概率论与数理统计二

概率论与数理统计二12n nA,nA,nAA等等。iiiii12ni1(1)OP(A)1，P()1，P()0(2)若AB，则P(A)P(B)(3)P(AB)P(A)P(B)P(AB)；当AB，则P(AB)P(A)P(B)(4)P(A)1P(A)(5)P(AB)P(A)P(AB)(6)若A,A,…A两两互不相容，则P(UnA)nP(A)12nii(7)若A,A,…A相互独立，则12n例3从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求P(A),P(B)(1)无放回抽样：(2)有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次5P(A)P(A)=P(X=2)=C2()1(1)21255(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(BA)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)(其中P(AB)>0)例4箱中有两白球、三红球，A表第i次取到白球，则iP(“前两次取到白球”)=P(AA)=P(A)P(AA)=.121215410233P(“第一次取到白球，第二次取到红球”)=P(AA)=P(A)P(AA)=.=233121215410 (3)全概率公式：设B,B,…B是一完备事件组(或的一个划分)，即：BB=0，12nijiiiii=1i=1(4)Bayes公式P(B)P(AB)P(BA)=KKiii=1(1)求各批产品通过的概率；(2)求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。(i=1,2,3,4)解：(1)设事件B是恰有i个次品的一批产品(i=1,2,3,4)，则由题设iP(AB)=10iii=0(1)定义：A、B相互独立等价于P(AB)=P(A).P(B)(2)若A,A,…,A相互独立，则有P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A)n12n12n(3)有放回抽样中的诸事件是相互独立的。解：设A表第i次抽到的白球，则所求为解：设A表第i次抽到的白球，则所求为P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=..=i123123555125(4)在n重贝努利(Bernoulli)试验中，若每次试验事件A发生的概率为0，即nn例7一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为，求：(1)恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率。(1)设A：“4次射击恰命中两次”，则P(A)=P(2)=C2(0.8)2(0.2)2=0.153622440第二章随机变量及其概率分布n PXkCkkkXB(5,0.8)2(3)泊松(Poisson)分布若P(X=k)=入Ke_入,k=0,1,2,则称X服从参数入的泊松分布，且EX=入=DX，记X~k! 另外，当Y~B(n,p)，且n很大，P很小时，令入=np，则P(Y=k)如入ke_入k!则(1)P(X>2)=1_P(X=0)_P(X=1)如1_50e_5_51e_5=1_e_5_5e_5=1_6e_50!1! (2)P(X元5)如x55ke_5k!k=01221l0,x元0x)+wx)0+(0,x<1a此时，F(x)xf(u)du；f(x)F(x)f(x)0P0c,x1例7设X的概率密度为f(x)12EX，DXEX，DX212a31312a3(2)指数分布E()设X~E()，则f(x)F(x)1EX，DX2E())tF(x)xf(u)du，EX,DX2特别，当X*~N(0,1)时，称X2PXP(X*u)α*α6.简单随机变量函娄的概率分布，求YX2的概率分布。而P(Y0)P(X20)P(X0)3故Y0,y0故fY(y)1ey/2,y02y第三章多维随机变量及其概率分布(X,Y)的分布函数F(x,y)P(Xx,Yy)1yy2xijPP(Xx,Yy)0ijP1iiijij例1设(X,Y)的分布律为求(1)a?K KK(2)P(X=0)(3)P(Y元2)(5)P(X=Y)解：(1)由xxP=1知ijijij010203111213i=0j=10j010203j=112i1i2i=0i=0(4)2(5)P(X=Y)=P=0.25若X，Y相互独立，则有F(x,y)=F(x).F(y)，f(x,y)=f(x).f(y)，其中F(x),f(x)分别12121122(1)平面区域D上的均匀分布：设D的面积为S，(X,Y)服从D的均匀分布，则(X,Y)的D1DSD几(2)二维正态分布N(p,p,(2,(2,ρ)*，设(X,Y)具有该分布，则其概率密度为*1e一(x一p1)2/2(12，即X~N(p,(2)故EX=p,DX=(22几(111112222XYXYfxyfxfy2第四章随机变量的数字特征112444一w00330(|xg(xi)p(X=xi),当X为离散型Eg(X)=〈|ljg(x)f(x)dx,当X为连续型，且X具有密度f(x)*2444_wxf(x)dx=j104_wxf(x)dx=j104=5002222Y2[注]：DX=EX2_(EX)2是重要常用公式|l0,其他6000110111166121212=E(XY)-EX.EY(重点)GG121212 (G1G2)G1G2G1G2期望E(.)的重要性质(1)EC=c(常数)(2)E(CX)=CEX(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)(1)D(c)=0DcX=c2DX特别D(X)=D(-X)Y12[注]：一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关(即Cov(X,Y)0)；反之不真，即X，YxyEY4424422424ρ*ρ*XYDXDY0.750.7532122(A)X，Y独立(B)E(XY)EXEY(C)E(XY)EXEY1212解法1(排除法)：排除(A)，因X，Y独立X,Y不相关(故非充要条件)；排除BD)，由(X,Y)服从正态分布及P0知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选(C)第五章大数定律与中心极限定理nlimP(nAP)1nn12limPi1ix(x)，其中(x)为标准正态分布函数nn[注]：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时xnX近iiNxnX标准化(从而标准化后其近似分布ii ()在应用中心极限定理，大多用上式的形式P12这一式子在应用也较为常用XX,…，且都服从12Xiiii12 (i第六章统计量及其抽样分布1．设总体X~F(x),f(x)则其样本x,x,…,x相互独立，同分布F(x)，n为样本容量12n12n12ni1ni~f(x,x,…,x)=nf(x)=f(x)…f(x)12ni1ni1112n1n Gnini=1进一步的，若总体X~N(A,G2)，则X~N(A,G2)，从而U=x–A~N(0,1)nG/ni1(i1(2)样本方差S2=nnii=1nG2n(3)若总体X~N(A,G2)，则有x与s2相互独立，且G2G2it=x–A~t(n–1)*s/nY1n1m1121n–1i2m–1inimiiii=1i=12211wnmwn+m–2(1)x2分布若x2~x2(n)，则Ex2n,Dx22n，P(x2x2(n))从而P(x2x2(n))1(2)t分布t分布的密度曲线f(x)关于y轴对称，故有t(n)t(n)1例2设总体X~U(1,1)，x是容量n的样本均值，求E(x),D(x)3故Ex0，DX21/31nn3nXNx,x,…,x为其样本，则En(xx)2(n1)212ni1i2i2ii12i1i第七章参数估计本矩作为总体相应矩的估计量12nnxxnnii112nn解：因为EX=9，故9=x(矩法方程)，由此解得9ˆ=2x，即为9的矩估计2例3设总体X~B(1,P)，其中0<P<1，未知x,x,…,x为其样本，求P的矩估计12n12nLLLii1id③求导并令其等于0，建立似然方程lnL(9)=0*dd92idii2xnlnxii12n12n欲使似然函数L(9)=nnf(x;9)=1达最大，取9ˆ=x(n)即可i1 |l0,其他12