2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（解析版）

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（解析版）圆锥曲线中的定点问题思路引导思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝eq\f(π,2).证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：是直角三角形；（2）轴上是否存在一定点，使三点共线.【解题指导】【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.考法2先求后证法求证定点【例3】（2022·合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率→焦点到直线的距离→→列方程组求a,b的值→椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时→为直径的圆的方程→当直线l斜率为0时→为直径的圆的方程→两圆的交点Q→当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C的方程联立→求HN的方程→是否过定点.【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】（2022·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.模拟训练模拟训练1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.2．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．3．（2023·贵州毕节·统考一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．(1)求的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．4．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，点E为直线与的一个交点（异于点A），当时，点E在y轴上.(1)求的标准方程；(2)若点F为过点A且斜率为的直线与的一个交点（异于点A），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.6．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．8．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.(1)求证：；(2)设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.9．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆过点，且的焦距是椭圆的焦距的3倍．(1)求的标准方程；(2)设M，N是上异于点P的两个动点，且，试问直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．(1)求E的方程；(2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．圆锥曲线中的定点问题思路引导思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝eq\f(π,2).证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P点坐标为(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x0，－y0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝\f(9,4)，,x0＋cx0－c＋y\o\al(2,0)＝－\f(3,4)，))解得c2＝3，∴c＝eq\r(3).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝1.∴所求椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设直线AB方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴x1＋x2＝－eq\f(8km,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(4m2－4,4k2＋1).又由α＋β＝eq\f(π,2)，∴tanα·tanβ＝1，设直线MA，MB斜率分别为k1，k2，则k1k2＝1，∴eq\f(y1,x1＋2)·eq\f(y2,x2＋2)＝1，即(x1＋2)(x2＋2)＝y1y2.∴(x1＋2)(x2＋2)＝(kx1＋m)(kx2＋m)，∴(k2－1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2－4＝0，∴(k2－1)eq\f(4m2－4,4k2＋1)＋(km－2)＋m2－4＝0，化简得20k2－16km＋3m2＝0，解得m＝2k，或m＝eq\f(10,3)k.当m＝2k时，y＝kx＋2k，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m＝eq\f(10,3)k时，y＝kx＋eq\f(10,3)k，过定点，∴直线AB恒过定点【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：是直角三角形；（2）轴上是否存在一定点，使三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线的方程为，设，切线斜率为，则切线方程为，（2分）将其与联立消得.所以，化简得，（4分）所以，所以.即是直角三角形.（6分）由（1）知时，方程的根为设切点，则.因为，所以.（10分）设，【点拨】由M点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与联立消得，则，所以，解得，所以直线过定点.即轴上存在一定点，使三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：（2）设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点．当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．考法2先求后证法求证定点【例3】（2022·合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率→焦点到直线的距离→→列方程组求a,b的值→椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时→为直径的圆的方程→当直线l斜率为0时→为直径的圆的方程→两圆的交点Q→当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【解析】（1）由题意，，，所以，.又，，所以，，故椭圆的方程为（2）当轴时，以为直径的圆的方程为当轴时，以为直径的圆的方程为.可得两圆交点为．

由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为．下证符合题意．设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入并整理得，

设，，则，，所以故，即在以为直径的圆上．综上，以为直径的圆恒过定点．【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C的方程联立→求HN的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.（2），所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】（2022·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.【解析】(1)因为，所以由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中所以所以曲线C的方程为：(2)若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，联立求解可得，直线PQ过点.当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，代入，整理得：则因为AP⊥AQ，所以整理得解得或因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意故，代入，得，过定点.综上，直线PQ过定点.模拟训练模拟训练1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.【分析】（1）设，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据建立方程求出得解；（2）由直线方程求出的坐标，计算，设是以线段为直径的圆上任意一点，根据化简，根据对称性令可得解.【详解】（1）设，，，则联立得，所以，所以，又，，所以由得，即所以，化简得，又，所以，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，，，所以，，易得，，由题意知，，所以令得，，即，，所以设是以线段为直径的圆上得任意一点，则有，即，由对称性令得，所以或所以以线段为直径的圆经过定点，定点坐标为与.【点睛】关键点点睛：求出的点的坐标，计算出为定值，是解题的关键之一，其次写出以为直径的圆的方程，根据圆的方程，由对称性，令求定点是解题的关键.2．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）把点代入双曲线的标准方程，结合其离心率来联立方程求解即可；（2）根据题意当时，设出直线方程为，并设交点，，联立直线与曲线的方程，利用韦达定理可得，，从而由题意推出直线PQ恒过定点，最后检验当时，也符合题意即可.【详解】（1）由题意可知，解得,故双曲线C的方程为．（2）证明：①A，B为双曲线的左、右顶点，，又当时，可得，，，又点P在双曲线上，∴，∴．设，，：，与双曲线C的方程联立得，，，，，解得，此时满足，∴直线PQ恒过点．②当时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为．综上，直线PQ恒过点．3．（2023·贵州毕节·统考一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．(1)求的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【分析】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为，根据抛物线的定义，，则C的方程可求；（2）若选①，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，得直线的方程即可判断；若选②，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，设，由题意，结合韦达定理得对任意的恒成立，则，得出答案．【详解】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为根据抛物线的定义，，则抛物线方程为：．（2）若选①，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，，设直线的方程为：，设，，联立，得，恒成立得，直线的斜率直线的方程为由，化简得直线过定点，存在若选②，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，，设直线的方程为：设，，设联立，得，恒成立得，轴平分，即对任意的恒成立，则．存在．4．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，点E为直线与的一个交点（异于点A），当时，点E在y轴上.(1)求的标准方程；(2)若点F为过点A且斜率为的直线与的一个交点（异于点A），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【分析】（1）由题意求出点E的坐标，将点E的坐标代入直线的方程，求出a的值，代入即可得的标准方程.（2）判断直线的斜率是否存在,设出直线的方程并与椭圆方程联立,利用斜率间的关系建立等式,并借助根与系数的关系求参数间的关系,从而可写出直线的点斜式方程得到其所过定点，进而整合证明结论.【详解】（1）由题意知，直线，即，则直线过点A，因为当时，，点E在y轴上，又E在椭圆上，所以当E在y轴上时，E为椭圆的上顶点或下顶点，又，所以E为椭圆的上顶点，所以，又点E在直线上，所以，解得，所以的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，点关于x轴对称，此时的斜率为，这与的斜率为相矛盾，所以直线的斜率存在.设直线的方程为，由，消去y，得，需满足，设，，，则，.由题意得，，则，得，即，所以，所以，即，解得或.若，则直线的方程为，即，则直线恒过定点，不符合题意.若，则直线的方程为，即，则直线恒过定点，综上，直线恒过定点，定点坐标为.【点睛】在证明直线恒过定点时，设直线方程，和曲线方程联立，得到根与系数的关系式，此时的关键是要利用直线的斜率与直线的斜率之间的关系建立等式，进行化简，得到之间的关系，从而证明直线过定点.6．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.【分析】（1）根据离心率可得，设点结合椭圆方程整理得，根据题意分类讨论求得，即可得结果；（2）设直线及的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得，设点为椭圆上一点，则，则，因为，所以，①当时，，解得（舍去）；②当时，，解得；综上所述：，则，故椭圆的标准方程为.（2）①当斜率不存在时，设且，则，则直线为，令，得，即，同理可得.∵与关于轴对称，则，解得，矛盾；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，设，其中且，联立方程组，消去化简可得，，则，所以，由，可得，所以直线的方程为，令，得，即，直线的方程为，令，得，即，因为和关于轴对称，则，把代入上式，则，整理可得，则，∵，则，可得，化简可得，则直线的方程为，即，所以直线过定点；综上所述：直线过定点.【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）方法一：将代入方程，结合求得得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得得双曲线方程.（2）方法一：设CD的方程为，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，求出，由B点与D点写出BD方程，求出，利用两个相等建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.方法二：设CD的方程为，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方程，将代入以上两方程，两式相比消去建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.【详解】（1）法一．由解得，∴双曲线E的标准方程为．法二．左右焦点为，，，∴双曲线E的标准方程为．（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为，联立消去x得，，，，AC的方程为，令，得，BD的方程为，令，得，，解得或，即或（舍去）或（舍去），∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为，联立，消去x得，，AC的方程为，BD的方程为，分别在AC和BD上，，两式相除消去n得，又，．将代入上式，得．整理得，解得或（舍去）．∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.8．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.(1)求证：；(2)设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.【分析】（1）设点，根据已知得出，直线的方程，直线的方程，分别令方程，即可得出M，N两点坐标，即可根据两点求出直线与的斜率，得出，即可证明；（2）设直线的方程为，点，直线的方程与椭圆的方程联立，根据韦达定理得出，