人教版中考数学一轮复习数学基础讲练：第5讲 一次方程组

第5讲一次方程(组)考标要求考查角度1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.一元一次方程在中考试题中体现的不突出，仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.知识梳理一、等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．二、一元一次方程1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))(a1，a2，b1，b2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．五、列方程(组)解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)．解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意．答：写出答案(包括单位)．六、常见的几种方程类型及等量关系1．行程问题中的基本量之间的关系路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝eq\f(工作总量,工作时间).(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．(2)通常把工作总量看作“1”自主测试1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－\f(1,2)))B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))2．(2022重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为()A．2B．3C．4D3．(2022山东临沂)关于x，y的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＝m，,x＋my＝n))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))则|m－n|的值是()A．5B．3C．2D4．(2022甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为()A．x(x－10)＝200B．2x＋2(x－10)＝200C．2x＋2(x＋10)＝200D．x(x＋5．(2022广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))6．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元，其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？考点一、一元一次方程的解法【例1】解方程：eq\f(2x＋1,3)－eq\f(10x＋1,6)＝1.解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，去括号，得4x＋2－10x－1＝6，移项，得4x－10x＝6－2＋1，合并同类项，得－6x＝5，系数化为1，得x＝－eq\f(5,6).方法总结解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．考点二、二元一次方程组的有关概念【例2】已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解，则2m－n的算术平方根为()A．4B．2C．eq\r(2)D．±2解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝8，,2n－m＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2.))∴eq\r(2m－n)＝eq\r(2×3－2)＝eq\r(4)＝2.答案：B方法总结方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．触类旁通1已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\r(3)))是关于x，y的二元一次方程eq\r(3)x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法【例3】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＝5，,5x＋2y＝23.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))解：方法一：用加减消元法解方程组．①×2得6x－2y＝10，③②＋③得11x＝33，解得x＝3.把x＝3代入①得9－y＝5，解得y＝4.所以原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))方法二：用代入消元法解方程组．由①得y＝3x－5，③把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，即11x＝33，解得x＝3.把x＝3代入③得y＝4.所以原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))方法总结解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．触类旁通2解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3y＝11，①,2x＋y＝13.②))考点四、列方程(组)解决实际问题【例4】(2022湖南株洲)在学校组织的游艺晚会上，掷飞镖游艺区游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点)．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：(1)求掷中A区、B区一次各得多少分；(2)依此方法计算小明的得分为多少分．分析：(1)观察图形，可知题中相等关系是：小华A区得分＋小华B区得分＝77分，小芳A区得分＋小芳B区得分＝75分，由此列方程组，即可求出掷中A区、B区一次各得多少分；(2)分别算出小明A区得分，B区得分可得小明总得分．解：(1)设掷中A区和B区一次分别得x分，y分．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y＝77，,3x＋5y＝75，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝9.))答：掷中A区、B区一次分别得10分、9分．(2)由(1)可知：4x＋4y＝4×10＋4×9＝76.答：小明的得分为76分．方法总结对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．1．(2022湖南郴州)一元一次方程3x－6＝0的解是__________．2．(2022湖南怀化)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝－5，,7x－2y＝13))的解是__________．3．(2022湖南常德)解方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，①,2x－y＝1.②))4．(2022湖南长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．5．(2022湖南娄底)体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.篮球排球进价(元/个)8050售价(元/个)9560(1)购进篮球和排球各多少个？(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？1．已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是()A．－5B．5C．7D2．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,2x＋y＝4))的解是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2))D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30，,12x＋16y＝400)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30，,16x＋12y＝400))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16x＋12y＝30，,x＋y＝400)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16x＋12y＝30，,x＋y＝400))4．若关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5k，,x－y＝9k))的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为()A．－eq\f(3,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)5．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________．6．方程|4x－8|＋eq\r(x－y－m)＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．7．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝7，,ax－by＝1))的解，则a－b的值为__________．8．若关于x，y的二元一次方程组2x＋y＝3k－1，x＋2y＝－2的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是__________．9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案【知识梳理】二、1.一个1整式ax＋b＝0(a≠0)－eq\f(b,a)2．(2)去括号(4)合并同类项三、1.(1)两个1(3)相等2．(1)两个(3)公共解四、消元代入加减导学必备知识自主测试1．B把A项代入方程左边＝0－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝右边，把B项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．2．D∵方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，∴2×2＋a－9＝0，解得a＝5.故选D.3．D把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))代入原方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－1＝m，,1＋m＝n，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3，))则|m－n|＝1.4．D设宽为x米，则长为(x＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x(x＋10)＝200.\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝3))(答案不唯一)6．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x，y亩，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,1200x＋1500y＝13800，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6.))答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．探究考点方法触类旁通1.解：把x＝2，y＝eq\r(3)代入方程得2eq\r(3)＝eq\r(3)＋a，解得a＝eq\r(3).∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝a2＋6＝(eq\r(3))2＋6＝9.触类旁通2.解：②×2得4x＋2y＝26，③③－①得5y＝15，解得y＝3，把y＝3代入②得2x＋3＝13，解得x＝5.所以原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))品鉴经典考题1．x＝2移项，得3x＝6，系数化为1，得x＝2.\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3))两方程相加得8x＝8，x＝1，把x＝1代入第一个方程，得y＝－3.3．解：①＋②得，3x＝6，x＝2，把x＝2代入①得，y＝3.∴原方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))4．解：(1)解法一：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，则湖南省签订的省外境内的投资合作项目有(348－x)个，由题意得2x－(348－x)＝51，解得x＝133，∴348－x＝348－133＝215.答：湖南省签订的境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．解法二：设湖南省签订的境外投资合作项目有x个，省外境内的投资合作项目有y个，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝348，,2x－y＝51，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝133，,y＝215.))答：湖南省签订的境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．(2)133×6＋215×＝798＋1＝2(亿元)．答：在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2亿元．5．解：(1)设购进篮球x个，排球y个，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,15x＋10y＝260，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝8.))答：购进篮球12个，排球8个．(2)销售6个排球的利润为60元，60÷15＝4(个)，所以与销售4个篮球的利润相等．研习预测试题1．B把x＝3代入方程，得6－a＝1，所以a＝