人教版数学必修五第一章解三角形重难点解析

人教版数学必修五

第一章解三角形重难点解析

第一章课文目录

1.1正弦定理和余弦定理

1.2应用举例

1.3实习作业

【重点】

1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三

角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。

4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

【难点】

1、己知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的

综合运用。

3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键

条件。

4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

【要点内容】

•、正弦定理：

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即，_=_"=」二=2R（R为

sinAsinBsinC

△ABC外接圆半径）

1.直角三角形中：sinA=—,sinB=—,sinC=l

B|J，c=-7^—•t

sinAsinBsinC"\

B

b

sinAsinBsinC

2.斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=—sinC=—acsin^=—besinA

222

两边同除以即得：—

2sinAsinBsinC

证明二：（外接圆法）

如图所示，NA=ND

，———=———=CD=27?

sinAsinD

同理=2R,—^=2R

sinBsinC

证明三：（向量法）

过A作单位向量J垂直于就

由AC+CB^AB

两边同乘以单位向量7得j•（就+在）=J•荔

贝什.就+J.在=｝方

j\*\AC\cos90°+1j,CB|cos(90°-C)=JI,IAB\cos(90°-A)

asinC=csinA

sinAsinC

同理，若过C作］垂直于在得：—=—

sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的应用

正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：

1.两角和任意一边，求其它两边和一角；

2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b

和A,用正弦定理求B时的各种情况：

⑴若A为锐角时:

a<bs\nA无解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一锐，一钝）

a>b一解（锐角）

已知边a,b和NA

B1HB2

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

仅有一个解

无解仅有一个解有两个解

a&b无解

⑵若A为直角或钝角时：《一

a>b一解（锐角）

2、余弦定理

余弦定理用语言可以这样叙述,三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与

夹角余弦的乘积的2倍.即：

a2=b~+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2-a~+b~-2abcosC

若用三边表示角，余弦定理可以写为

ba+c<»3

COSA=-------------

2bc

cotC=

余弦定理可解以下两种类型的三角形：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角;

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

注意:

在（0,JI）范围内余弦值和角的——对应性.若cosA>0.则A为锐角；若cosA=0,

则A为直角；若cosAVO,则A为钝角.

3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在AABC中，c3=a'+b;!-2abcosC.若NC=90°,贝！］cosC=0,于是

c2=a2+b2-2ab•0=a"+b2.

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.

另夕卜，81A=史芸工中.当/C=90・时，c?=a'+b，则

2bc

+2bab

COJA.=~'33"""一，

2bc2bcc

这与Rtz^ABC中，ZC=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是

余弦定理的特例.

4、三角形的有关定理：

内角和定理：A+B+C=180°,sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,

CA+BCA+B

cos—=sin-----,sin—=cos------

2222

面积公式：S=—absinC=—bcsinA=—casinB

222

S=pr=1p（p-a）（p一b）（p一c）（其中p=".；.°,r为内切圆半径）

射影定理：a-bcosC+ccosB；b-acosC+ccosA；c-acosB+bcosA

5、求解三角形应用题的一般步骤：

（1）>分析题意，弄清已知和所求；

（2）、根据提意，画出示意图；

（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；

（4）、正确运用正、余弦定理。

【典型例题】

例1已知在A48c中，c=10,4=45°,C=30°,求a,b和5

解：•••c=10,Z=45°,C=30°

二8=180°-（/+。）=105°

,ac酬csinA_lOxsin45°

山-----=-----得=1072

sinAsinCsinC-sin30°

sin5sinC

,csinB10xsinl050“._2。—53

h=--------=-------------——=20sin75c0

sinCsin30°

例2在ZU8C中，b=7J,8=60°,c=l,求a和4c

_..bc.尸csinBlxsin60°1

解：.=sinC=--------=—=-

sin5sinCbgF2

\-b>c,B=60°,；.C<8,C为锐角,:.C=30°,8=90°

a=y/b2+c2—2

例3例BC中,。=行,工=45°,。=2,求6和8,。

5ac.八csinZV6xsin450

解：-----=-----sinC=-------------=-----------------=

sinAsinCa22

vcsinA<a<C=60°或120°

.♦.当C=60°时，6=75°,6=出且指sin75°

sinCsin60°

V6sin150

.•.当C=120°时，B=15°,h=—nB==VJ—i

sinCsin60°

:.b=y/3+\,B=75°,C=60°或b=43-1,B=15°,C=120°

例4已知，〃为6的平分线，求证：AB：BC^AD：DC

分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而6的平分线仍将△4回

分成了两个三角形：丛ABD与ACBD,故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB\AD=

BC\DC,从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，

AR4DBC_DC

故可利用正弦定理将所证继续转化为再根据

sinABDsinABD'sinBDCsinDBC

相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.

证明：在△/班内，利用正弦定理得：

AB_AD即AB_sinADB

sinADBsinABDADsinABD

在△及力内，利用正弦定理得：

BC_DC即BC_sinBDC

sinBDC-sinDBC，55-sinDBC

,:BD是方的平分线.

：.NABg/DBC:.slnABgsinDBC

:/ADB+NBDC=18T

：.sinADB=sin(180°-ABDO=sinBDC

.AB_sinADB_sinBDC_BC

ADsinABDsinDBCCD

.AB_AD

'~BC~~DC

评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的

正弦值相等这特殊关系式的应用.

例5在△ABC中，已知a=JJ,b=J^,B=45°,求A,C及边c.

解：由正弦定哂smA二罕二与空当，因为B=4—

所以有两解A=60°或A=120°

bsinC_V2-sin75°_V6+V2

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,

sin5sin45°2

6sinCV2-sinl5°V6-V2

(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=--------

sin5sin4502

思维点拨：已知两边和其中•边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的

讨论.

例64/BC中，若幽d判断△NBC的形状。

tan5b2

2

叱*imsinJcos5sinABncosBsin/.,..-

解一：由正弦定理：----------=——-—即：-----=-----sin2^1-sin25D

sin8cos/sinAcosAsin8

：.2A=2B或2/=180。-28即：A=B或4+8=90。，△4BC为等腰或直角三角形

aa2+c2-h2

e--uwisinJcos5a22Rlac/

解二：由题设：-----；一=----二=

cossinBb~b~+c~-a'bb'

2bc2R

化简：b2(a2+c2-h2)=a2(b2+c2-a2){a-b2)(a2+b2-c2)=0

.•.。=6或42+62=02.•.△N8C为等腰或直角三角形.

思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手.

例7在AABC中，已知A,B,C成等差数列，b=l,求证：l〈a+c<2.

abcb2J3

解：由正弦定理：一^-=-----=—得a+c=--------(sinA+sinC尸一-(sinA+sinC)=

sin4sin5sinCsin52

npi

-y-[sinA+sin(120°-A)]=2sin(A+30°),因为0°<A<120°,所以30°<A+30°<150°,

故K2sin(A+30°)W2.

法二.VB=60°,b=l,.,.a2+c2-b;;=2accos60<,,/.a^c'-^ac,/.a2+c--ac=l,

(a+c)J+3(a-c)2=4,(a+c)2=4-3(a-c)2.

V0<a-c<l.,.0W3(a-c)2<3,.\4-3(a-c)2<4,

即(a+c)?W4,a+cW2a+c>Ll<a+cW2.

思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段.

例8己知。。的半径为心，在它的内接三角形/8C中，有

27?(sin2-sin2C)={jla-Z>)sinB成立，求△/BC面积S的最大值.

解：山已知条件得

(27?)2(sin2>1-sin25)=2/?sinS(V2o-/>).即有a2-c2=41ab-b2,

71

又cosC=/《M*C=~・

lab24

S」而inc=亚"=出-4R2sinJsinB

244

二一字R2[COS(A+B]-CQS{A-B)]=^y-7?2+cos(4一6)

2

所以当Z=8时，S…粤■心

思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数

的有关性质.

例9在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台

风中心位于城后0(如图)的东偏南6(6=arccos而)方向

300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°的

方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,

并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到

台风的侵袭。

解：(一)如图建立坐标系:以0为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：t(h)台风中心AQ5)的坐标为

—-y/2

x=300x-——20x—/,

102

y=-300x7^V2^+20xV—2

102

此时台风侵袭的区域是(x-x)2+(y-y)2<[r(r)]2,

其中=10t+60,

若在t时，该城市0受到台风的侵袭，则有

(0-x)2+(0-y)2”107+60产，

2

即(300乂木-20乂+/)2+(一300*玉-+20*芋。2<(10/+60),

即『-36/+28840,解得124/424.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)

若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ<10/+60

由余弦定理知=PQ2+PO2-2PQ-POcosAOPQ

山于PO=300,PQ=20t

cos/.OPQ-cos(6-45。)=-

故OQ?=尸。2+2。2—2/>。-pocosNOP。=202d—96007+300/2

因此202，2-9600/+300/2<(10/+60)2

解得124/424

例10如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造

三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可

求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

图1.2-2

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得NBCA=a，

ZACD=p,ZCDB=/,NBDA=5,在△ADC和ABDC中，应用正弦定理得

AC=+—=asin(7+5)

sin[18L+y+创sin(£+7+»

BC=asi"—osiny

sin[18(F-(a+/?+/)]sin(a+/?+/)

计算出AC和BC后，再在△ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=>JAC2+BC2-2ACxBCcosa

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBCA=60°,ZACD=30

ZCDB=45°,ZBDA=60°

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，WAB=20A/6

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些

过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

择最佳的计算方式。

例11AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度

AB的方法。

图1.2-4

分析：求AB长的关键是先求AE,在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,

再测出由C点观察A的仰角，就可以计算H；AE的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪

器测得A的仰角分别是a、£，CD=a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据正

弦定理可得

AC=asin户

sin(a-p)

AB=AE+h

=ACsina+h

=asinasin/7+卜

sin(a-p)

例12如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=54°40',在塔底C处测得A处

的俯角p=50°ro已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD（精确到1m）

图1.2-5

解:在AABC中，ZBCA=90°+/7,ZABC=90°-«，/BAC=a-p,ZBAD=a.根据正

弦定理,

BC=AB

sinQ-⑸sin(90+£)

所以AB=BCsin(90°+yg)=BGbo钟

sin(a-(J)sin(z-0

解RtAABD中，得BD=ABsinZBAD=BCcos^a

sin@_,)

将测量数据代入上式，得

27.3cos50°l'sin5d40'

BD=----------；---------------

sin^44(y-50r)

27.3cos50°lzsin544(y

sin4039r

^177(m)

CD=BD-BC^l77-27.3=150(m)

答:山的高度约为150米.

例13如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D

在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,

求此山的高度CD.

图1.2-6

解酒:AABC中，NA=15°、NC=25°・15°=10°,根据।口弦定理,

BCAB

sin4sirC

ABsxnA5sin15

BC

sinCsin10

Q7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC^BCxtan8°01047(m)

答：山的高度约为1047米

例14如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从

B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达

C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到0.1°，距离精确到0.0Inmile）

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角NABC,即可用余弦定理算出AC

边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角/CAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,

\C=^AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

=A/67.52+54.02-2x67.5x54.0xcosl37"

=113.15

根据正弦定理，

BC=AC

sinZ.CABsinZ/IBC

sinZCAB=8c剪ZJ8C

AC

=54.Osin137°

113.15

-0.3255,

所以ZCAB=19.0°,

75°-NCAB=56.0°

答:此船应该沿北偏东56.1°的方向航行，需要航行113.15nmile

例15在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为沿BE方向前进30m,至点C处测

得顶端A的仰角为2夕，再继续前进10gm至D点，测得顶端A的仰角为46,求夕的大

小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中,

AC=BC=30,

AD=DC=IO5

ZADC=180°-4/9,

.10—=30

sin2^sin(180°-40)

因为sin40=2sin20cos20

cos26>=—，得26=30°

2

/.6=15°,

・•.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角8为15°,建筑物高度为15m

解法二：(设方程来求解)设DE=x,AE=h

在RtAACE中,(10Vi+x)2+h2=302

在RtAADE中,x2+h2=(10百/

两式相减，得x=5VJ,h=15

，在RtAACE中,tan26»=-4—=—

10V3+X3

.•.2。=30°,6=15°

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法三：(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8,山题意，得

NBAC=。，NCAD=26,

AC=BC=30m,AD=CD=10^3m

Y

在RtAACE中，sin2<9=-................①

30

4

在RtAADE中，sin46=-左，------②

10V3

②+①得cos20=——,26=30°.6=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角夕为15°,建筑物高度为15m

例16某巡逻艇在A处发现北偏东45。相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的

方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向

追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解:如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=l4x,AC=9,

ZACB=750+45°=120°

/.(14x)2=92+(lOx)2-2x9x1Oxcos120°

39

，化简得32x?-30x-27=0,即x=—,或x=---(舍去)

216

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

又因为smNBAc/Csin】200qx旦辿

AB21214

NBAC=38-13',或NBAC=141°47'(钝角不合题意,舍去),

.•.38°13'+45。=83-13'

答：巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的

应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

【考题解析】

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.设a/,c分别是A48c的三个内角所对的边，则/=b(b+c)是4=28的

(A)

(A)充分条件(B)充分而不必要条件

(C)必要而充分条件(D)既不充分又不必要条件

4+R

2.在A4BC中，已知tan-----=sinC,给出以下四个论断：

2

①tanJ-cot5=1②0<sin+sin5<V2

③sin2+cos2B-1④cos224-1-cos2B=sin2C

其中正确的是（B）

（A）①③（B）②④（C）①④（D）②③

3.在△45C中，已知A.B、C成等差数列，贝ijtan—+tan—+Jitan—tan—的值为

2222

__________6

4.如果A44G的三个内角的余弦值分别等于A4282G的三个内角的正弦值，则()

A.和A462G都是锐角三角形

B.和入4282G都是钝角三角形

C.A44G是钝角三角形，A4282G是锐角三角形

D.A44G是锐角三角形，A4282c2是钝角三角形

5.己知A、C是锐角AABC的两个内角，月.tanA,tanC是方程x2-JJpx+l-p=O

(pWO,且pGR),的两个实根，贝iJtan(A+C)=______,tanA,tanC的取值范围分别是_____

和,p的取值范围是百；(0,V3)；(0,V3)；[y,1)

6.在△ABC中，已知Z6=±"^,cos8="，AC边上的中线BD=JL求sinA.

36

12

【专家解答】设E为BC的中点，连接DE,则DE//AB,且DE=-AB=W-,

23

设BE=x.在△BDE中可得BD1=BE2+ED2-2BE-EDcosABED,

5=x2+-+2xxx,解得x=l,x=(舍去).

3363

28

故BC=2,从而AC?=AB2+BC2-2ABBCcosB=—,

3

0112721v.o_V30„2_4A/7..V70

H|JAC=-----.又sinB=----，【故-----=".—，sinA=-----•

36sinA<1014

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要考查正弦定理和余弦定理.

【热点透析】

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、

余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧,学生需要掌握的能力：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；

(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等

价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.

★★★突破重难点

［范例1］在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且4ABC的最大

边长为12,最小角的正弦值为工。

3

(1)判断4ABC的形状；

(2)求AABC的面积。

解析(1),/b=acosC,・••由正弦定理，得sinB=sinAcosC,(#)

•「B=;r—(4+C),••sinB=sin(A+C),从而(#)式变为sin(A+C尸sinAcosC,

♦・4♦

・・cosAsinC=0,又A,CG(O,^-)・・COSA=0,A=—,・・ZSABC是直角三角形。

(2)•••△ABC的最大边长为12,由(1)知斜边。=12,又•「△ABC最小角的正弦值

为工，「.RtZXABC的最短直角边为12x1=4,另一条直角边为8J5

33

••SAABC=-x4x8-\/2=16V2

2

【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角

为突破口，判断出AABC的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.

【文】在4ABC中，若tanA：tanB=a2:b2,试判断4ABC的形状.

解析由同角三角函数关系及正弦定理可推得-

•••A、B为三角形的内角，，sinA/),sinB包.

二-----------,r.an2/

8$人anjB

JI

；.2A=2B或2A=TT-2B,，A=B或A+B=—.

2

所以4ABC为等腰三角形或直角三角形.

【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边

之间关系或角之间关系式，从而得到诸如矛+卜=-T+bAcY锐角三角形)，〃+勿<〃(钝

角三角形)或sin(A—B)=0,sinA=sinB,sinC=1或cosC=0等一些等式，进而判定其形状，

但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索.

【范例2】A4BC中，内角Z.8.C的对边分别为a.6.c,已知a.b.c成等比数列，

3

且cos5=—.

4

(1)求cot/+cotC的值；

,—,3

(2)若BA,BC=—,求a+c的值.

2

3

解析(1)由cosB=—得sin8=——>由/=ac得sin?8=sin/sinC,

44

,八cosAcosCsinCcosA+cosCsinAsin(N+C)

cot〃+cotC=--------+---------=------------------------------------=——J-------

sinAsinCsinZsinCsin'B

sinB_1_477

sin2Bsin57

——*——*333

(2)由BA-BC=—得：ac-cosB--,因cos6=—,所以：ac=2,即：b2=2.

224

由余弦定理6?=a2+c2-2ac-cosB得a?+c2=h2+2ac-cosB=5

于是：(a+c)2=a?+/+2。。=5+4=9故Q+C=3.

【点晴】以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻

辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形

中的灵活应用.

oI7

【文】在△48C中，a、b、C分别为角/、B、C的对边，4sin2---------cos2A=-.

22

(1)求角1的度数；

⑵若a=8,b+c=3,求b和。的值.

解析⑴由4sin2一cos2N=g及Z+8+C=l80。,得:

7、

2[1-cos(5+C)]-2cos24+1=2,4(1+cos^)-4cos2A=5

即4cos2A-4cosA+1=0,:.cos4=一,

・・・0。</<180。,・・・4=60。

i22_2

(2)由余弦定理得:COS/=+二i

.1b~+c2—a11\22rL

cosA.=—-----------------——(b+c)-Q=36c.

22bc2

r,小、I、,。,"6+C=3,D[b=\[b=2

4=百,6+0=3代入上t式得:60=2由(c得[-,或｛.

be-21c=21c=1

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.

【范例3】已知AABC的周长为6,%,同，四成等比数列，求

(1)AABC的面积S的最大值；

(2)或前的取值范围.

解析设瓯，同，画依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac.

,.Q?+，—b-

在4ABC中得cos8=----------------

2ac

故有0<84生.又6=疝(史£=生吆，从而0<bW2.

322

(1)S=—acsinB=—h2sin5<--22-sin—=V3,即5=G.

2223

■"a~+c“_b~(<7+c)2_2ac_b”

(2)BABC=accosB=----------------=--------------------------

22

=(6一”一362-)2+27.

v0<Z)<2,/.2<BABC<18.

【点睛】三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我

们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元.主变元是

解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的.

【变式】在4ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,AABC的外接圆半径R=g,

门3cosC2sin?l-sinC

且满足rl-----=---------------

cosBsinB

(1)求角B和边b的大小；

(2)求AABC的面积的最大值。

解析(1)由c°s，='s’11'__，抽。整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB

cosBsinB

1兀

/.sin(B+C)=2sinAcosB/.sinA=2sinAcosBcosB=—B=—

b=2RsinB/.b=3

2

(2)VSVABC=-^acsinB=43RsinAsinC=sin/sin(蔓一4)

1

+—

22

...当八=。时，SVABC的最大值是宇.

【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用

【范例4］某观测站C在城工的南20°西的方向上，由Z城出发有一条公路，走向是

南40"东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20

千米后，到达。处，此时C、。间距离为21千米，问还需走多少千米到达/城？

解析据题意得图02,其中8c=31千米，80=20千米，CD=21千米，ACAB=60°.

设a,NCDB=B.在中，由余弦定F"北

CD2+BD2-BC2212+202-312

COSp=

2CDBD2x21x20

sinp--cos2p=4g.

sina=sin(180°-Z.CAD-Z.CDA)

=sin(180°-60o-180°+^)图02

述xL-1xV3_573

=sin(夕-60°)=sin0cos60°-cos0sin60°=

727214

士人i"sCD.215V3215V3lc

在△4CD中得-----sincr=------------------=—=rx------=15.

sin4sin60014百14

2

所以还得走15千米到达Z城.

【点晴】运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的

已知元素，然后解三角形求之.

【变式】已知半圆O的直径AB=2,P为AB延长线上一点，OP=2,Q为半圆上任意一

点,以PQ为一边作等边三角形PQR(P、Q、R为顺时针排列)，问点Q在什么位置时，四

边形OPRQ面积最大，并求这个最大面积.

解析设NPOQ=x(0°<x<180°),PQ2=5-4cosx,

APQ&面积H=fp02=乎一百