考研数三考研历年真题

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2004年考研数学(三)真题解析

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

sinx

lim-----(cosx-b)=5i

(1)若,贝ijabA=-^—.

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.

Qinx

lim-----(cosx-b)=5limsinx-(cosx-6)=0

【详解】因为,且1。,所以

lim(ex-tz)=0

“TO,得a二L极限化为

lim—n'(cosx-b)=lim—(cosx-b)=l-b=5

一°/一。x—ox，得b=-4.

因此，a—1,b--4.

【评注】一般地，已知且⑶=A,

(1)若g(x)T0,则f(x)T0;

(2)若f(x)-»0,且AH0,则g(x)t0.

(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，

且g(y)*0,

32f_g(v)

则HMvg2(v)

【分析】令u=xg(y),v=y,可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.

U/、

—r+gW

【详解】☆u=xg(y),v=y,则f(u,v)=g("),

df_1=g〈y)

所以，8〃g(n),而九g2(v)

xex2

f(x)=<2221

-1,x>-1£f/(x-1)<&=--

⑶设2则2—j

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：X-1=t，再利用对称区间上奇偶函

数

的积分性质即可.

【详解】令x-l=t,E3'

J21xe'xdx+（―l）^=0+（—―）=——

=~22

【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.

（4）二次型/（X|，X2，X3）=（X|+》2尸+（*2_*3）2+5+Xj2的秩为..

【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩，亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变

换

或配方法均可得到答案.

［详解因为/（XI,X2，*3）=*I+*2尸+（七-A）?+03+XJ2

22

=2x/+2X2+2X3+2XJX2+2X}X3-2x2x3

11、

A=12-1

-1

于是二次型的矩阵为2,

'1-12、q-12、

A->03-303-3

-3>

由初等变换得,03,000,

从而“/）=2,即二次型的秩为2.

【详解二】因为/（修，*2，£）=（匹+-2）2+（》2-工3）2+（%+%）2

22+2X1X-

=+2X2+2X3+2X1X232x2x3

=2(X]+g%2+g%3)2+|"(、2_%3)2

O232

=2必+-y2

11

=x

必i+/%2+5X3,

其中y2=^2-^3

所以二次型的秩为2.

1

(5)设随机变量X服从参数为2的指数分布，则P{X>而}=

【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.

DX=F

【详解】由于不，X的分布函数为

故

【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型.

(6)设总体X服从正态分布N(〃i，/),总体y服从正态分布N(〃2，/),

M,乙「一”",和工，八「"4分别是来自总体x和y的简单随机样本，则

22

Z(x「了)+£区—歹)

j=l

-2

【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.

n

1\一1”,_

E[--£(^,.-X)2]=(72E[-门

【详解】因为々T0，%

故应填..

【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

人、Ixlsin(x-2)

JW=------------------2

(7)函数x(x-l)(x-2)在下列哪个区间内有界.

(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).

[A]

lim/(x)limf(x)

【分析】如f(X)在(a,b)内连续，且极限1/与存在，则函数f(x)

在(a,b)内有界.

..人、sin3..r,、sin2

lim/(X)=------lim/(X)=-----------

【详解】当x声0,1,2时，f(x)连续，而--广18,1。-,4,

limf(x)=s'n2lim/(x)=8limf(x)=g

x->0+4,xT,x-»2',

所以，函数f(x)在(-1,0)内有界，故选(A).

【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在闭区间［a,b］上有

lim/(x)lim/(x)

界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限—+与存在，则函数f(x)

在开区间(a,b)内有界.

limf(x)=a

(8)设f(x)在(-8,+8)内有定义，且X-8,

I°，x=O,则

(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.

(C)x=0必是g(x)的连续点.

(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.［D］

limg(x)u=—

【分析】考查极限XT)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元X,

limg(x)lim/(x)

可将极限I0转化为X—8'.

limg(x)=lim/(—)=limf(u)u=—

【详解】因为J。x-ox"-8=a(令x),又g(0)=0,所以，

limg(x)=g(0)

当a=0时，xro,即g(x)在点x=0处连续，当aW0时，

limg(x)Hg(O),

XT。，即x=0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性

与a的取值有关，故选(D).

【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.

(9)设f(x)=|x(l-x)|,则

(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.

(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.

(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.

(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.

[C]

【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，

考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.

【详解】设0<6<1,当xw(-8,0)u(0,3)时，f(x)>0,而f(0)=0,

所以x=0是f(x)

的极小值点.

显然，x=0是f(x)的不可导点.当xe(-3,0)时，f(x)=-x(l—x),/"(x)=2>0,

当xe(0,3)时，f(x)=x(l-x),/。)=一2<0,所以(0,0)是曲线y=f(x)

的拐点.

故选(C).

【评注】对于极值情况，也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来

判断

(10)设有下列命题：

Z(〃2〃-l+"2")

⑴若"T收敛，则"T收敛.

OOOO

Z"〃E“〃+1000

(2)若"=1收敛，则〃收敛.

lim>1

⑶若—，则〃=1发散

OO

Z(""+v〃)A。

(4)若"T收敛，则"T”T都收敛.

则以上命题中正确的是

(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).

[B]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.

‘八”Z(〃2"-l+"2")

【详解】(1)是错误的，如令""=(T),显然，日分散，而"=1收敛.

(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.

lim------>1

⑶是正确的，因为由28〃〃可得到沏不趋向于零(nt00),所以〃=1发散.

OOOO

u=—,v=--

(4)是错误的，如令〃n,显然，〃=1,-1都发散，而

OO

"=1收敛.故选(B).

【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.

(11)设/'(X)在[a,b]上连续，且八则下列结论中错误的是

(A)至少存在一点殉《(4与，使得"xo)>f(a).

(B)至少存在一点的6(。力)，使得八出)>f(b).

(0至少存在一点殉€(“力)，使得/'的)=0.

(D)至少存在一点殉€(。力)，使得"xo)=0[D]

【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选

【详解】首先，由已知/'(X)在[a,b]上连续，且/'(a)>0，/'S)<0,则由介值定理，

至少存在一点勺6(。，6),使得广00)=0；

f\a)=lim，(x)-/⑷>0

另外，x—"+x-a,由极限的保号性，至少存在一点x()eSM

/Up)~/(q)?Q

使得x0-a,即/(/)〉/(。),同理，至少存在一点

使得/(沏)>/(6).所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).

【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.

(12)设〃阶矩阵4与B等价，则必有

(A)当।41=a(aW0)时I31=o(B)当I41=a(aW0)时IB1=-a

(C)当MW。时，181=0.(D)当1/1=0时，⑶=0[D]

【分析】利用矩阵％与B等价的充要条件：八/)="8)立即可得.

【详解】因为当⑷二°时，又/与B等价，故「⑻<〃，即⑶=0,故选

(D).

【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查，属基本题型.

(13)设〃阶矩阵”的伴随矩阵才*°，若笛&焉©是非齐次线性方程组/x=b的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组为x=°的基础解系

(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.

(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.

[B]

【分析】要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的

秩.

【详解】因为基础解系含向量的个数=〃一"⑷，而且

n,r(A)=n,

/(1)=<1,r(A)=〃-1,

0,r(A)<n-\.

根据已知条件才*°，于是等于〃或〃-1.又加=6有互不相等的解，

即解不惟一，故"")=〃—1.从而基础解系仅含一个解向量，即选(B).

【评注】本题是对矩阵/与其伴随矩阵才的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个

知识点的综合考查.

(14)设随机变量X服从正态分布N(0』)，对给定的ae(。』)，数""满足%=a,

若P{IXI<x}=a,贝叶等于

U

UaUa\-a

(A)2.(B)(c)(D)"i.[C]

【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和儿何意义即得.

【详解】由尸{IXI<x}=a,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得

2.故正确答案为(C).

【评注】本题是对标准正态分布的性质，严格地说它的上分位数概念的考查.

2005年考研数学(三)真题解析

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)极限is/+二2.

【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.

.2x2x

rlimxsin----limx----=2.

［详解］XT"0X-J.］

(2)微分方程刈'+，=°满足初始条件J⑴=2的特解为孙=2.

【分析】直接积分即可.

【详解】原方程可化为(中)'=0,积分得孙=。，

代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2.

dz-

(3)设二元函数z=疝"+>+(x+l)ln(l+y),则(i.o)-2edx+(e+2)dy

【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.

Hz

—=ex+y+xex+y+\n[\+y)

【详解】

0.0)2edx+(e+2)dy

⑷设行向量组QI1」)，(2」，。，。)，(3,2,1,。)，(4,3,2,1)线性相关，且"1,则a=2

【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.

【详解】由题设，有

2111

2Iaa

321a~11

a—i〃—_zy—_

4321(。一1)(21)=0,得一’-2,但题设。声1,故一2，

(5)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从12…，X中任取一个数，记为匕则

13

P{丫=2}=欣

【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式，且第一次试验的各种两两互不

相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.

P[Y

[详解]=2}二0口=\}P[Y=NX=\}+P{X=2}P[Y=2|X=2}

+P[X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4}

1111、13

-x(0+-+-+-)=—.

423448

(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

Y01

00.4a

1b0.1

已知随机事件｛X=°｝与｛X+〕l｝相互独立，则@=0.4,b=0.1.

【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等

式，由此可确定a,b的取值.

【详解】由题设，知a+b=0.5

又事件｛X=O｝与｛X+Y=l｝相互独立，于是有

p｛x=o,x+丫=1｝=P｛x=Q｝P｛x+y=1｝

即a=(04+〃)g+6),由此可解得a=0.4,b=0.1

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)当a取下列哪个值时，函数/(幻=2丈3-9》2+12工-4恰好有两个不同的零点.

(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]

【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当

恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.

，2

【详解】/(X)=6X-18X+12=6(X-1)(X-2)>知可能极值点为x=l,x=2,且

/⑴=5-“,/(2)=4-4,可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应

选⑻.

2222222

/,=jjcos^+y<J(jI2=jjcos(x+y)d(J/3=jjcos(x+y)d(7

(8)设。，。，。，其中

。虫。/),+/<1},则

(A)，3>，2>/](B)A>12>13

(C)12>11>，3(D)A>A>，2[A]

关键在于比较而?+/、1+/与(/+歹2)2在区域Q={(x,冲2+y2<]}上

【分析】

的大小.

在区域0={8*+41}上,有0＜一+41,从而有

【详解】

由于cosx在上为单调减函数，于是

0<cos2)<cos(x2+y2)2

jjcos^x2+y2d(y<jjcos(x2+y2)d(y<jjcos(x2+y2)2d(y

因此DDD，故应选迷).

8

£(-1严。

设%>0,〃=1,2,…，若I发散,

(9)M=l收敛,则下列结论正确的是

(A)g收敛，I发散.(B)«='收敛,，川发散.

8

E<a2«-1

n-l+。2")0〃)

(C)收敛.(D)n=l收敛.D]

【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.

a„=-SIT)"%"

【详解】取n,则,T发散，，曰收敛,

a

:«-1+2n)

Z“2"一1

但〃=]与〃=]均发散，排除(A),(B)选项，且〃口发散，进一步排除(C),

£(生,1-。2“)

故应选(D).事实上，级数I的部分和数列极限存在.

(10)设〃x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是

f(0)是极大值,是极小值.(B)f(0)是极小值,是极大值.

(C)f(0)是极大值,也是极大值.(D)f(0)是极小值,也是极小值.

[B]

【分析】先求出/'(x)，/“(x),再用取极值的充分条件判断即可.

r(o)=o,.r(^)=()

【详解】/'(X)=sinx+xcosx-sinx=xcosx，显然2

r(o)=i>o,rQ=-^-<o

又/(x)=cosx-xsinx,且22，故f(0)是极小值，2是

极大值，应选(B).

(11)以下四个命题中，正确的是

(A)若/'(X)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.

(B)若/(X)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.

(C)若/'(X)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界.

(D)若/(X)在(0,1)内有界，则八%)在(0,1)内有界.[C]

【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.

—f'(x)=—

【详解】设f(x)=x,则f(x)及X均在(0,1)内连续，但f(x)在(0,1)

1—f'(x)=----j=

内无界，排除(A)、(B);又在(0,1)内有界，但2△在(0,1)内无界,

排除⑻.故应选(C).

(12)设矩阵A=S")3X3满足不=〃，其中不是A的伴随矩阵，/为A的转置矩阵.若

。”吗2必3为三个相等的正数，则。为

731_

(A)3.(B)3.(C)3.(D)6[A]

【分析】题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA*=A*A=\^E.

【详解】由不=『及"诽，有为=为，力=123,其中均为％的代数余子

=\A\E=>\A[=困n|H=。或M=1

式，且

而Ml=卬4+312+6343=3/尸0,于是词=1,月""一行,故正确选项为(A).

(13)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为名以2,则%,

4%+。2)线性无关的充分必要条件是

(A)4=0(B)4=°.(C)4Ho.⑻4Ho

【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.

【详解】方法一：令左0+&〃(a+。2)=0,则

k]a]+%24al+左=。，(自+%24)«+左242a2=。

由于a?线性无关，于是有

1匕+左24=。，

[k2A2-0.

当时，显然有%=°，左2=°,此时4,4%+。2)线性无关；反过来，若6,

“(«+七)线性无关,则必然有为#°(,否则,3与Z(a+%)=4a线性相关)，故应选(B).

,,「14-

+%)]=[/，/1必+4%]=a，%]【

方法二：由于⑹七」，

14。八

=4w0.

可见a,4a+。2)线性无关的充要条件是°%'故应选⑴).

(14)设一批零件的长度服从正态分布N(〃，〃)，其中〃，病均未知.现从中随机抽取

16个零件，测得样本均值三=20(0"),样本标准差s=l(cm),则〃的置信度为0.90的置信区

间是

也)(20-5。。5(16),20+50。5(⑹).⑻(20-(16),20+，。」(16)).

(20-i/005(15),20+!%05(15)).(20-i/o.!(15),20+^/0J(15)).

【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量:

-5-1)

号S/_

【详解】由正态总体抽样分布的性质知,n故"的置信度为0.90的置

(2O-i/(15),2O+1/(15)).

(x--7=^a(〃-D,X+—j=ta(n-1))OO5OO5

信区间是5Q5

,即故应选（C）.

2006年考研数学（三）真题解析

一、填空题：1—6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

lim----=L

（1）—〃7

【分析•】将其对数恒等化"=泌"求解.

(〃+1

lim——、(一"=limeIn1f—n)]=Llim(-IfIni

W—\fl]〃T8

【详解】

limIn4=0lim(-l)MIn|R=0

而数列｛（T）’1有界,

A?4-1

故n

（2）设函数/（X）在"2的某邻域内可导，且/'（x）=e'["2）=1,则/"（2）="

【分析】利用复合函数求导即可.

【详解】由题设知，/'（x）=e"\两边对x求导得

/〃口卜/⑶/修百小）

两边再对X求导得厂⑴=2e2""（x）=2e3M）,乂/⑵=1,

故广⑵=2e3/（2）=2e3

（3）设函数八"）可微，且,⑼一万，则z=/（4-力在点（1,2）处的全微分

出q2)=4dx-2dy.

【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.

—L=fX4x2-y2),8xL=4

【详解】方法一：因为a」1,

款2)=八4--/)-(-2?)|(1,2)=-2

所以dzR)=品。0口+款2=4dx-2dy

方法二：对z=/(4——「)微分得

dz=f\4x2-y2)d(4x2-y2)=/z(4x2-y2)(8xdr-2ydy)

，

dz|(12)=f(0)(8dx-2dy)=4dx-2dy

RX.•

A_(11、

⑷设矩阵J2AE为2阶单位矩阵，矩阵8满足8/=8+2E,则忸1=2.

【分析】将矩阵方程改写为4X=8或口=8或/丫8=。的形式，再用方阵相乘的行列式

性质进行计算即可.

【详解】由题设，有

B(A-E)=2E

I|_11_o

于是有同"一目=4,而'"71,所以忸1=2.

(5)设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间［°，”上的均匀分布，则

1

尸{max{X,Y}Wl}=9

【分析】利用x与丫的独立性及分布计算.

【详解】由题设知，x与y具有相同的概率密度

1,0<x<3

/(x)=\3

0,其他

则p{max{jf,r}<i}=P{X<i,y<i}<i}p{r<i}

【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图:

/(x)=1e虫(_8<x<+8),X],占,X“

(6)设总体X的概率密度为2'为总体X的简单随

机样本，其样本方差为S2,则ES2=Z

【分析】利用样本方差的性质ES2=°X即可.

【详解】因为

EX=xf(x)dr='ye~^dx=0

EX2-Jx2/(x)dx=[=『x2e",xdx=-x2e~x|J0°+20xe-Ydx

=-2xe-x|7+2pe-xdx=-2e~x\^=2

所以DX=EX2-(EXf=2-0=2又因S2是ox的无偏估计量，

所以ES2=DX=2.

二、选择题：7—14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7)设函数'=/(》)具有二阶导数，且/'(x)>0""(x)>0,最为自变量x在点天处的增

量，绿与如分别为八2在点而处对应的增量与微分，若心>0,则

(A)0<d"Ay(B)0<△"dy

⑹Ay<dyv0(D)dy<勺<0

[A]

【分析】题设条件有明显的儿何意义，用图示法求解.

【详解】由/'（X）＞°，-⑴＞°知,函数/（X）单调增加,

曲线）=/（x）凹向，作函数＞=/（》）的图形如右图所示，显然当心＞0时,

Ay>dy=/z(x)dx=/z(x)A,r>0,

00故应选（A）.

f(h2)

lim—^=1

（8）设函数/（“）在x=。处连续,且5犷,则

〃0)=0且/_'(0)存在(B)〃°)=1且/⑼存在

(A)

/⑼=0且4'（0）存在（D）/⑼=1且/⑼存在

(C)[C]

一力2）_],,

【分析】从誓5*入手计算八°）,利用导数的左右导数定义判定工⑼/⑼的

存在性.

【详解】由黑、一知，加式（"）=°.又因为/（M在x=0处连续，则

/(0)=Hm/(x)=Hm/(/z2)=0

,Em"""。)小)

令/=/?-,贝|J20h"3O't

所以工’⑼存在，故本题选（C）.

（9）若级数收敛，则级数

（A）热』收敛.£(-DZ

(B)"='收敛.

£4+

(C)»='收敛.(D)"='2收敛.[D]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.

y«„y«„+1

【详解】由"=l收敛知"T收敛，所以级数"T2收敛，故应选（D）.

或利用排除法：

取〃，则可排除选项（A）,（B）；

a„=

取7n,则可排除选项（C）.故（D）项正确.

（10）设非齐次线性微分方程）''+P（x）y二°（x）有两个不同的解必（x），％（x），C为任意常

数，则该方程的通解是

（A）C[%（x）-%（切（B）.（X）+C[%（X）72（X）]

（C）。[乂（x）+%（x）]（口）乂O）+C[y[B]

【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.

【详解】由于x（x）一8J）是对应齐次线性微分方程v+pa）y=°的非零解，所以它的通

解是y=cg（x）-%（》）],故原方程的通解为

y=y（x）+y=M（x）+C[凹。）一外（刈，故应选（B）.

【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

y=y*+y

其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，丫是对应齐次微分方程的通解.

（11）设/（XJ）与奴x，y）均为可微函数，且外'（x，y）#o,已知（X。/。）是/（x，y）在约束条

件9（x,y）=°下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若/：（/，比）=0,则/；（/，%）=°.

（B）若工则4（/，%）40.

（C）若/：（/，%）。。，则/；（/，为）=0

（D）若工（x（）Jo）HO,则/,（XOJO）*。,[D]

【分析】利用拉格朗日函数“不八团二/小/+如㈠用在^。/。，％）（4是对应x。/。的

参数几的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】作拉格朗日函数尸（x，y"）=/（x，y）+'9（x/）,并记对应与，%的参数义的值为

4,则

4）=。|/：（Xo/o）+4”'（XoJo）=°

＜«

£‘（/，%，4）=o,即|/：（/，为）+=o

消去4,得

£'（/，汽）8；（/，打）一/；（X。,为）以’（%,为）=0

工‘（/，%）=—---/；（工0，%）夕；（/，乂＞）,

整理得外（须），为）.（因为化（x/）H0）,

若工（%，%）。。，则小飞,孔）*0故选（D）.

（12）设%，。2,…，4均为〃维列向量，/为掰X〃矩阵，下列选项正确的是

若四,a?,…,见线性相关，则A（xl,A（x2,---,A（xs线性相关.

若囚,。2「“,火线性相关，则A（xl,Acx2,'",A（xs线性无关.

（C）若%以2,…,见线性无关，则'%，力。2,…，力/线性相关.

（D）若四以2,…，a,线性无关，则”囚，力。2,…，"见线性无关.[A]

【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.

[详解]记8=（«,。2,…，%）,则（力名,”%,…，4z,）=Z8

所以，若向量组%如…0线性相关，则"8）＜s,从而"”）以（8）＜s,向量组

4a2,…，4％也线性相关,故应选（A）.

（13）设4为3阶矩阵，将/的第2行加到第1行得8,再将8的第I列的-1倍加到第2

‘110、

P=010

列得C,记1°°电则

（A）C=KAP.（B）C=PAP\

（C）C=P'AP,（D）C=PAP'.[B]

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.

【详解】由题设可得

’110、-10、T10、'1-10、

B=010A,C=Bo10010A010

,0oL20boL0L

'1-10、

010

0b

而、0，则有C=故应选（B）.

（14）设随机变量X服从正态分布"（从，蛇），丫服从正态分布"（外，。；），且

力-闻＜1}＞。{卜-闪＜1}

则必有

5<%(B)历>%

(C)从<出（D）必〉生[A]

【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.

【详解】由题设可得

Pi以一闻＜1,>pIAJ]

I巧巧.%%.

上、

2①一1＞2中-1①

则«2,,即<^2>

其中①（X）是标准正态分布的分布函数.

11

--＞---

又①（X）是单调不减函数，则历%,即0＜。2.

故选（A）.

2007年考研数学（三）真题解析

一、选择题

1•【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

【详解】当XT。,时，l-e"-y/x,y/l+Jx-1；«，I—COSA/7=；*'

故用排除法可得正确选项为（B）.

.1+X1111

事实上，Hmlim侬1+』一3(1-")二.1+%=1,

XT0*y/XX，0*VXXT。*]

2-Jx

或In.」*%=ln(l+x)-ln(l-'x/x)=x+o(x)