匀间隔)上滤波器的实际频率响应H(ejw)与所要求的频率响应Hd(ejw)之间的均方误差E定义为 一般地说，求误差函数E(θ)的最小值．可以将E(θ)对每个参数作一次微分，并令其导数为零，即 Fletcher－powell法是一种有效的非线性优化算法，使用了最优化计算程序计算误差函数 对参数φ的梯度和斜率，用做处理误差最小化的准则。(1)利用优化程序在不约束极点和零点位置的情况下使 极小。(2)将单位圆外部的所有极点或零点作镜象替代，继续优化，直到达到一个新的极小值为止。p误差设计法 最小p误差设计是指p次幂的误差的加权平均的最小化，因此离散逼近的幅频响应最小化误差表示式