高中数学选修4知识点

高中数学

选修知识点、不式基性①（对称性）②（传递性）③（可加性）

ba,（同可性）abcd（异可性）bdbd④（可积性）a

b

c

0ac

bc0bc⑤（同正可乘性）

b0,cacbd（异正可除性）

a

ad⑥（平方法则）ann⑦（开方法则）

a

a

b(N且n⑧（倒数法则）

a

11;0ab、几重不式①

2

时"号

变形公式：

2

2

.②（本等）

a2

ab

仅a时取到号.变形公式：

ab2用基本不等式求最值积和小定积最大意足三个条“正、定三等.③（个数算—何平不式时取到等号）.22ab④（当且仅当时取到等号.abcbc⑤（当且仅当时取到等号.

a3

3(a、b、c

（当且仅当⑥

若b则

ba

（当仅当时等号）第页共1页

222222b若b0,则a

（当仅当a=b时取等号）⑦

bbaaab

中

，，n0)规律：小于1同则变大，大于1同则变.⑧

当a

x;x2.⑨绝对值三角不等式、几著不式

ba.①平均不等式：

a2

仅当

a

时取

"号）.（调平

几平

算平

平平）变形公式：ab

a2

a2

(a)

2

.②幂平均不等式：a21

1n

(a)12③二维形式的三角不等式：1

2

y1

2

2

2

2

2

x1

2

y)1

2

(xy,R).1④二维形式的柯西不等式：(

2

)(c

2

ac)2(,c,dR).

当且仅当

bc

时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：(21

2

2

3

2

)(1

2

2

3

2

)bb)11

2

.⑥一般形式的柯西不等式：(a1

2

2

n

2

)(b21

2

2

n

2

)

ab)12n⑦向量形式的柯西不等式：设两向量

当且仅当是向量在数k

时，等号成.⑧排序不等式（排序原理设

,b1n

为两组实数

c,c1

是

,b,...,b1n

的任一排列，第页共2页

2222则

1n2n

bccb.n12n11nn

（反和序和

顺和且仅当

a1

或

12

时，反序和等于顺序.⑨琴生不等:（特例凸数、凹函数）若定义在某区间上的函数

f(x

,对于定义域中任意两点

x,x(),

有f(

x(xfx))或22

f

x(xfx))22

.

则称f(x)为凸（或凹）函数.、不式明几常方常用方法有：比法作，商综法、分法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法数归法.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如

1(a)2

2

3)42

2

;②将分子或分母放大（缩小如

1121k(kk(k2kkk

,2kk

(*k

等、一二不式解不求一元二次不等式

2bx0((ac

解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的.四画：画出对应函数的图.五解集：根据图象写出不等式的解.规：二项数正，于中，于两.、高不式解：根.分解因式把根标在数轴上右上方依次往下奇穿切原式不等号的方向，写出不等式的解.、分不式解：移通标化则f)x)f)x)

f)x)()x)()

理）第页共3页

规：分不式价化整不式解.、无不式解：化有不式解⑴⑵

f(x(a0)f(x(

f(x)f()f)f)

⑶⑷⑸

(f()g(x)f(xg(x2f(f((f()(x)]()f()x(xfx)g(x)

f()(x)规：无不式价化有不式诀在从小的一分求.、指不式解：⑴当

时

f(x)

g()

x)g)⑵当

时,

f(x)

g()

x))规：据数数性转.10、数等的法⑴当

时

)f(xlogg(x)()af()g()⑵当

)时,logfx)logg(x)x)aafx)

.规：据数数性转.11、绝值等的法第页共4页

⑴定义法：

(a(a0)

.⑵平方法：

f(x)g()f

2

()

2

().⑶同解变形法，其同解定理有：①②③④

x或xf(x)(x)x)f(x)()(g(x)f(x)()f()g()或f()(x)(x)规：键去绝值符.12、有个或个上绝值不式的法规：零、区、段论绝值每段中取交集，最后取各段的并.13、参的等的法解形如

ax

2

且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论⑵讨论

与0的小；与0的小；⑶讨论两根的大小.14、成问⑴不等式

ax

2

的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a时bc②当

时

⑵不等式

ax

2

的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a时c②当

时

⑶

f(x)恒成立f(x)

;第页共5页

f(x)

恒成立

f(x)

;⑷

f(x)

恒成立

f()

min

;f(x)恒立f(x)

min

15、性划题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法：点域：由于直线

By

的同一侧的所有点的坐标代入

By

后所得的实数的符号相同所以，在实际判断时，往只需在直线某一侧任取一特殊点

(xy)0

（如原点由

00

的正负即可判断出

By(

或

表示直线哪一侧的平面区域即直定界分虚；点区，选点.法：据

By(0)，观察的号与不等式开口的符号，若同号，By(

或

表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区即同上，号方⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部.⑶利用线性规划求目标函数法：点：

AxBy(B

为常数）的最值：如果目标函数

zBy

（

xy

即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得这些角点的坐标代入目标函数到组对应

值，最大的那个数为目标函数

的最大值，最小的那个数为目标函数

的最小值法：—移————求：第一步在面直角坐标系中画出可行域二步作直线

l:AxBy0

平直线l0

（据可行域，将直线

l0

平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解

(,y

；第四步，将最优解

(,y

代入目标函数

zBy

即可求出最大值或最小值.第二步最解确方：利用

的几何意义：

y

zzx,为线的纵截.第页共6页

①

则目函

zBy

所示线纵距大角处

取最值使线纵距小角处

取最值②