工学第九章正弦稳态电路分析

第九章正弦稳态电路的分析（上接第八章第二次课）§8-4电路定律的相量形式§9-1阻抗和导纳§9-2阻抗（导纳）的串联和并联（一）教学目标1、掌握电路定律的相量形式。2、握阻抗和导纳的概念及串并联运算。（二）教学难点1、L、C元件电压、电流的相位关系。2、感抗、容抗随频率变化。3、容性、感性、阻抗角。（三）教学思路1、推导出基尔霍夫定律的相量形式。2、根据R、L、C元件的时域伏安关系得出相量形式的伏安关系。3、举例说明相量法。4、开始第九章第一、二节。（四）教学内容和要点§9-1阻抗和导纳§9-1阻抗（导纳）的串联和并联一．阻抗1．定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为Z，注意：此时电压相量U与电流相量I的参考方向向内部关联。

一人Uu/wZ2-=u（复数）阻抗（。）II2i=|Z|/w=R+jX其中|Z|=I（。）一阻抗Z的模，即阻抗的值。①二w-w—阻抗Z的阻抗角ZuiR=图cosQ（。）一阻抗Z的电阻分量X=|Z|sinQ（。）一阻抗Z的电抗分量阻抗三角形0+UR阻抗三角形0+UR=RIr那么电感元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为jL<YY\jL<YY\=j①LIL那么Z=j3L=L那么L IL

电容的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为1I Jcc-IUCC1c=j3CUc•1•1•U=——I=-j——ICj3CC3CC那么Z那么Z=-j—C%C.欧姆定律的相量形式U=ZI电阻、电感、电容的串联阻抗：在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗ZeqZeqZeqUzI+zI+zI=——=S. L C—• •\o"CurrentDocument"I I=R+=R+jcL+=R+jX：jXc=R+jX=|z|/中其中：阻抗Z的模为IzI=\；R2+X2X+X lr cX+X lr c=arctg3L—1/3C。RggzR可见，电抗X是角频率3的函数。当电抗X〉0（3L〉1/3C）时，阻抗角%〉0,阻抗Z呈感性；当电抗XV0（3LV1/3C=时，阻抗角%<0,阻抗Z呈容性;当电抗X=0（3L=1/3C）时，阻抗角%=0,阻抗Z呈阻性。.串联阻抗分压公式：引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得知，若端口正弦稳态电路的各元件为串联的，那么其阻抗为Z二£zkk=1串联阻抗分压公式UkzUkz= k-eq．导纳1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为Y,即复导纳（S）复导纳（S）Y- i-zuuzvUu=Y\ZvY=G+jBI* o+u其中Y=U—导纳Y的模（S）Q=Vi-Vu=f—导纳Y的导纳角。

(S)一导纳y的电导分量G(S)一导纳y的电导分量B=|^|sinWy(s)—导纳Y的电纳分量导纳三角形导纳三角形可见，同一二端网络的Z与Y互为倒数特例：TOC\o"1-5"\h\z电阻的导纳Y=1=G^^ZRR R电容的Y=j3C=jB-^ZB电容的电纳，简称容纳。C C CC电感的Y=-j'T=jB-^ZBt称为电感的电纳，简称感纳;L ①L L LL2.欧姆定律的另一种相量形式I=YU若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，那么其导纳为Y=1LYkk=1并联导纳的分流公式：-Y-I=—IIkYeqRLC并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳Y=Y=Y+Y+Y=—+—1—+j3crLC Rj3L=—+j(3C--)=G+jB=IYI/①R 3L Y可见，等效导纳Y的实部是等效电导G(=1/R)=|Y|cos%；等效导纳Y的虚部是等效电纳B=1Y|sin%=BC+BL=aC-l/aL,是角频率3的函数。导纳的模为：Iy|=\,G2+B2导纳角分别为:①二arctg导纳角分别为:①二arctg互=arctgyG3C—1/3LG由于电纳B是角频率3的函数，当电纳B〉0（3C〉1/3L）时，导纳角%〉。，导纳Y呈容性;当电纳B<0（3C<1/3L）时，导纳角①Y<。，导纳Y呈感性;当电纳B=0（3C=1/3L）时，导纳角％=0导纳Y呈阻性。RRRRRR———i2nR+R127ZZZ——1_2—Z+Z12•Z•/力-一］Z1•Z•/力-一］Z1Z+Z12I- 2——IR1R+R12三.对同一网络其中：G(3)-R2(3*2(3)，B(3)-R2君〔(3)，Q-fz一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效阻抗Zj3）是外施正弦激励角频率3的函数，即Z（j」）=R（G）+jX（加式中R（3）=Re[Z（j加]称为Z（j加的电阻分量，X（加=Im[Z（九）]称为Z（%）的电抗分量式中电阻分量和电抗分量都是角频率3的函数。所以，要注意到电路结构和R、L、C的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率3不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。如下图电路的等效阻抗

ZeqR-j3L/.1、R-j3L(R—j3L)/.1、--——十(—j——):一---——--+(—j——)R+j3L 3C R2+(3L)2 3ZeqR(3L)2R(3L)2.-----+jR2+(3L)2—R2+(3L)23C=R（3）+jX（3） 可变，找不到适于任何场合下的等效电路同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳Y（j。）也是外施正弦激励角频率①的函数，即Y（j-=G（加+（加式中G（G）=Re[Y（j。）]称为Y（j。）的电导分量，B（①）=Im[Y（j。）]称为Y（j。）的电纳分量。电导分量和电纳分量也都是角频率。的函数。所以要注意到电路结构和R、L、C的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率。不同的外施正弦激励言，其等效导纳是不同的。四.电路的计算完全与电阻电路一样j3C+UR2j3C+UR2Zeq=>TOC\o"1-5"\h\z1t 1 . • 1•、• . 1.U--(j3CU2+—U2)+U2 j3C+—+j3CZ-—=j3C22R?2 2= 2R2 1eqv , , 1 1、IgmU2+j3C2U2+RU2 j3C1(gm+j3C2+R2)§9-3电路的相量图§9-4正弦稳态电路的分析（一）教学目标1、会用相量法计算正弦稳态电路。2、能用相量图定性分析正弦稳态电路。（二）教学难点1、相量图的参考相量如何选择以及理解。2、根据时域电路正确画出相量模型。3、计算过程与电阻电路类似，但物理概念不同，所得相量均表示正弦量。（三）教学思路1、举例说明相量法计算正弦稳态电路。2、在例题中讲解如何画相量图。（四）教学内容和要点例1:已知：心）=40<2cos3000/V，求：，•（（）,心”i(t)Jc(t)上1/6吁i(t)Jc(t)上1/6吁IpH1.5k。+(吐1k。-j2k-j2k。jl-jl- 1/90jl-jl- 1/90。 1= 1=

(1-j2)+j11-j1 J2/-45。xl6/-36.9°=8<2/98.1°mA解：将电路转化为相量模型Z=j3L=j3000x1=jlkQ3Z二—j =UL=40/=UL=40/0°=16/-36.9。mAC 3000x1x10-66Z=(1—药5+1.5=2^1+1.5=(Z 2.5/36.9°eq+j1)(1-j1)+1.5=2+j1.5kO=2.5/36.9°kOeq(1-j2)+Z 2.5/36.9°eqi=—匕工—1=1-1=25.3Z-553mAL(1-j2)+j1Ci(i=—匕工—1=1-1=25.3Z-553mAL(1-j2)+j1Ci(t)=16%2cos(30001-36.9。)mAi(t)=16cos(3000t+98.1。)mACi(t)=25.3<2cos(30001-55.3。)mAL例2：已知：U=100V,I=5A,且U超前I53.1°,求R,XLU= =20/53.1=Zeq5/0°12+j16QR=12。,

eqX=16。eqR•X2

L-

R2+X2LR2•X

L-

R2+X2L=12=16R=吧。3X=25。L解法2：令U=100N00—纯实数，那么I=5/-53.1A=3-j4A/IRIL100/0。==j25。U100/0。= =j25。I -J4L

例3：已知I=2A,I=<2A,X=100Q，且U与I同相，求U=?TOC\o"1-5"\h\zC R L CjXC=Rv2Z0°V；FU=Rv2Z0°V解1代数法：令/R=*'2/0°A，那么uR R; R2AI=——=—j ALjXL1001C=1R+1L=Hj蜉2=、w2)2+(R002)2R=100QU=100J2/0VI=—j<2AI厂=I+1=<2/—45°AR L CRLZeq+j

RZeq+j

R+jXl*UIC+50+j50=—IC丁U丁U与IC同相ImrZ]=0Leq-即X+50=0那么X=—50QU=jXI+U=—j50X2/-45O+100v"2=50<2—j50x2=100/—45OV」cCR,U=100V相量图法:=UL相量图法:=UL由电流三角形l="C-1R=2AAU=U=XI=100V2VRLLLa=tg-iIL=45。IR由电压三角形U=Ucosa=100VR在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、电流关系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图。与反映电路中电压、电流相量关系的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间的关系，特别是各相量的相位关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重要手段。通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和电路的KCL、KVL方程定性地画出电路的相量图。在画相星图时，可以选择电路中某一相量作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定。参考相量的初相可任意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相量的初相改变同一数值，而不会影响各相量之间的相位关系。所以，通常选参考相量的初相为零。在画串联电路的相量图时，一般取电流相量为参考相量，各元件的电压相且即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。在画并联电路的相量图时，一般取电压相量为参考相量，各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。例4：已知：X例4：已知：XL1>XC1，XL3<1XC3，定性作出相量图jXL2解：1.取11为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向。.作UR1*.作UL1.作Ud.作0°=U+U+0「.L2R1L1C1

.作/2.作/3=11+/23 12.作UR3R3.作UL3.作UC311.作U=UL2L2+u+u+uR3L3C3UUC1UL3"UJiUR解：首先画出时域电路对应的相量模型‘1=a,，12=，b

(3+j4)/a-(j4)/b=US=10Z0°-j4/a+(j4-j2)/b=-24‘1='a,•(3+j4)/a-j44=10(2—j4%+j2Ib=0Ib=10-j40j23+j42Ib=10-j40j23+j42-j43+j42-j4j2020/900-j4 -8+j14+1616.12/60.26°j2100 -20+j408+j14 8+j14 16.12/60.260=1.24/29.74°A=44.72/116.57°=2.77/56.31A1/0°A5Q--j101/0°A5Q--j10QT卜-j5Qj5Q10Q-j0.5A...I=I=1.24/29.74A即i(t)=1.24%2cos(1031+29.74O)A1a iI=I=2.77/56.31A即i(t)=2.77<2cos(1031+56.310)A2b 2例6：相量模型如图，试列出节点电压相量方程Un2j10Un2解：(1+_L++-+L)U-(―+—)U=1/0。解5-j10j10-j5 n1j10-j5 n21 1 ・ 111 1- ._-(——+——)U+(+—+——+——)U=-(-j0.5)j10-j5n110j5-j5j10n2

(0.2+j0.2)Un1—j0.lUn2=l、一j0.1“1+(0.1—j0.l)“2=j0.5解1.求UOC.一/.八/.八・UOC=jl6x--(-j4)x-=J1O/=2=22-36.9A/= i = -8+1(j16-j4) 8+j6平衡条件：Z1Z4二Z24Zr二zjzj/即1+、)=z2nz3/(92+93)仔1||Z4|二区jz3|9+9=9+91423取一组相邻桥臂为电阻，Z=R,11=92，即另一组相邻桥臂阻抗性质要相同。+9=023-j4Q”二—,=R,4取一组相对桥臂为电阻，Z=R,Z114/sc:11—1j16—j4j16—j420Z0o240Z90oQQj16x(—j4) 160/36.9°8+2, 1.5/53.TA3.j16—j4ISC=2.5/53.1°Aeq4.I0zeqIsc二僦殁1：二8Q2.5/53.1UOC20/53.TZ+j6 10/36.9°eq=2/16.2°A§9-5正弦稳态电路的功率§9-5复功率§9-6最大功率传输(一)教学目标1、掌握瞬时功率、有功、无功的概念和物理意义。2、掌握有功、无功、视在功率的计算及其相互关系。3、掌握复功率的概念和计算。4、掌握最大功率传输问题的计算。5、了解有功的测量方法。(二)教学难点1、有功、无功物理意义。2、如何提高功率因数。(三)教学思路1、图解说明瞬时功率的波形。2、引出有功、无功的概念和物理意义，功率三角形，提高功率因数。3、引出复功率的概念和计算。4、举例说明功率计算。5、最大功率传输问题。(四)教学内容和要点§9-5正弦稳态电路的功率．瞬时功率如图所示的任意一端口电路N0,在端口的电压u与电流i的参考方向对电路内部关联下，其吸收瞬时功率p(t)=u(t)-i(t)若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为u(t)=、:2Ucos3ti(t)=21cos(31-p)式中V=0为正弦电压的初相位，uV=-p为正弦电流的初相位，iV=V-v=p为端口上电压与电流的相位差。Zui那么在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为那么p(t)=J/2UCOS3t,\：’21cos(31-p)=UI[cosp+cos(231-p)]=UIcosp+UIcos(231-p)常量两倍于原频率的正弦量=UIcosp+UIcos231cosp+UIsin231sinp=UIcosp(1+cos231)+UIsin231sinp不可逆部分P(t)(>0)可逆部分P(t)R X4口二.平均功率P=—fTp(t)dt=UIcospT0可见：1.P是一个常量，由有效值U、I及cosp,(p=Wu-Wi)三者乘积确定，量纲：W.当P〉0时，表示该一端口电路吸收平均功率P；当P<0时，表示该一端口电路发出平均功率IPI。.单一无源元件的平均功率：P=UI,P=0,P=0。R L C0<p<90。感性］P>0，始终消耗功率。—90°<p<0°容性三.无功功率正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分的振幅)定义为无功功率Q,即Q二UIsinp可见：1.Q也是一个常量，由U、I及sinp三者乘积确定，量纲：乏(Var)

Q=0,Q=UI,Q=-UIRL C0<<P<90。Q>Q 吸收无功功率-90<（p<0。Q<Q 发出无功功率四．视在功率S=UI，反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率），量纲：伏安（VA）。P、Q和S之间满足下列关系 S2=P2+Q2即有 S=\P2+Q2,tg中二Q/P功率三角形功率三角形P=UIcos9=Scos9Q=Ssin9五．功率因数及其提高1.定义：当正弦稳态一端口电路内部不含独立源时，cos9用人表示，称为该一端口电路的功率因数。Pcos9=S-90<（p<90°cos（p>0••••I超前U指容性网络，I滞后U指感性网络。2.功率因数的提高：例1：在f=50Hz,U=380V的交流电源上，接有一感性负载，其消耗的平均功率P=20kW，其功率因数cos9=0.6。求：线路电流I。若在感性负载两端并联一组电容1 11器，其等值电容为374川，求线路电流I及总功率因数cos9。

解：感性负载P20000

1 = U解：感性负载P20000

1 = Ucos①380x0.6=87.72A令力=380N0。V,那么1==87.72Z-53.1。A==jc^CU=j2nx50x374x10-6x380/0°=j44.6AC1=/=+iC=58.5Z-25.8°A,那么I=58.5A,cosp=cos25.8°=0.9并联电容的作用：减小电流，提高功率因数*感性负载吸收的无功功率一部分由电源提供,一部分由电容提供。给定P、cos①，要求将cos①提高cos^，求C=?11 1I=Isin①-1sin中=Psin，i-Psin①=P(tg①-tg①)=3CUC1 1 Ucos①Ucos①U1一1PC=——(tg①-tg⑺3U2 1

§9-5复功率*设匕=。/v,i=//w，且i=//—▼TOC\o"1-5"\h\zu i i*Z那么s=(ji=UN.IZ-v=UI/皿-V)=SZ9u i uiZ=P+jQ(VA)=S•cos①+jS•=P+jQ(VA)\o"CurrentDocument"Z Z**S=UI=ZII=Zl2=(R+jX)12.・.P=RI2=Re[z]•12Q=XI2=Im[Z].I2**〜••••••i . 东 ■一. .S=uI=UBY)*=YUU=(G-jB)U2P=GU2,Q=-BU2功率守恒情况：瞬时功率守恒：p(t)=Zp(t)k平均功率守恒：在一端口正弦稳态电路吸收的平均功率等于该电路内各电阻所吸收的平均功率之和。p二p工RI2k kk无功功率守恒：在一端口正弦稳态电路吸收的总无功功率等于电路内各电感和电容吸收的无功功率之和。Q工Q工X12工(X+X)12k kk Lk Ckk复功率守恒：在一端口正弦稳态电路中，总复功率等于该电路各部分的复功率之和。S=ESk=Z(p+jQ)=Ep+jEQk kk k k视在功率不守恒：应该注意，在一般情况下，总视在功率不等于该电路各部分的视在功率之和。因为一般情况下复数之和的模不等于复数的模之和。例2：已知:,求U=?解：设：/=5/0°A，那么：/T=3Z-90°A，/=8Z90OA

L C1=/r+/l+/c=5<2/45。AP=Re[z]12+RI2nR=RP-Re[Z]12 =4QU=Z•1+R•IR=(2+j2)5<2/45°+4x5/00=20+j20V=20V12Z45OV那么U=20。2VI，求R,X,X例3：2解：21LC作出电路的相量图，可见电流相量图为等腰三角形。Ucos中Ucos(-30°)=1A那么1=11=12=1A...x=-u=-io(nI2R=P=86.6Q]二50Q§9-6最大功率传输在正弦稳态电路中研究负载在什么条件下能获得最大平均功率。这类问题可以归结为个有源一端口正弦稳态电路向负载传送平均功率的问题。即4二？时，ZL可获最大平均功率P XLmaxQ不变,③IZL不变，中可变。一．RL,X可独立变化L•UI=ocZ+ZeqLLLZeq=R+jXeqeqU2—OCLLL(R+R)2+(X+X)2二f(Rl，XL)eqLeqLSP oL-=0SRLSP——L-=0SXLR=RLeqX=-XLZ=R-jX =Z—共轭匹配Leqeqeqeq此时PLmaxU2―OC4Reqz可变，中不变=lzLI/Q=|Z|cos①+j|Z|sin①zeq二z/W

eqeq=Zcos①+jZsin①eqeqeqeq%C(Zcos3+ZL Leqcos①)+j(|Zsin3+Zeq1L Leqsin①)

eqj oc(Zcos①+Zcos①)2+(Zsin①+Zeqeqeqsin①)2

eqdP八L-=0dZL—模匹配eq例1：取Z=Z=3—j4Q时可获P。PLeq max1maxU2—OC4Req100 25 二——W4x3 3取R=Z|=5。时可获PLL max。P2max5x1008025=——W<P4 1max例2：已知Z1=200+j1000QZ2=500+j1500Q要求12与U相差90，问r=?R分析：此题为一移相电路。解：JRUZZ+RZ+ZR2112UZZ+RZ+RZ令Re12」同相（反相）时，令虚部=0得R=2KQ§9-8串联电路的谐振§9-9并联谐振电路（一）教学目标1、掌握谐振的概念。2、掌握串联谐振和并联谐振的特点。3、了解频率特性的概念。4、了解品质因数的概念。（二）教学难点1、分析正弦稳态电路时要想到判断谐振。2、串联谐振和并联谐振的特点。（三）教学思路1、两节内容组合起来讲。2、首先介绍谐振的概念，然后分别讲串联谐振和并联谐振，再举例。（四）教学内容和要点§9-8§9-9正弦稳态电路的谐振一．谐振指含有R、L、C的正弦稳态电路，端口上所出现的电压与电流同相的现象。分类:RLC串联电路的谐振：用阻抗Z表示方便；GCL并联谐振：用导纳Y表示方便。

二.RLC串联谐振IRJL^TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"+ — ・ ++UR_ +UL_+ 1U U,而c 1.阻抗：Z（血）=I=R+j®L一白）■ 1|z(j3)|=r22+(3L—慈)2谐振时|Z（jw0）|=R特点1：谐振时阻抗值最小2.谐振频率：3L一 二03二一. f= 2.谐振频率：030c 0、：LC02nLC特点2：谐振频率仅与L、C有关3.特性阻抗P和品质因数Qp吗l=31crC仅与电路参数有关。0关。13CR0关。13CR0反映电路选择性能好坏的指标，也仅与电路参数有电流：R+j(3电流：R+j(3LG)U二iRmax特点3：谐振时电流值最大。推导得：P=P0max各元件的电压U=RI=UU=RI=UR0, ,coL•八，Ul0=W0L/0=J~RU=jQU• 1 •u 八・U= 1=j =—jQUC0j3C0 3CR00UL0UL0=UC0=QU大小相等,方向相反0xo=0UL0UC0UR0特点4：LC串UR0特点4：LC串联部分对外电路而言，可以短路表示可见，当Q>1时，U=U=QU>U，出现部分电压大于总电压现象。L0C0串联谐振也称“电压谐振”三.RLC串联电路的频率特性.网络函数：N（j3）合响应相量激励相量=|N(j3)/①(3)N（J3）〜3一幅频特性［r一频率特性①（3）~3 —相频特性J.阻抗的频率特性：Z(j3)=R+j(3L-A)3C①幅频特性：|Z(j3)|=R22+(3L-1—223C))23=0,|Z(j3)|f+8, 3/,|Z(j3)|\3=3,|Z(j3)|=R=|Z(j3)|TOC\o"1-5"\h\z0 0 min①/,|①/,|z(M|/,3f8,|Z(j3)|f8, 13L— 二①(3)=tg-1-3CLR八，/、兀3八，/、兀3f+8时，中(①)=一23.电流的幅频特性：幅频特性：I= L=:R2+(3L-U1（3）=—I-0R2+（3L—）21 13L31+五（R2-033C30）21+Q2（n-^1）211+Q2（^-1）2&3

n=—30〃。A03V02VQ1\谐振通用曲线LQ3一Q大，周围信号衰减快，选择性强U(3)=L3LU)U(3)=L3LU)2U(3)=C_QU\，'巾+Q2(n2-1)2UCmax四、GCL并联谐振导纳：Y(j3)=G,|Y(j3)1=G,3= 0 1o1 0lcc谐振频率：与RLC串联电路进行对偶比较电路RLC串联电路GCL并联电路阻抗(导纳)阻抗：Z(j①)-RIZ(j①)1-R0 0阻抗值最小导纳：Y(j3)-GIY(j3)I-G0 0导纳值最小，即阻抗值最大谐振频率13——0LCC13——0LCC品质因数3L 1Q――0—— R3CR0C3L iQ――9—二3CR电流(电压)电流：I -,I—TT电流值最大R0R3 1s I 土…电压：U——，U——电压值最大G0G各元件电压(电流)各元件电压U-UR0UL0-jQU，UC0--jQUUX0-0LC部分短路各元件电流••I-1R0IC0-jQI0，IC0--jQI0I-0B0LC部分断路1.电容与电感线