《Dandelin双球实验》说课

Dandelin双球实验2022年5月合肥市第一中学胡媛媛人民教育出版社B版普通高中教科书数学选择性必修第一册目录实验教材内容一

学生学情分析二

实验教学目标三

实验器材准备四实验原理五实验教学过程六

实验创新点七

实验效果评价八一、实验教材内容一、实验教材内容一、实验教材内容一、实验教材内容利用Dandelin双球模型证明圆柱及圆锥的截口曲线满足椭圆的定义.教学重点：二、学生学情分析二、学生学情分析本实验的授课对象是合肥市第一中学高二（32）班的学生知识基础

他们在初中已经掌握了圆的切线知识，在高一学习过圆柱、圆锥、球以及平面的相关知识，对空间位置关系的研究也有一定的体会，现在他们又刚刚学习过椭圆的定义，这些都为本实验的开展提供了知识准备.能力发展

本实验中的椭圆截面在立体图形中，椭圆焦点位置的确定，焦半径的转化过程都较为抽象，而高二学生的能力发展正处于从形象思维到抽象思维的转折阶段，但更注重形象思维，需要我们借助一些直观的教具进行实验操作，加强学生对空间位置关系的认知，帮助学生发现规律，从而发展学生的直观想象和数学抽象的核心素养.椭圆焦点位置如何确定，焦半径如何转化.教学难点：一、实验教材内容三、实验教学目标三、实验教学目标123

学生合作讨论、设计实验方案，发展学生发现问题、提出问题的能力的同时，体会与他人合作的重要性.

结合Dandelin双球的圆柱模型和圆锥模型，理解截口曲线为椭圆的证明过程，感受数形结合的基本思想，发展学生分析问题、解决问题的能力.利用GeoGebra软件模拟Dandelin双球实验，提高应用信息技术学习数学的能力，培养数学探索的精神.四、实验器材准备四、实验器材准备

圆柱形容器、乒乓球、高透明塑料薄片、皮筋、固体胶、记号笔、尺子、激光切割机、3D打印机、GeoGebra软件等.一、实验教材内容五、实验原理五、实验原理

在圆柱内放两个半径与容器口径一致的球，使得它们分别与圆柱侧面、截面相切.两个球分别与截面相切于点E、F，在截口曲线上任取一点P，过点P作圆柱的母线，分别与两个球相切于点Q、R.由球和圆的切线性质可知，|PE|=|PQ|，|PF|=|PR|，于是|PE|+|PF|=|PQ|+|PR|=|RQ|.由切点Q、R的产生方法可知，它们之间的距离|RQ|是定值，且|RQ|>|EF|.这样，截口曲线上任意一点P到两个定点E、F的距离之和为常数.由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆.

同样地，在圆锥中放置两个大小不同的球后，方法类似.一、实验教材内容六、实验教学过程（一）讨论分组

圆柱与圆锥的截口曲线都可以是椭圆，课本上借助试管即圆柱形容器嵌入两球证明椭圆定义，虽然可以降低学生处理模型的难度，但圆柱模型无法导出双曲线和抛物线，不利于后续深入研究.同时，可视化信息软件可以帮助我们动态观察截口曲线.学生分为两组，一组利用圆柱探究Dandelin双球模型，即圆柱组，一组利用圆锥探究Dandelin双球模型，即圆锥组.每一组又分为两个小组，A组做实物实验，即器材组，B组则做GeoGebra软件模拟实验，即GeoGebra组.六、实验教学过程（二）实验阶段六、实验教学过程实验1：圆柱形容器内的双球实验【设计意图】把水面实体化为透明薄片，再嵌入两个半径与容器口径一致的小球，做出Dandelin双球的圆柱模型，方便学生利用对称性更快测量出椭圆的“定长”，也为后面圆锥内的Dandelin双球模型做铺垫.六、实验教学过程实验2：GeoGebra软件模拟圆柱形Dandelin双球实验【设计意图】利用GeoGebra软件的动画功能，展现了圆柱内截面椭圆的一个动态的变化过程，最后通过改变截面的倾斜角度，得到大小不一的椭圆，证实了椭圆体系的严谨性.（二）实验阶段六、实验教学过程实验3：圆锥形容器内的双球实验【设计意图】利用3D打印技术制作Dandelin双球的圆锥模型，借助这样的过程，将所有关键元素实体化，使学生获取更多的感性认知和数学信息.（二）实验阶段六、实验教学过程实验4：GeoGebra软件模拟圆锥形Dandelin双球实验【设计意图】利用GeoGebra软件的动画功能，展现圆锥内截面椭圆的一个动态的变化过程，通过改变截面的倾斜角度，不仅可以得到大小不一的椭圆，证实椭圆体系的严谨性，同时，也发现了圆锥的其他截口曲线，为学生进一步探究圆锥曲线提供了方向.（二）实验阶段（三）作业布置

必做题：1.请大家课后按组整理实验报告.（附版式）2.梳理圆锥的截面图形有哪些？选做题：3.仿照今天的方法，利用Dandelin双球模型证明双曲线的第一定义.4.查找资料，了解用Dandelin双球模型推导圆锥曲线的第二定义的方法，体会三种曲线的联系与区别.六、实验教学过程七、实验创新点七、实验创新点

（一）注重数学与生活之间的联系.实验1中，学生利用了亚克力有机玻璃管、乒乓球、塑料薄片、皮筋等生活中常见的物品进行实验，他们非常熟悉这些实验器材的相关特性，也更容易得出实验需要的相关结论；同时，实验1中还借助了像利用少量的水找到薄片与球的切点位置这样的生活中的小窍门，反映了数学来源于生活的智慧.（二）3D打印先进技术的运用.实验3中，在教师的指导下，学生利用3D打印技术做出Dandelin双球的圆锥模型，接轨前沿科技，学生经历思考、探索与操作实践的完整过程，是数学与工程应用的完美融合，促进了学生的设计思维，注重了学生创新性的培养.（三）可视化信息技术的运用.实验2和实验4中，利用GeoGebra软件的动画功能，创造出更直观、便捷的数学情景，提升了学生运用信息技术自主探究的能力.一、实验教材内容八、实验效果评价八、实验效果评价（一）学生通过商讨确定了实验分组与实验方案，最后才有这节课的呈现，在这个过程中，大家既锻炼了自己的能力，也体会到了与他人合作的重要性.（二）学生经历了自己制作实验器材的过程，锻炼了动手能力.另一部分学生又能够利用自己信息技术上的优势，从器材实验中抽象出数学模型，做到了从实际到抽象的一个过程，更全面地给更多的同学展示了数学实验的魅力，这也是我们引