相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总

相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么动点函数型----横竖型问题动点函数型----斜线型问题动点几何型----二次相似问题动点几何形----A-A问题

知识点梳理本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．

典型例题分析1、动点横竖型问题在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像经过点、．（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与相似，试求点E的坐标．．．A．C．Oxy1【答案：（1）∵过点、∴∴∵当时，∴点在该二次函数的图像上；．A．C．Oxy．A．C．Oxy1DBEE∵点E在对称轴上，且对称轴平行y轴∴又，，，易得∴，从而若以点C、D、E为顶点的三角形与相似则有以下两种情况：ⅰ）当时，即，解得：∴点E的坐标为ⅱ）当时，即，解得：∴点E的坐标为综上点E的坐标为或.】如图，已知在中，，，经过这个三角形重心的直线，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作，，，垂足分别为点M、F、G，设，四边形AFPG的面积为y．（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；MPABCDEFG（3）联结MF、MPABCDEFG【答案：解：（1）过点A作，垂足为点H，交DE于点Q．∵，，∴．又∵，∴，Q是的重心．∴．∵，，，∴．（2）延长FP，交BC于点N．∵，，∴．于是，由，得．又由，得，．∴，．∴，．∵，，，∴．∴四边形AFPG是矩形．∴，即所求函数解析式为．定义域为．（3）∵四边形AFPG是矩形，∴．由，可知，当与相似时，有两种情况：或．（ⅰ）如果，那么．即得．∴．解得．即得．（ⅱ）如果，那么．即得．∴．解得，．即得或．∴当与相似时，BM的长等于或或．】

动点斜线型问题已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，该函数图像的对称轴与直线、分别交于点和点．求这个二次函数的解析式和它的对称轴；求证：；如果点在直线上，且与相似，求点的坐标．yyxOAB11-1-1【答案：（1）解：由题意，得解得∴所求二次函数的解析式为．对称轴为直线．（2）证明：由直线OA的表达式，得点C的坐标为．∵，，∴．又∵，，∴．∴．（3）解：由直线OB的表达式，得点D的坐标为．由直线AB的表达式，得直线与x轴的交点E的坐标为．∵与相似，∴或．（i）当时，由，得．∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．∴点P的坐标为．（ii）当时，由，得．而，，，∴．又∵，∴．作轴，垂足为点H，轴，垂足为点F．∵，∴．而，，∴，．∴．∴点P的坐标为．综上所述，点P的坐标为或．】动点几何型—二次相似问题如图，在中，，是斜边上的中线，，，点是延长线上的一动点，过点作，交延长线于点，设．（1）求关于的函数关系式及定义域；（2）联结，当平分时，求的长；（3）过点作交于，当和相似时，求的值． AABCEPQ（备用图）ABCE（备用图）ABCE【答案：（1）在中，，∵，∴，∵是斜边上的中线，∴∴，∵∴，∴，即∴，定义域为．（2）过点作，垂足为．∵平分，，垂足为．∴∵∴∴（3）∵，∴当和相似时，可得和也相似．分两种情况：1)当时，在E中，，，∴，解得；2)当时，在中，，，∴，解得；综合或．】动点几何型—A-A问题如图，已知等边的边长为6，点D是边上的一个动点，折叠，使得点恰好与边上的点D合，折痕为（点、分别在边AB、AC上）．（1）当时，求的长：（2）当时，求的值；（3）当以、、为顶点的三角形与相似时，求的长．EEDBFCA BBCA备用图 【答案：（1）∵是等边三角形，∴，.由题意可知，∴，，.ABCDABCDEF∵，∴.又∵，∴.∵，∴.方法①∵，∴.设，则由知，，，，.设，则.∴.即整理，得解得，即.方法②∵，∴（相似三角形的周长的比等于相似比）.∴.ABCDEFMABCDEFMN∴.解得：.方法③过点E作，过点D作设，，依题意易得，，，.在中，，在中，，易证，.进而可得，整理，得………（1）在中，依据勾股定理可得………（2）整理（2），并将（1）代入（2），可得.解得（不合题意，舍去）ABCDEFHABCDEFHDEH（2）当时，如图..过点作，垂足为.，.在中，，在中，，在中，.∴.（3）分两种情况讨论：①当以、、为顶点的三角形与相似，顶点、、分别与、、对应时，可得.∴.∴，.易得、、、是四个边长相等的等边三角形.∴.②当以、、为顶点的三角形与相似，顶点、、分别与、、对应时，可得.又，，∴.易得、、、四个边长相等的等边三角形.∴.综上所述，当以、、为顶点的三角形与相似时，.】

课后练习在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为，与y轴交于点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；（2）联结AC、BC，求的正切值；（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当与相似时，求点P坐标．【答案：（1）抛物线过点，∴∴∴∴顶点D的坐标为（2）∵抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左侧）∴又∵，，∴∵∴过点A作，垂足为H，∴∵∴∴∴（3）∵抛物线的对称轴为直线点P是抛物线对称轴上一点，∴可设点P的坐标为把对称轴直线与x轴的交点记为E，则点E的坐标为∵，∴∵∴∴∴当与相似时，点P在点D的上方，并存在以下两种情况：1)∴∴∴2)∴∴∴综上所述，当与相似时，点或．】如图，二次函数的图像经过点.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段上是否存在点（不含、两点），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案：（1）由题意得：，解得：.∴此函数解析式为.（2）.∴顶点为.（3）假设存在点，使与相似，则或.当时，.（不合题意，舍去）当时，.由题意易得直线的解析式为：，设，其中，则.解得：（舍去）.∴.】如图，已知梯形ABCD中，，，，，．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经过BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．（1）当时，求BP的长度；（2）当点E落在线段CD上时，设，，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；（3）联结PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，试求BP的长度．ADADBD（备用图）DABCEP【答案：（1）根据已知，得，∵∴∴（方法一）∵∴∵∴即时，（方法二）∴∴∴即时，（2）延长PE与AD的延长线交于点F，∵∴，∵∴∵∴即∴∵点E在线段CD上∴函数定义域为<8（3）∵∴，∵∴若与，则有如下两种情况：（ⅰ）时，推出时，；（ⅱ）时（法一）又∵∴∴∵∴解得，经检验，均符合题意故时，；∴当BP为2，时，与相似．（法二）过点D作于点H∵∴∵∴∴∵∴解得经检验，均符合题意故时，；∴当BP为2，时，与相似．】

课后小测验如图，抛物线与x轴相交于A、B，与轴相交于点C，过点C