五年级第23讲因数与倍数教师版

#第23讲因数与倍数1、由不小于30人，不大于50人的学生围成一个圆圈，由某人开始从1连续报数，如果报30和198是同一个人时，请问：这批学生一共多少人？【分析】因为报30和198是同一个人，198-30168,说明学生总人数是168的因数。而总人数是小于30人，不大于50人，又是168的因数，这个数只有42.答：这批学生一共42人.2、有这样一类2009位数，它们不含有数字0,任何相邻两位（按原来的顺序）组成的两位数都有一个因数和20相差1,这样的2009位数共有多少个？【分析】组成的两位数都有一个约数和20差1,即都有一个19或21的约数。于是，两位数中19的倍数有：19,38,57,76,95两位数中21的倍数有：21,42,63,84观察发现这9个数中，十位数字分别包含1〜9这9个数字，个位数字也包含这9个数字。也就是说符合题目要求的数字我们只要确定下其中的一位数字，那么其他的数字也就确定了。例如我们从最后一位数字选起，当最后1位选1时，那么它的前一位只能是2,再前面一位只能是4,然后是8,3,6 所以一共只有9种选法，即一共有9个数符合要求。3、一个自然数，它的最大的因数和次大的因数和是11L这个自然数是（74 ）【分析】Hl是奇数，奇数十偶数二奇数。最大因数与次大因「数是一奇一偶。一个数的最大因数是它本身，而一个数如果有偶因数则它是一个偶数，一个偶数的次大因数应是它本身的1。如2设次大因数为则它本身为2a,由题意知：a+2a=111.求得：2a=744、筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？【分析】60的偶因数有8个，可分成2，4，6，10，12，20，30，60堆。即有8种分法。5、称一个两头（首位和末位）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的因数，这个“两头蛇数”是。（写出所有可能）【分析】去掉两头得到的两位数，它恰好是原数的因数，说明这个两位数是1001的约数。1001的两位因数有：n、13、77、91.所有可能的数有:1111,1131,1771,1911.6、你能在3X3的方格表(如下图)中填入彼此不同的9个自然数(每个格子里只「填一个数),使得每行、每列、两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由)【分析】若能，则填入彼此不同的9个自然数将是2005的彼此不同的9个因数。而2005彼此不同的因数只有1、5、401、2005这4个。所以不能。7、已知三位数240有4个不同的因数，求d的值。【分析】24024X3X5.由因数个数定理可知：d=(4+1)X(1+1)X(1+1)=20TOC\o"1-5"\h\z8、100以内有10个因数的最小自然数是( )，它的所有因数的和是( )。【分析】102X5=1X10,两个质因数要最小，质因数的个数是1或4,不可能是0和9.因此取24X3=48,48的所有因数的和是:(2o+2i+22+23+24)X(3o+3i)=1249、一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的数的因数恰好比自己的因数多3个。那么这个正整数是( )解;这个数有2个因数不是2的倍数，有3个因数不是3的倍数，这个数只有质因数2和3.这个正整数是22X31=12他有约数(2+1)(1+1)=6个他的2倍24有约数(3+1)(1+1)=8个他的3倍36有约数(2+1)(2+1)=9个。10、能被2145整除且恰有2145个因数的数有( )个。【分析】先将2145分解质因数：2145=3X5X11X13,所以能被2145整除的数必定含有3,5,H,13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145,而2145只能分解成3,5,11,13的乘积，矛盾.所以所求的数恰好只有3,5,11,13这4个质因数.对于这样的每一个数，分解质因数后3,5,11,13这4个因子的幂次都恰好是2=3—1,4=5—1,10=11—1,12=13—1的一个排列，所以共有4!=24种。11、一个自然数恰好有18个因数，那么它最多有(9)个因数的个位是3.【分析】一、18=2X3X3=(1+1)义(2+1)义(2+1)这个自然数可能是MXN2XK2的形式。则使其因数个位含3的尽可能多是：M是个位为3的质数、N、K是个位为1的质数。则个位含3的因数个数有：（2+1）义（2+1）=9个。（包含这个自然数本身）二、18=3X6=（2+1）义（5+1）这个自然数可能是M2XN5的形式。则使其因数个位含3的最大可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数，则个位含3的因数个数有5+1=6个。粗略考虑其他情况如：7的3次方尾数为3等，均使得M、N可用的幂次数大大下降，则个位含3的因数个数无法超过2X4、3X3的情况，即不会比9多。综上，一个自然数恰好有18个因数，最多有9个因数个位是3。12、N是1,2,3,...,1995,1996,1997的最小公倍数，请问N等于多少个2与一个奇数的积？【分析】在这些数中1024是2的10次方,含2的次数最多,其它含因数2的数在计算最小公倍数的时候可以约去2,所以N是10个2和某一个奇数的积。13、在下面一列数中,从第二个开始,每个数都比它前面相邻的数大7,数列如下：8,15,22,29,36它们前n-1个数相乘的积末尾0的个数比前n个数相乘积的末尾0的个数少3个，求n的最小值。【分析】由这列数可知：每个数除以7余数为1,因为前n-1个数相乘的积末尾0的个数比前n个数相乘积的末尾0的个数少3个，所以是后一个数必有3个5的因数。第n个数可以写成125a,要使n最小，又要除以7余1,a取6,125X6=750,（750-1）+7=107答：n的最小值是107。）个最简分数。1 2 3 2002中共有）个最简分数。、8,9,10, 2009中，八【分析】这些分数是分子比分母小7,那么如果分子是7的倍数,这个分数就不是最简分数；如果不是7的倍数那它就是最简分数。2002+7=286（个）,不是7的倍数有：2002-286=1716.答：共有1716个最简分数。15、美术老师要在一张长12分米、宽84厘米的纸上裁出同样大小的正方形手工纸若干张,且没有纸剩下,那么每张正方形纸的边长最大是（ ）厘米,一共能裁出（ ）张这样的手工纸？【分析】这个正方形有的边长是120、84的最大公约数：（120,84）=12.120X84+（12X12）=70（张）答：那么每张正方形纸的边长最大是12厘米，一共能裁出70张这样的手工纸.16、如下图所示，某公园有两段路，AB=175m,BC=125m,在这两段路上安路灯，要求A,B,C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装多少盏灯？175m【分析】175和125的最大公约数为25 以25m作为间隔铺设路灯，125=25X7,在AB上有7+1=8盏，125=25X5,BC上有5+1=6盏，其中B处重复一次，需要减去，故结果为13盏.17、将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6,的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为( )，这些“好数”的最大公因数是( )。【分析】例举找规律：1位数只有6,2位数：相加直接得6的，有15、24、33、42、51、60,个位、十位数相加得15的，有：69、78、87、96……把这些数排成数列，可以看到6、15、2.4、33、42……这是个前后两个数相差为9的等差数列(2012-6)+9=222……8因此这个数列的尾项是6+9X222=2004项数(个数)是(2004-6)+9+1=223个。答：不超过2012的“好数”的个数为223,这些“好数”的最大公约数是3。18、自然数b与175的最大公因数记为d。如果176X(b-UXd+l)=5Xd+l,则b=(385 ).【分析】d是175的约数，175=5X5X7,所以d只在取1,5,7,25,35,175中的某一个。由176X(b-UXd+1)=5Xd+l可知：5Xd+1^176,d云35.d可取35,175.如取35,176X(b-HX35+l)=5X35+Lb=385.如d取175,176X(MlX175+1)=5X175+1=876,b不是整数，所以175不合要求。答：b是385,最大公因数是3s.19、三个两两不同的正整数，和为26,则它们两两最大公因数之和的最大值是( )。【分析】126=2*3*3*7我们可以把其中的约数6分解成6=1+2+3,也可以把7分解成7=1+2+4126=21+42+63此时两两的最大公约数之和为21+21+21=63126=18+36+72此时两两的最大公约数之和为18+18+36=72通过比较发现第二种情况的两两最大公约数之和最大，其值为7220、电子钟每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一『次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次响铃又亮灯是几点钟？【分析】由题意可知，既响铃又亮灯的时间是9和60的公倍数。[9,60]=180,中午12点整既响铃又亮灯，说明下一次既响铃又亮灯的时间是再过180分钟。180分二3时。答：下一次既响铃又亮灯是下午3时。21、已知a.b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270.求b与c的最小公倍数。【分析】60=22X3X5,270=2X33X5.b有因数22,c有因数33.若因数5是b和c都有的，则[b,c]=22X33X5=540；若因数5是a的，则[b,c]=22义33二108.答：b与c的最小公倍数可能是540,也可能是108.TOC\o"1-5"\h\z22、一个数分别除以1工，竺，20,所得的商都是自然数，这个数最小是（ ）14 21 49【分析】15,10,20这三个分数分母的最大公约数是7,分子的最小公倍数是60.这个数最14 21 49小是60。723、如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126,那么，它们的和是（23 ）【分析】126=14X9.14+9=2324、两个自然数A,B的最小公倍数等于50,问A+B有多少种可能的数值。【分析】50=2X5X5,A,B的值可能取1,2,5,10,25,50.或A取50,B有1,2,5,10,25,50.6种可能，若A取25,则B有2、10两种取法。共8种可能的数值。25、若两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210.这两个自然数的和是77.则这两个自然数是（35）和（ 42 ）。【分析】设这两个自然数为A,B（A,B）=7,我们可设A=7a,B=7b。则ab=210+7=30,a+b=77+7=11.可得出a=5,b=6..这两个自然数是5X7=35,6X7=4226、两个整数的最小公倍数是1925,这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是16.请写出这两个数。【分析】1925=5X5X7X11由于商的和是16,看约数情况，这里只能是11+5=16所以2个商应该是11和5,所以这两个数应该是5X7X5和5X7X11这样除以最大公约数5X7就剩下5和11.所以这两个数就是5X7X5=175和5X7X11=38527、如下图所示，辗鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A,B开始向另一端挖洞，老鼠对噩鼠说：“你挖好后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是辗鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖（ ）个洞?【分析】由于老鼠是“倒”着挖，挖洞的地点的个位数字不一定是0,或5,需要具体分析，所以把它作为突破口，老鼠挖洞的地点依次为152、147,147同时也是3的倍数，这样，依次往前递减15所得到的数一定既是3的倍数，也是5的倍数，因此一共少挖117-[3,5]+1个洞.【分析】147+（3X5）=9-12,9+1=10（个）；答：所以老鼠可以少挖10个洞.28、夜里下了一场大雪，早上，小明和爸爸一起步测花园里的一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长（ ）米。【分析】54和72的最小公倍数是216,216+72=3,216+54=4,即父3步明4步时脚印重合，也就是他们一共走了7步但只留下6个脚印。216厘米里有6个脚印。此时有60个脚印，那么这条路长是604-6X216=2160厘米。29、若a,b,c是三个互不相