精选材料力学习题集-【有答案】

PAGE58—PAGE101—材料力学习题集第1章引论1－1图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M。关于固定端处横截面A－A上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比拟合理。习题2-1图正确答案是C。习题2-1图习题2-2图习题2-2图1－2图示带缺口的直杆在两端承受拉力FP作用。关于A－A截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。正确答案是D。习题2-3图1－3图示直杆ACB在两端A、B处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。习题2-3图正确答案是D。习题2-4图习题2-4图1－4等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力FP。关于杆中点处截面A－A在杆变形后的位置〔图中虚线所示〕，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。正确答案是D。1－5图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M，力偶作用面与杆的对称面一致。关于杆中点处截面A－A在杆变形后的位置〔对于左端，由；对于右端，由〕，有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。习题2-5图正确答案是C。习题2-5图习题2-6图习题2-6图1－6等截面直杆，其支承和受力如下图。关于其轴线在变形后的位置〔图中虚线所示〕，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。正确答案是C。第2章杆件的内力分析2－1平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox坐标取向如下图。试分析以下平衡微分方程中哪一个是正确的。〔A〕；；习题2-1图〔B〕，；习题2-1图〔C〕，；〔D〕，。正确答案是B。2－2对于图示承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断以下四种答案中哪几种是正确的。习题2-2图正确答案是B、C、D。习题2-2图习题2-3图2－3梁的剪力图以及a、e截面上的弯矩Ma和Me，如下图。为确定b、d二截面上的弯矩Mb、Md，现有以下四种答案，试分析哪一种是正确的。习题2-3图〔A〕，；〔B〕，；〔C〕，；〔D〕，。上述各式中为截面a、b之间剪力图的面积，以此类推。习题2-4图正确答案是B。习题2-4图2－4应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定。解：〔a〕，〔↑〕，〔↓〕(a-1)(b-1)〔b〕，，(a-1)(b-1)〔↑〕，〔↓〕，〔＋〕(a-2)(b-(a-2)(b-2)〔c〕，〔↑〕，(c)(d)，(c)(d)(c-1)(d-1)〔d〕(c-1)(d-1)〔↑〕，〔↑〕，(c-2)(d-2)(c-2)(d-2)〔e〕，FRC=0(e)(f)，(e)(f)，，(e-1)(f-1)(e-1)(f-1)〔f〕，〔↑〕，〔↓〕(f-2)(e-2)(f-2)(e-2)，(a)(b)(a)(b)∴2－5试作图示刚架的弯矩图，并确定。解：图〔a〕：，〔↑〕，〔↓〕(c)(d)，〔←〕(c)(d)弯距图如图〔a-1〕，其中，位于刚节点C截面。图〔b〕：，〔↑〕，〔→〕(a-1)(b-1)，〔←〕(a-1)(b-1)弯距图如图〔b-1〕，其中。图〔c〕：，〔←〕〔↓〕(c-1)(d-1)，〔↑〕(c-1)(d-1)弯距图如图〔c-1〕，其中。图〔d〕：，，〔↑〕弯距图如图〔d-1〕，其中。习题2-6和2-7图2－6梁的上外表承受均匀分布的切向力作用，其集度为。梁的尺寸如下图。假设、h、l，试导出轴力FNx、弯矩M与均匀分布切向力之间的平衡微分方程。习题2-6和2-7图解：1．以自由端为x坐标原点，受力图〔a〕，∴(a)，(a)方法2．，(b)∴(b)，∴2－7试作2－6题中梁的轴力图和弯矩图，并确定和。解：〔固定端〕〔固定端〕2－8静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如下图。假设A端弯矩，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。习题2-8图解：由FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q载荷，由A、B处FQ向上突变知，A、B处有向上集中力；又因A、B处弯矩无突变，说明A、B处为简支约束，由A、B处FQ值知习题2-8图FRA=20kN〔↑〕，FRB=40kN由，q=15kN/m(c)由FQ图D、B处值知，M在D、(c)kN·mkN·m(d)梁上载荷及梁的弯矩图分别如图〔d〕、〔(d)2－9静定梁的剪力图和弯矩图，如下图，试确定梁上的载荷及梁的支承。习题2-9图解：由FQ图知，全梁有向下均布q载荷，由FQ图中A、B、C处突变，知A、B、习题2-9图FRA=0.3kN〔↑〕FRC=1kN〔↑〕FRB=0.3kN〔↑〕kN/m〔↓〕由MA=MB=0，可知A、B简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图〔a〕或〔b〕所示。(a)(a)(b)(b)2－10静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如下图。假设截面E上的弯矩为零，试：习题2-10图1．在习题2-10图2．画出梁的弯矩图；3．确定梁上的载荷；4．分析梁的支承状况。解：由FQ图知，全梁有向下均布q；B、D处有相等的向上集中力4ql；C处有向下的集中力2ql；结合M，知A、E为自由端，由FQ线性分布知，M为二次抛物线，B、C、D处FQ变号，M在B、C、D处取极值。，FQB=4ql(a)1．弯矩表达式：(a)，，(b)(b)即习题2-11图习题2-11图2．弯矩图如图〔a〕；3．载荷图如图〔b〕；4．梁的支承为B、D处简支〔图b〕。(a)2－11图示传动轴传递功率P=7.5kW，轴的转速n=200r/min。齿轮A上的啮合力FR与水平切线夹角20°，皮带轮B上作用皮带拉力FS1和FS2，二者均沿着水平方向，且FS1=2FS2。试：〔分轮B重FQ=0和FQ(a)1．画出轴的受力简图；2．画出轴的全部内力图。解：1．轴之扭矩：FτN·mFτN·m(b)N(b)NN(c)轴的受力简图如图〔a〕。(c)2．①FQ=0时，NN②FQ=1800N时，(d)(d)NNC1335(e)C1335(e)N，NN·mN·m(f)N·m(f)FQ=0时，FQ=1800N时，N·mDD(g)(g)CDCD(h)(h)习题2-12图习题2-12图2－12传动轴结构如下图，其一的A为斜齿轮，三方向的啮合力分别为Fa=650N，Fτ=650N，Fr=1730N，方向如下图。假设D=50mm，l=100mm。1．轴的受力简图；2．轴的全部内力图。解：1．力系向轴线简化，得受力图〔a〕。(a)N·m(a)N·m，N，N，Nz，z，N(b)2．全部内力图见图〔a〕、〔b〕、〔c〕、〔d〕、〔e〕、〔f〕、〔g〕所示。(b)(d)(d)(c)(c)(g)(e)(f)(g)(e)(f)第3章弹性杆件横截面上的正应力分析(a)习题3-1图3－1桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横截面上的正应力。(a)习题3-1图解：图〔a〕中， 〔1〕截面法受力图〔a〕， 〔2〕FCE=15kN， 〔3〕〔1〕代入〔3〕，得FDE=50kN∴MPaMPa(a)习题3-2图3－2图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度=10kN/m，在自由端D处作用有集中呼FP=20kN。杆的横截面面积A=2.0×10-4m2，l(a)习题3-2图1．A、B、E截面上的正应力；2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。解：由，用截面法求得FNA=40kNFNB=20kNFNE=30kN〔1〕MPaMPaMPa〔2〕MPa〔A截面〕3－3图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试：1．写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；习题3-3图2．假设d=25mm，D=60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec=105GPa和Ea=70GPa，FP=171习题3-3图解：1．变形谐调： 〔1〕 〔2〕∴2．MPaMPa3－4图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；习题3-4图2．FP=385kN；Ea=70GPa，Es=200GPa；b0=30mm，b1=20mm，h=习题3-4图解：变形谐调： 〔1〕 〔2〕1．2．MPa〔压〕MPa〔压〕3－5从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如下图。试求以下两种情形下h与b的比值：1．横截面上的最大正应力尽可能小；2．曲率半径尽可能大。习题3-6图习题3-5图习题3-6图习题3-5图∴〔正应力尽可能小〕2．，得∴〔曲率半径尽可能大〕3－6梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如下图。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为；去掉上、下角后，最大正应力变为，试求：1．k值与h值之间的关系；2．为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。解：， 〔1〕，h=0〔舍去〕，代入〔1〕：3－7工字形截面钢梁，梁横截面上只承受Mz=20kN·m一个内力分量，Iz=11.3×106mm4，其他尺寸如下图。试求横截面中性轴以上局部分布力系沿习题3-7图习题3-7图kN即上半局部布力系合力大小为143kN〔压力〕，作用位置离中心轴y=70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。习题3-8图3－8图示矩形截面〔b·h〕直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y方向正应力习题3-8图1．导出的表达式；2．证明：，为中性面的曲率半径。解：1．先求表达式：(a)(a)即，〔〕即∴ 〔a〕-2．由〔a〕式，令，得y=0，那么- 〔b〕3－9图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试：1．导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式；2．D1=20mm，D2=36mm，D3=44mm；Mz=800N·m；Es=210GPa，Ea=70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力。习题3-9图习题3-9图 〔1〕变形谐调：得 〔2〕， 〔3〕由〔2〕 〔4〕代入〔1〕，得 〔5〕∴ 〔6〕1．，〔〕，〔〕2．MPaMPa3－10由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如下图。塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且Ec=2Et；Mz=600N·m。试求：1．梁内最大拉、压正应力；习题3-10习题3-10图解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化∵Ec=2Et，∴沿截面高度直线的斜率不同∴中性轴不过截面形心。1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc由，得：(a)ht即(a)ht又∵ 〔2〕由〔1〕、〔2〕，得即〔中性轴的位置〕2．其中∴∴MPa〔压〕习题3-11图∴MPa习题3-11图3－11试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。解：〔a〕为拉弯组合〔b〕为单向拉伸∴习题3-12图3－12桥墩受力如下图，试确定以下载荷作用以下图示截面ABC上A、习题3-12图1．在点1、2、3处均有40kN的压缩载荷；2．仅在1、2两点处各承受40kN的压缩载荷；3．仅在点1或点3处承受40kN的压缩载荷。解：MpaMPa1．MPa2．MPa3．在点1加载：MPaMPa由对称性，得在3点加载：MPa，MPa3－13图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚=5mm，管在两端承受轴向载荷FP。开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩m4，Fp=25kN。试求：1．开孔处横截面上点F处的正应力；习题3-13习题3-13图解：kNN·mm21．MPa2．MPa〔在y正向最大位置〕习题3-14图3－14图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷FP，FP=60习题3-14图1．横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h；2．在上述h值下点A的正应力值。解： 〔1〕1．令，∴h=3d=75mm 〔2〕2．由〔1〕、〔2〕式得：MPa习题3-15习题3-15图1．确定截面B－B上的应力分布；2．假定骨骼中心局部〔其直径为骨骼外径的一半〕由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B－B上的应力分布；(b)3．确定1、2两种情况下，骨骼在截面B－B上最大压应力之比。(b)(a)(a)(c)(c)OB(d)(d)O解：1．MPaMPa∴MPaMPa沿y方向应力分布如图〔c〕所示，中性轴为zc。2．MPaMPaMpanMPazC为中性轴，沿y轴应力分布如图〔d〕3．，或(a)习题3-16图3－16正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间局部开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。假设FP=1(a)习题3-16图解：m2m3m3FNx=1kNN·mN·mMPa最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图〔a〕所示。习题3-17图3－17钢制立柱上承受纵向载荷FP如下图。现在A、B、D三处测得x方向的正应变，，。假设钢的弹性模量E=200GPa。试求：习题3-17图1．力FP的大小；2．加力点在Oyz坐标中的坐标值。解：m2m3m3 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕由〔1〕、〔4〕，即 〔5〕由〔2〕、〔4〕， 〔6〕习题3-18图由〔3〕、〔4〕，习题3-18图解〔5〕、〔6〕、〔7〕：mmmmFP=240kN3－18矩形截面柱受力如下图，试证明：1．当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：(a)(a)2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内〔图中虚直线围成的区域〕。解：1．写出K点压弯组合变形下的正应力〔图a〕。(b) 〔1〕(b)将代入〔1〕式，并使正应力为零，得FP所作用的直线方程整理得：2．假设FP作用点确定，令〔1〕式等于零，得截面的中性轴方程〔图b〕：(c) 〔2〕(c)中性轴n－n的截距： 〔3〕说明中性轴n－n，与力FP作用点位于形心C的异侧，说明n－n划分为FP作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区〔见图b〕。如果将〔2〕改写为 〔4〕并且把中心轴上一点〔y,z〕固定，即中性轴可绕该点顺时针转动〔从1―1转到2―2〕由〔4〕式，FP作用必沿直线移动。由〔3〕式，2－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，FP作用点FP1、FP2沿直线，并绕形心也顺时针转向。(d)如果中性轴绕A点从1―1顺时针转动至3―3〔中性轴始终在截面外周旋转〕，那么截面内就不产生拉应力，将A坐标代入〔4〕式：，即FP沿该直线移动。从FP1→FP2→FP3，反之铅垂力FP从FP1→FP2→FP3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂压力在截面核心内作用，那么横截面上不会有拉应力。(d)3－19矩形截面悬臂梁受力如下图，其中力FP的作用线通过截面形心。试：1．FP、b、h、l和，求图中虚线所示截面上点a的正应力；2．求使点a处正应力为零时的角度值。习题3-19图解：，习题3-19图，令，那么，3－20矩形截面柱受力如下图。试：习题3-20图1．=5°，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。习题3-20图2．求使横截面上点b正应力为零时的角度值。解：，1．MPaMPaMPa习题3-21图2．习题3-21图，=4.76°3－21交通信号灯柱上受力如下图。灯柱为管形截面，其外径D=200mm，内径d=180mm。假设截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K解：，=22.62°NN·mMPa习题3-22图MPa习题3-22图3－22No.25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如下图。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。解：m2m3m3kNN·mN·m(a)(a)MPa∴MPaMPaMPa习题3-23图Mpa习题3-23图3－23承受集度为q=2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d=160mm的半圆形。梁斜置如下图。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。(a)解：，，(a)N·m(b)m4(b)m4(c)(c)yCMPa〔左下角A点〕yC最大压应力点应在CD弧间，设为 〔1〕，得：代回〔1〕式，MPa习题3-24图3－24简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如下图。试求N－Ｎ截面上a、b、习题3-24图解：kN·mMPa〔压应力〕MPa〔拉应力〕MPa〔拉应力〕MPa〔拉应力〕4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内局部承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内局部，横截面上的最大切应力增加的百分比。习题4-6图解：1．MPa习题4-6图2．∴3．习题4-7图4－7图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚=6mm。假设二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。习题4-7图解：N·mN·m∴N·mN·m4－8由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2=n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。假设二者横截面上的最大切应力相等，试证明：解：由长度和质量相等得面积相等： 〔1〕 〔2〕 〔3〕由〔2〕、〔3〕式 〔4〕由〔1〕代入〔4〕∴习题4-9图4－9图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为T=Mx。试：习题4-9图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。解：1．(b)(a)∴即：(b)(a)2．由课本〔8－18〕式习题4-10图习题4-10图4－10矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如下图。假设T=400N·m，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。解：MPaMPa4－11图示三杆受相同的外扭转力偶作用。T=30N·m，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；假设三者长度相等，试比拟三者的重量。习题4-11图解：习题4-11图mmmmmm三者长度相同，重量之比即为面积之比。∴习题4-12图4－12直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：习题4-12图1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。解：设轴受T=73.6N·m时，相对扭转角为且 〔1〕T撤消后，管受相对扭转角，那么轴受相对扭转角，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。 〔2〕(a) 〔3〕(a) 〔4〕∴ 〔5〕 〔6〕m4将Ip1、Ip2值代入〔6〕得管：MPa轴：MPa习题4-13图4－13由钢芯〔直径30mm〕和铝壳〔外径40mm、内径30mm〕组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如下图。铝壳中的最大切应力MPa，切变模量Ga=27GPa，钢的切变模量Gs=80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力习题4-13图解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同〔r=15mm〕∴MPa4－14假设在圆轴外表上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是什么应力？答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。小圆方程为：，R为小量小圆上一点，当圆轴扭转时，A无水平位移，所以〔平面假设〕A垂直位移：∴将坐标代入：二次项系数：，所以为椭圆型方程。4－21简支梁受力与截面尺寸如下图。试求N－N截面上a、b两点的铅垂方向的切应力以及腹板与翼缘交界处点c的水平切应力。解：FQ=120kN，形心C位置。mmmm4mm3mm3mm3MPa〔↓〕MPa〔↓〕习题4-21图MPa〔→习题4-21图习题4-22习题4-22图1．绘出梁的剪力图和弯矩图；2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；3．确定梁内横截面上的最大切应力；4．画出横截面上的切应力流。(d)(a)解：1．图〔a〕：(d)(a)kN，kN剪力与弯矩图如图〔b〕、〔c〕；(c)(b)2．形心C(c)(b)(e)(e)MPaMPa3．m3MPa4．切应力流如图〔e〕。4－23木制悬臂梁，其截面由7块木料用A、B两种钉子连接而成，形状如下图。梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力FP作用。FP=6kN，mm4；A种钉子的纵向间距为75mm，B种钉子的纵向间距为40mm1．A类钉子每个所受的剪力；2．B类钉子每个所受的剪力。解：mm4mm3每根A种然受剪力：Nmm3每根B种钉子受剪力：N习题4-23图4－24由四块木板粘接而成的箱形截面梁，其横截面尺寸如下图。横截面上沿铅垂方向的剪力FQ=3.56kN。试求粘接接缝A、习题4-23图解：mm4mm3MPamm3习题4-24图(a)(b)Mp习题4-24图(a)(b)4－25图示两根尺寸相同的木梁，左端用垫木和螺栓将二者固结在一起，右端用直径d=10mm的钢制螺栓拧紧。假设木梁中最大正应力不允许超过47MPa，钢制螺栓中最大正应力不允许超过400MPa，试分析当不断拧紧钢制螺栓时，木梁和钢制螺栓中的最大正应力哪一个先到达其极限值。解：木梁视为悬臂梁，螺栓视为平面拉伸，设螺栓受力FP，那么习题4-25图MPa 〔1习题4-25图木梁中固定端MPa 〔2〕由〔1〕N 〔3〕由〔2〕N 〔4〕由〔3〕、〔4〕式可知，木梁中最大正应力先到达极限值。4－26悬臂梁受国力如图a所示。假设将梁从中性面处分成两局部，下面局部如图b所示。试：1．确定中性面上的切应力沿x方向的变化规律；2．分析中性面以上或以下局部是否平衡，如何平衡。解：(a)(b)(a)(b)习题4-26图(a)(b)(c)习题4-27(a)(b)(c)习题4-27图(d)(e)(f)(d)(e)(f)第5章应力状态分析5－1木制构件中的微元受力如下图，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：(b-1)(a-1)1．面内平行于木纹方向的切应力；(b-1)(a-1)习题5-1图2．垂直于木纹方向的正应力。习题5-1图习题5-习题5-2图解：〔a〕平行于木纹方向切应力MPa垂直于木纹方向正应力MPa〔b〕切应力MPa正应力(a)MPa(a)5－2层合板构件中微元受力如下图，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。假设胶层切应力不得超过1MPa。试分析是否满足这一要求。解：MPaMPa，不满足。习题5-2图习题5-2图解：左微元叠加面内最大切应力：该点最大切应力：左微元，，右微元，，叠加，，，，面内该点叠加主应力面内及该点：MPa5－4平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由外表AB相垂直的面上，其值为。试求应力分量、和。解：(a)(a)习题5-5图习题5-4图(a)(a)习题5-5图习题5-4图αααα5－5从构件中取出的微元受力如下图，其中AC为自由外表〔无外力作用〕。试求和。解：∴MPaMPaMpa(a)习题5-6图5－6构件微元外表AC上作用有数值为14MPa的压应力，其余受力如下图。试求和。(a)习题5-6图解：解得MPaMPa习题5-7解图习题5-7图5－7受力物体中某一点处的应力状态如下图〔图中习题5-7解图习题5-7图((a)解：应力圆半径5－8从构件中取出的微元，受力如下图。试：1．求主应力和最大切应力；习题5-8习题5-8图(b)(a)(b)(a)解：1．主应力(c)(c)MPa2．主平面，作用面位置。主平面，5－9一点处的应力状态在两种坐标中的表示方法分别如图a和b所示。试：1．确定未知的应力分量、、的大小；(c)习题5-9(c)习题5-9图解：1．代入数据MPaMPaMPa2．(b-1)40MPa(b-1)40MPa200MPa15090(a-1)(b)(a)5－10试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。(a-1)(b)(a)习题5-10图解：图〔a〕：MPa图〔b〕：MPa5－11对于图示的应力状态，假设要求其中的最大切应力＜160MPa，试求取何值。解：1．当半径r＞OC习题5-11图习题5-11图即183.3MPa时 〔1〕解得<152MPa 〔2〕习题5-12图由〔1〕、〔2〕知，显然不存在。习题5-12图2．当r＜OC即＜183.3MPa时解得＜120MPa所以，取＜120MPa。5－12对于图示的应力状态，假设要求垂直于xy平面的面内最大切应力150MPa，试求的取值范围。(a)(b)(a)(b)r=1501．MPaMPaMPa2．MPaMPa5－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿201．只承受轴向载荷FP=250kN；2．只承受内压p=5.0MPa〔两端封闭〕(a)习题5-13图3．同时承受轴向载荷FP=250kN和内压p=5.0MPa〔两端封闭〕(a)习题5-13图(b)(b)解：〔1〕图a：MPa〔压〕MPaMPa〔2〕图b：MPaMPaMPaMPa〔3〕图a、图b叠加：MPaMPaMPaMPa所以也可〔1〕与〔2〕结果叠加得到。习题5-14图5－14图示的薄壁圆筒，由厚度为8mm的钢板制成，平均直径1m。钢板外表上点A沿图示方向正应力为60MPa。试求圆筒承受的内压p习题5-14图(a)解：(a)pp习题5-15图MPa习题5-15图5－15图示外径D=760mm、壁厚=11mm的钢管，上端与蓄水池A连接，下端与泵房B连接。水的密度=1000kg/m3。试求钢管在静态下的最大正应力与最大切应力。解：管内内压MPaMPaMPa5－16结构中某一点处的应力状态如下图。试：1．当，MPa，MPa时，测得由、引起的x、y方向的正应变分别为，。求结构材料的弹性模量E和泊松比的数值。2．在上述所示的E、v值条件下，当切应力MPa，MPa，MPa时，求。解：〔1〕两式相除习题5-16图习题5-16图解得MPa〔2〕MPa(a)习题5-17图5－17图示结构中，铝板的左边和下边被固定，上方与右方与刚性物体之间的间隙分别为=0.75mm，=1.0mm。E=70GPa，=0.33。℃。试求温升=40℃和=80(a)习题5-17图解：〔1〕当=40℃mm＜mm＜所以铝板内无温度应力，〔2〕当=80℃mm＞mm＞∴ 〔1〕 〔2〕所以解得qx=qy=70MPa〔压〕，MPaMPa5－18对于一般平面应力状态，材料的弹性常数E、，且由实验测得和。试证明：解： 〔1〕 〔2〕〔1〕＋〔2〕，〔1〕－〔2〕，∴，5－19图示构件在z方向上的正应变被限制为零，即=0。这时垂直这一方向上的截面保持平面，而且两相邻截面间的距离保持不变，此即所谓平面应变问题的一种。、和E、。试证明：习题5-20图习题5-19图习题5-20图习题5-19图解：=0，，所以5－20承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如下图。内压p=3.5MPa，材料的E=75GPa，=0.33。试求圆筒的半径改变量。解：MPaMPaMPa习题5-21图5－21液压缸及柱形活塞的纵剖面如下图。缸体材料为钢，E=205GPa，=0.30。试求当内压p=10MPa时，液压缸内径的改变量。习题5-21图解：缸体上MPaMPa5－22试证明对于一般应力状态，假设应力应变关系保持线性，那么应变比能解：应变比能 〔1〕广义胡克定律 〔2〕〔2〕代入〔1〕得：5－23试求图a中所示的纯切应力状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图b中。然后，应用习题5－22中的结果，分别计算图a和b两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：习题5-23图习题5-23图解：，，由〔a〕图由〔b〕图两式相等∴5－24试证明主应力为、、的三向应力状态，其体积应变为解：由广义胡克定律：体积应变第6章杆件横截面的位移分析6－1直径d=36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如下图。假设不考虑杆的自重，试：1．求C、D二截面的铅垂位移；(a)习题6-1图2．令FP1=0，设AC段长度为l1，杆全长为l，杆的总伸长，写出E的表达式。(a)习题6-1图解：〔1〕mmmm〔2〕令(a)习题6-2图6－2承受自重和集中载荷作用的柱如下图，其横截面积沿高度方向按变化，其中为材料的比重。试作以下量的变化曲线：(a)习题6-2图1．轴力；2．应力；3．位移。解：〔1〕，〔2〕〔3〕，当。∴，那么(a)(b)12kN12kN24kNBE24kN6－3图示连接件由两片宽20mm、厚6mm的铜片与一片同样宽厚的钢片在B处连接而成。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa，Ec(a)(b)12kN12kN24kNBE24kN习题6-3图习题6-3图解：mmmm(b)(a)习题6-4图6－4长为1.2m、横截面面积为m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，假设二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且钢和铝的弹性模量分别为Es=200Gpa，Ea=70GPa，FP=60kN。试求钢杆上C处位移。(b)(a)习题6-4图解：〔其中uA=0〕∴mm钢杆mm习题6-5图6－5变截面圆锥杆下端B处固定，上端A处承受外力偶矩T作用，如下图，试证明A端扭转角表达式为习题6-5图解：Mx=T6－6试比拟图示二梁的受力、内力〔弯矩〕、变形和位移，总结从中所得到的结论。解：两者弯矩相同，挠曲线曲率相同，但〔b〕梁的最大挠度比〔a〕梁要大，即不相等。(a)(b)习题6-6图(a-1)(a-1)(b-1)(b-1)(b-1)(b-1)(b-2)(a-2)(b-2)(a-2)习题6-7习题6-7图习题6-11图习题6-11图解：采用左手系：，定初参数，∵∴〔↓〕6－12具有中间铰的梁受力如下图。试画出挠度曲线的大致形状，并用奇异函数表示其挠度曲线方程。习题6-12图习题6-12图解：〔1〕作弯矩图〔a〕，确定图，画出挠曲线形状，由边界，中间铰和连续，以及AB上凹，BD下凹可画出图示挠曲线图〔b〕。〔2〕求支座反力：FRA=FP〔↓〕，MA=FPl〔顺〕，FRC=2FP〔↑〕AB段：〔↑〕由连续条件：〔↑〕由，定初参数。AB段挠曲线方程〔原点在点A〕：〔〕BD段挠曲线方程〔原点在点B〕：习题6-13习题6-13图解：将阶梯梁化为等直截面梁〔图a〕支反力FRA=FP〔↑〕，MA=2FPl〔逆〕挠度方程，积分常数由固定端的挠度和转角均为零确定。(b)(a)6－14试用叠加法求以下各梁中截面A的挠度和截面B的转角。图中q、l、EI等为。(b)(a)习题6-14图(a(a-1)(a-2)(a-3)(b(b-1)(b-1)(b-3)解：〔1〕〔逆〕〔2〕〔↑〕〔3〕〔顺〕〔4〕〔↓〕(c)习题6-15图6－15结构受力简图如下图，D、E二处为刚结点。各杆的弯曲刚度均为EI，且F、l、EI等均为。试用叠加法求加力点C处的挠度和支承B处的转角，并大致画出AB局部的挠度曲线形状。(c)习题6-15图(b)(a)(b)(a)ll(d)(d)(θ(θE)4(f)(θ(θD)2(e)(g)解：〔1〕的转角(g)〔顺〕〔2〕C处挠度〔垂直位移〕〔↓〕6－16由两根横截面均为a·a正方形的所组成的简单结构，受力如下图。a=51mm。FP=2.20kN，E=200GPa。试用叠加法求点习题6-16习题6-16图解：kNmmmmmm6－17结构简图如下图，其中ABC为刚架，杆BC上承受均布载荷q，B处为刚结点，各杆的弯曲刚度均为EI，BD为拉杆，拉压刚度为EA。q、l、EI、EA等均为。用叠加法试求：1．截面C的铅垂位移；2．在什么情形下可以忽略拉杆变形对截面C铅垂位移的影响，什么情形下那么不能。(a)解：1．，(a)2．习题6-17图习题6-17图(b)(b)当时，可忽略拉杆变形。(c)(c)(a)(b)习题6-18图6－18结构受力与支承如下图，各杆具有相同的EI，B、C、D三处为刚结点。F、l、EI等均为。用叠加法试求(a)(b)习题6-18图解：，得FRE=0，得FRA=FPAB杆没横力，所以该杆不弯曲，所以略去其轴力变形并利用对称性。〔→〕6－19长度为l的等截面直梁的挠度方程试求：1．梁的中间截面上的弯矩；习题6-19解图FRr习题6-19解图FRrFRlq03．分布载荷的变化规律；4．梁的支承状况。解：〔1〕〔2〕令FQ=0，，〔3〕〔↓〕〔4〕，两支座无集中力偶〔↑〕〔↑〕最后得载荷，支座如图〔a〕。习题6-20解图6－20长度为l的等截面直梁的挠度方程为习题6-20解图试求：1．梁内绝对值最大的弯矩和剪力值；2．端点x=0和x=l处的支承状况。解：〔1〕令得〔2〕，左端可动铰支座。，右端固定。习题6-27图6－27钢杆BE和CD具有相同的直径d=16mm，二者均可在刚性杆ABC中自由滑动，且在端部都有螺距h=2.5mm的单道螺纹，故可用螺母将两杆与刚性杆ABC连成一体。当螺母拧至使杆ABC处于铅垂位置时，杆BE和CD中均未产生应力。弹性模量E=200GPa。试求当螺母C再拧紧一圈时，杆CD横截面上的正应力以及刚体ABC上