2020版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义第6章不等式第4讲基本不等式Word版含答案

第4讲基本不等式板块一

知识梳理·自主学习[必备知识]考点

1

重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号建立)．a＋b考点2基本不等式ab≤21．基本不等式建立的条件：a>0，b>0；2．等号建立的条件：当且仅当a＝b时等号建立；a＋b3．此中2叫做正数a，b的算术均匀数，ab叫做正数a，b的几何均匀数．考点3利用基本不等式求最大、最小值问题1．假如x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”)2．假如x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，S2那么当x＝y时，xy有最大值4.(简记：“和定积最大”)[必会结论]常用的几个重要不等式a＋b≥2ab(a>0，b>0)；ab≤a＋b2(a，b∈R)；2a＋b2≤a2＋b2(3)(a，b∈R)；22baa＋b≥2(a，b同号)．以上不等式等号建立的条件均为a＝b.[考点自测]1．判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数＝＋1的最小值是2.()yxx(2)函数f(x)＝cosx＋4，x∈0，π的最小值等于4.( )cosx2(3)x>0，y>0是x＋y≥2的充要条件．()yx1(4)若a>0，则a3＋a2的最小值为2a.()(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√．课本改编]已知，∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为( )2[ab112A．1B.4C.2D.2答案B分析∵a，b∈R14＋1＝b＝2时等号建立．143．[课本改编]已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是()79A.2B．4C.2D．5答案C11414ab9分析y＝2(a＋b)a＋b＝25＋b＋a≥2，应选C.4．[2018·苏州模拟]若0≤x≤6，则f(x)＝x8－x的最大值为()1643A.3B．4C.3D.5答案B分析∵0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝x8－x≤x＋8－x＝4，2当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号建立．故f(x)的最大值为4.15．[课本改编]若f(x)＝x＋x－2(x>2)在x＝n处获得最小值，则n＝( )57A.2B．3C.2D．4答案B分析由f(x)＝x＋1＝(x－2)＋1＋2≥4，当且仅当x－2＝x－2x－21x－2>0，即x＝3时，获得等号．应选B.6．[2018·上海模拟]若实数x，y知足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．答案22分析∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，x2＋2y2的最小值为22.板块二典例研究·考向打破考向利用基本不等式求最值y例1[2017·山东高考]若直线a＋b＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．答案8xy分析∵直线a＋b＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，12∴a＋b＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)12＝4＋4ab4ab＋bb＋≥4＋2·＝8，aabab4a当且仅当a＝b，即a＝2，b＝4时，等号建立．故2a＋b的最小值为8.本例条件不变，求

ab的最小值．12解∵1＝a＋b≥2

212ab，当a＝b，即

a＝2，b＝4

时，ab≥8，∴ab的最小值为8.若4a＋2b＝1，求2a＋b的最大值．解∵4a＋2b≥222a·2b＝222a＋b，222a＋b≤1，∴2a＋b≤－2，2a＋b的最大值为－2.若log2a＋log2b＝1，求2a＋b的最小值．解∵log2ab＝1，∴ab＝2，2a＋b≥22ab＝4，当a＝1，b＝2时，2a＋b的最小值为4.触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略利用基本(均值)不等式解题必定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要依据式子的特点灵巧变形，配凑出积、和为常数的形式，而后再利用基本(均值)不等式．【变式训练1】(1)已知0<x<1，则x(3－3x)获得最大值时x的值为()1132A.3B.2C.4D.3答案C分析∵0<x<1，∴x·(3－3x)＝1≤13x＋3－3x2＝3，··－32433x(33x)13当3x＝3－3x，即x＝2时，x(3－3x)获得最大值4.选C.(2)设，则函数＝＋2－3的最小值为________．x>0yx2x＋12答案0231111分析y＝x＋2x＋1－2＝x＋2＋1－2≥2x＋2·1－x＋2x＋211120x212x＋2值为0.考向条件最值问题例2[2018·大同检测]若正数a，b知足ab＝a＋b＋3，求：ab的取值范围；a＋b的取值范围．解(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.t≥3即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤a＋b2.2令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．触类旁通求条件最值注意的问题(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵巧进行转变；(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法．【变式训练2】(1)[2018珠·海模拟]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案C分析解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤x＋3y2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y2t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6.解法二：∵x＋3y＝9－xy≥23xy，∴(xy)2＋23·xy－9≤0，(xy＋33)·(xy－3)≤0，0<xy≤3，∴x＋3y＝9－xy≥6.(2)已知实数x，y知足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．答案2分析由于x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy.所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×x＋y2，2即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.当且仅当x＝y＝1时等号建立，所以x＋y的最大值为2.考向利用基本不等式解决实质问题例3[2017·湖南模拟]某项研究表示：在考虑行车安全的状况下，某路段车流量F(单位时间内经过丈量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假定车辆以同样速度v行驶，单位：米/秒)、均匀车76000v长l(单位：米)的值相关，其公式为F＝v2＋18v＋20l.(1)假如不限制车型，l＝6.05，则最大车流量为_______辆/小时；(2)假如限制车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增添________辆/小时．答案(1)1900(2)10076000v分析(1)当l＝6.05时，F＝v2＋18v＋20×6.05，76000v7600076000∴F＝v2＋18v＋121＝121≤121＝1900，v＋v＋182v·v＋18121当且仅当v＝v，即v＝11时取“＝”．∴最大车流量为1900辆/小时．(2)当l＝5时，F＝2＋76000v＝76000，18v＋×100v＋v＋18∴F≤76000＝2000，1002v·v＋18100当且仅当v＝v，即v＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增添2000－1900＝100(辆/小时)．触类旁通相关函数最值的实质问题的解题技巧(1)依据实质问题抽象出函数的分析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，必定要注意变量的实质意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单一性求解．【变式训练3】某厂家拟在2018年举行促销活动，经检查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销花费m万元k(m≥0)知足x＝3－m＋1(k为常数)，假如不搞促销活动，则该产品的年销售量只好是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的1.5倍(产品成本包含固定投入和再投入两部分资本)．(1)将2018年该产品的收益y万元表示为年促销花费m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销花费投入多少万元时，厂家的收益最大？解(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，1＝3－k?k＝2，∴x＝3－2，m＋18＋16x每件产品的销售价钱为1.5×(元)，x8＋16x∴2018年的收益y＝1.5x×－8－16x－mx2＝4＋8x－m＝4＋83－m＋1－m16＝－m＋1＋m＋1＋29(m≥0)．16(2)∵m≥0时，m＋1＋(m＋1)≥216＝8，y≤－8＋29＝21，16当且仅当m＋1＝m＋1?m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2018年的促销花费投入3万元时，厂家的收益最大为万元．核心规律1．基本不等式拥有将“和式”转变为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，经常用于比较数(式)的大小或证明不等式．2．关于基本不等式，不单要记着原始形式，并且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等．满分策略1．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其知足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．2．注意基本不等式建立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转变为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．3．“当且仅当a＝b时等号建立”的含义是“a＝b”是等号建立的充要条件，这一点至关重要，忽视它常常会致使解题错误.板块三启智培优·破译高考易错警告系列8——连续应用基本不等式时牢记等号建立的条件[2017·天津高考]若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为ab________．错因剖析两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易犯错．分析∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，∴4＋4b4＋122＋11，a≥4ab＝4ab＋ababab由于ab>0，∴4ab＋11＝ab≥24ab·ab4当且仅当4ab＝1时“＝”建立，aba2＝2b2，a4＋4b4＋1故当且仅当1时，ab的最小值为4.4ab＝ab答案4答题启迪连续运用基本不等式应注意等号建立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．所以尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号建立的条件同时相等．追踪训练16已知a>b>0，求a2＋ba－b的最小值．解∵a>b>0，∴a－b>0.2∴b(a－b)≤b＋a－b2＝a.24a2＋16≥a2＋642≥2ba－ba

264a·2＝16.a当a264b＝－，即a＝2，＝时等号建立．aab2b216∴a2＋ba－b的最小值为16.板块四模拟操练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·浙江模拟]已知x>0，y>0，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案A分析若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2xy＝2；反之，取x3，y＝1，则知足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不用要条件．应选A.2x2．当x>0时，函数f(x)＝2有( )x＋1A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2答案B分析∵x>0，∴f(x)＝2≤1.应选B.1x＋x3．[2015·湖南高考]若实数，b知足1＋2＝ab，则ab的最小aab值为()A.2B．2C．22D．4答案C分析由ab＝1＋2≥22，得ab≥22，当且仅当1＝2时取ababab“＝”．选C.4．[2018·人大附中模拟]3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()932A．9B.2C．3D.2答案B分析由于－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知3－aa＋6≤3－a＋a＋6＝9，当且仅当a＝－3时等号成222立．x2＋25．[2018·秦皇岛模拟]函数y＝x－1(x>1)的最小值是()A．23＋2B．23－2C．23D．2答案A2－1＋3－＋＋3xx1x1分析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x－1＝x－1＝x1＋x－31＝x－1＋x－31＋2≥23＋2(当且仅当x＝1＋3时取“＝”)．选A.6．设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是( )A．40B．10C．4D．2答案D分析∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，x＋4y≥2x·4y＝4xy(当且仅当x＝4y时取“＝”)，4xy≤40.∴xy≤100.lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.lgx＋lgy的最大值为2.1a7．[2018·山西模拟]已知不等式(x＋y)x＋y≥9对随意正实数x，y恒建立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案B分析1＋axy＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，(x＋y)xy＝1＋a·＋yxxy当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”建立．yx1aa＋1)2≥9.∴(x＋y)x＋y的最小值为(∴a≥4.8．[2017·江苏高考]某企业一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总储存花费为4x万元．要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则x的值是________．答案306003600分析一年的总运费为6×x＝x(万元)．一年的总储存花费为4x万元．3600总运费与总储存花费的和为x＋4x万元．由于3600＋4x≥23600·＝，当且仅当3600＝4x，即x＝xx4x240x时获得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总储存花费之和最小．19．函数y＝2x＋x－1(x>1)的最小值为________．答案22＋2分析由于y＝2x＋1，所以＝＋1＝2(x－1)＋1x－1(x>1)y2xx－1x－11＋2≥2＋22x－1x－1＝22＋2.21当且仅当x＝1＋2时取等号，故函数y＝2x＋x－1(x>1)的最小值为22＋2.10．[2018·定模拟正]若正数x，y知足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是

________．答案

5分析

13由x＋3y＝5xy，可得5y＋5x＝1，3所以3x＋4y＝(3x＋4y)5y＋5x943x12y133x12y1312＝＋＋＋5x≥5＋2·＝5＋5＝5，当且仅当x＝555y5y5x11，y＝2时取等号，故3x＋4y的最小值是5.[B

级

知能提高

]1．若两个正实数

14x，y知足x＋y＝1，且不等式

x＋4y<m2－3m有解，则实数

m的取值范围是

(

)A．(－1,4)

B．(－∞，－

1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)

D．(－∞，0)∪(3，＋∞

)答案

B分析

y∵x>0，y>0，∴x＋4＝

yx＋4

14x＋y

4xy＝2＋y＋4x≥4，∴yx＋4min＝4，m2－3m>4，解得m<－1或m>4.选B.2．设a>0，b>1，若a＋＝，则2＋1的最小值为( )b2ab－1A．3＋22B．6C．42D．22答案A2121分析由题可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴a＋b－1＝a＋b－1(a2b－1a2b－1a＋b－1)＝2＋a＋b－1＋1≥3＋22，当且仅当a＝b－1，即a＝2－2，b＝2