归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法归纳二重积分的计算方法摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则;四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1.预备知识二重积分的定义[1]设f(x,y)是定义在可求面积的有界区域D上的函数.J是一个确定的数,若对任给的正数c,总存在某个正数6,使对于D的任意分割T,当它的细度T<6时,属于T的所有积分和都有iiiiii则称f(x,y)在D上可积,数J称为函数f(x,y)在D上的二重积分,记作D其中f(x,y)称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域.二重积分的若干性质若f(x,y)在区域D上可积,k为常数,则kf(x,y)在D上也可积,且DD若f(x,y),g(x,y)在D上都可积,则f(x,y)土g(x,y)在D上也可积,且DDD若f(x,y)在D和D上都可积,且D与D无公共内点,则f(x,y)在D2121D上也可积,2且在矩形区域上二重积分的计算定理c存在,则累次积分jbdxjdf(x,y)dy也存在,且acacDa2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X-型\Y-型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算122定理:若f(x,y)在X-区域D上连续,其中y(x),y(x)在[a,b]上连续,则12即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分.同理在上述条件下,若区域为Y-型,有例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.a方程为只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体式以z=a2-x2为曲顶,以四分之一圆域D:为底的曲顶柱体,所以3另外,一般常见的区域可分解为有限个X-型或Y-型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质求得即可.二重积分的变量变换公式定理:设f(x,y)在有界闭域D上可积,变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将平面uv由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域编一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数vD编用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.D22则1112-220-v204D编D为了简化积分区域，作变换T：x=u，y=u．它把xy平面上的区域D对应v2v所以11v--uv4用极坐标计算二重积分定理:设f(x,y)在有界闭域D上可积,且在极坐标变换T：〈D编当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f(x2,y2)时，采用二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：可表示成2于是有类似地，若xy平面上的圆r=常数与D的边界多交于两点，则编必可表示成212D所以1r9(1D(ii)若原点为D的内点，D的边界的极坐标方程为r=r(9)，则编可表示成所以00.DD解利用极坐标变换,由公式得0与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：xyz共1的体积时，就需此种变换．a2b2c2利用二重积分的几何意义求其积分fxy二重积分jjf(x,y)dxdy在几何上就表示以z=f(x,y)为曲顶，D为底的曲顶体积．当f(x,y)=时，二重积分jjf(x,y)dxdy的值就等于积分区域的面Da2b2a2b2D解因为被积函数z=1-x2-y2>0，a2b2所以I表示D为底的z=1-x2-y2为顶的曲顶柱体体积．a2b2由平行xoy面的截面面积为根据平行截面面积为已知的立体体积公式有积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算2.51利用变量代换计算(x,y)=D使得9P=f(x,y)，则2.52利用格林公式计算定理若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有这里L为区域D的边界线，并取正方向． (1)构造函数P(x,y)，Q(x,y)使9Q-9P=f(x,y)，但P(x,y)，Q(x,y)在D上应具有一阶连续偏导数；(2)利用格林公式化曲线积分求之．1解法一(利用变量代换)设D为D在第一象限，则155064DD1?y?x?y?x积分区域具有对称性的二重积分的简便算法2.71积分区域关于坐标轴对称性质1若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴(或x轴)对称，则二其中D为区域D被y轴(或x轴)所分割的两个对称子域之一．1D解析由于积分区域D关于x轴\y轴均对称性，只需考虑被积函数函数，f(y)为y的奇函数．由此由性质1，有22120y2DDDDDD2.72积分区域关于某直线L对称性质2若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于L对称，则二重积分满足下其中为区域被L所分割的两个对称子域之一．DDn例求，其中D由直线y0，yx，x围成．2解析对任意(x,y)D，有0xy．而当0xy时，222D和D两部分，而D和D关于直线L对称．又cos(xy)关于直线L偶对称．故1212运用导数的定义求极限x0x思路：对具有limf(x)f(x)0或limf(xh)f(x)00形式的极限，可由导数的x0xxh0h0定义来进行计算.解：原式=(lnx)'|1运用定积分的定义求极限[3]n2n2n0n思路：和式极限，利用定积分定义lim1nf(i)1f(x)dx求得极限.n0nn0i1解：原式运用微分中值定理求极限例12：计算limexesinxx0xsinx思路：对函数f(x)在区间[sinx,x]上运用拉格朗日中值定