不等式与不等式组

第九章不等式与不等式组不等式不等式及其解集基础题知识点1不等式1.给出下面5个式子：①3＞0；②4x＋3y≠0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2＜3，其中不等式有(B)个个个个2.选择适当的不等号填空：(1)2＜3；(2)－eq\r(9)＞－4；(3)若a为正方形的边长，则a＞0；(4)若x≠y，则－x≠－y.3.如图，左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示下列数量关系是x＞50.4.如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y(用“＞”或“＜”填空).5.用适当的符号表示下列关系：(1)x是正数：x＞0；(2)m大于－3：m＞－3；(3)a－b是负数：a－b＜0；(4)a的eq\f(1,3)比5大：eq\f(1,3)a＞5.6.“b的eq\f(1,2)与c的和是负数”用不等式表示为eq\f(1,2)b＋c<0.知识点2不等式的解和解集7.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(A)＞－2＜－2＞2≠－28.下列说法中，错误的是(C)＝1是不等式x＜2的解B.－2是不等式2x－1＜0的一个解C.不等式－3x＞9的解集是x＝－3D.不等式x＜10的整数解有无数个9.下列各数：－2，－，0，1，6中，不等式eq\f(2,3)x>1的解有6；不等式－eq\f(2,3)x>1的解有－2，－.10.把下列不等式的解集在数轴上表示出来.(1)x＞－3；解：(2)x＞－1；解：(3)x＜3；解：(4)x<－eq\f(3,2).解：中档题与3的和的一半是负数，用不等式表示为(C)\f(1,2)x＋3>0\f(1,2)x＋3<0\f(1,2)(x＋3)<0\f(1,2)(x＋3)>012.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是(D)＞b＞0＋b＞0＋b＜013.对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[]＝1，[3]＝3，[－]＝－3.若[eq\f(x＋4,10)]＝5，则x的取值可以是(C)14.请写出满足下列条件的一个不等式.(1)0是这个不等式的一个解：x＜1；(2)－2，－1，0，1都是不等式的解：x＜2；(3)0不是这个不等式的解：x＞0；(4)与x<－1的解集相同的不等式：x＋2＜1.15.有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个两直角边相等的直角三角形构成的，图2是一个长方形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2＞ab.16.用不等式表示：(1)7x与1的差小于4；(2)x的一半比y的2倍大；(3)a的9倍与b的eq\f(1,2)的和是正数.解：(1)7x－1＜4.(2)eq\f(1,2)x＞2y.(3)9a＋eq\f(1,2)b＞0.17.直接写出下列各不等式的解集：(1)x＋1＞0；解：x＞－1.(2)3x＜6.解：x＜2.18.已知一支圆珠笔元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元.小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔.若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？解：列不等式为：＋10×＋2)＜50.19.在爆破时，如果导火索燃烧的速度是每秒钟cm，人跑开的速度是每秒钟4m，为了使点导火索的人在爆破时能够跑到100m以外的安全地区，设导火索的长为scm.(1)用不等式表示题中的数量关系；解：4×eq\f(s,＞100.(2)当导火索是下列哪个长度时，人能跑到安全地区(D)cmcmcmcm综合题20.阅读下列材料，并完成填空：你能比较20172018和20182017的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即：比较nn＋1和(n＋1)n的大小(n＞0，且n为整数).从分析n＝1，2，3，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想出结论：(1)通过计算，填“＞”或“＜”；①12＜21；②23＜32；③34＞43；④45＞54.(2)根据(1)的结果，猜想nn＋1和(n＋1)n的大小关系；(3)根据(2)中的猜想，知20172018＞20182017.解：当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n＞2，且n为整数时，nn＋1＞(n＋1)n.不等式的性质第1课时不等式的基本性质基础题知识点1不等式的性质11.若a＞b，则a－3＞b－3.(填“＞”“＜”或“＝”)2.若a－4＜b－4，则a＜b.(填“＞”“＜”或“＝”)3.已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a－2＜b－2.知识点2不等式的性质24.若a＞b，则3a＞3b；eq\f(a,5)＞eq\f(b,5)；ac2＞bc2(c为非零实数).(填“＞”“＝”或“＜”)5.如果2m＜3n，那么不等式两边同时乘eq\f(1,6)(或除以6)，可变为eq\f(1,3)m<eq\f(1,2)n.知识点3不等式的性质36.若－eq\f(1,2)a≥b，则a≤－2b，其根据是(C)A.不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变B.不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变C.不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变D.以上答案均不对7.若a＞b，am＜bm，则一定有(B)＝0＜0＞0为任何实数中档题8.若x＞y，则下列式子中错误的是(D)－3＞y－3\f(x,3)>eq\f(y,3)＋3＞y＋3D.－3x＞－3y9.(2022·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D)＞b＋2＞b＋2C.－a＜－b＞3b10.下列说法不一定成立的是(C)A.若a>b，则a＋c>b＋cB.若a＋c>b＋c，则a>bC.若a>b，则ac2>bc2D.若ac2>bc2，则a>b11.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是(B)－c＞b－c＋c＜b＋c＞bc\f(a,c)＜eq\f(c,b)12.已知关于x的不等式(1－a)x＞2的解集为x＜eq\f(2,1－a)，则a的取值范围是a＞1.13.如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为B＜A＜D＜C.14.张华在进行不等式变形时遇到不等式b＜－b，他将不等式两边同时除以b得1＜－1，这显然是不成立的，你能解释这是为什么吗？你能求出b的取值范围吗？解：∵不知道b的正负，∴将不等式两边同时除以b，不等号的方向不知道改变不改变.张华把b看成大于0，所以才得出错误的结论.不等式两边同时加上b，得2b<0.不等式两边同时除以2，得b<0.第2课时不等式的基本性质的运用基础题知识点1利用不等式的性质解不等式1.不等式x－2>1的解集是(C)>1>2>3>42.(2022·临夏)在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是(C)3.利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并写出变形的依据.(1)若x＋2016>2017，则x>1；(不等式两边同时减去2__016，不等号方向不变)(2)若2x>－eq\f(1,3)，则x>－eq\f(1,6)；(不等式两边同时除以2，不等号方向不变)(3)若－2x>－eq\f(1,3)，则x<eq\f(1,6)；(不等式两边同时除以－2，不等号方向改变)(4)若－eq\f(x,7)>－1，则x<7.(不等式两边同时乘－7，不等号方向改变)4.根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.(1)8x＞7x＋1；(2)－3x＜－4x－eq\f(3,4).解：(1)不等式两边都减7x，得x＞1.(2)不等式两边都加4x，得x＜－eq\f(3,4).知识点2不等式的简单应用5.某单位打算和一个体车主或一出租车公司签订月租合同.个体车主答应除去每月1500元租金外，每千米收1元；出租车公司规定每千米收2元，不收其他费用.设该单位每月用车x千米时，乘坐出租车划算，请写出x的取值范围.解：根据题意，得1500＋x>2x，解得x<1500.∵单位每月用车x(千米)是正数，∴x的取值范围是x＞0并且x＜1500.中档题6.若式子3x＋4的值不大于0，则x的取值范围是(D)＜－eq\f(4,3)≥eq\f(4,3)＜eq\f(4,3)≤－eq\f(4,3)7.如图是关于x的不等式2x－a≤－1的解集，则a的取值是(C)≤－1≤－2＝－1＝－28.利用不等式的性质解下列不等式.(1)5x≥3x－2；解：不等式两边同时减去3x，得2x≥－2.不等式两边同时除以2，得x≥－1.(2)8－3x＜4－x.解：不等式两边同时加上x，得8－2x＜4.不等式两边同时减去8，得－2x＜－4.不等式两边同时除以－2，得x>2.9.已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在一名体重为75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25kg重的货物？解：设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200kg，所以有75＋25x≤1200，解得x≤45.因此，升降机最多载45件25kg重的货物.综合题10.已知关于x的不等式ax＜－b的解集是x＞1，求关于y的不等式by＞a的解集.解：∵不等式ax＜－b的解集是x＞1，∴a＜0，－eq\f(b,a)＝1.∴b＝－a，b＞0.∴不等式by＞a的解集为y＞eq\f(a,b)＝－1，即不等式by＞a的解集为y＞－1.一元一次不等式第1课时一元一次不等式的解法基础题知识点一元一次不等式及其解法1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是(B)＞1－16＜4\f(1,x)<2－3＜2y－72.(2022·眉山)不等式－2x＞eq\f(1,2)的解集是(A)＜－eq\f(1,4)＜－1＞－eq\f(1,4)＞－13.(2022·吉林)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是(A)4.(2022·六盘水)不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是(D)5.不等式eq\f(x,2)－eq\f(x－1,3)≤1的解集是(A)≤4≥4≤－1≥－16.(2022·遵义)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解有(B)个个个个7.已知y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x＞eq\f(7,4)时，y1＜y2.8.解不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)5x－2≤3x；解：移项，得5x－3x≤2.合并同类项，得2x≤2.系数化为1，得x≤1.其解集在数轴上表示为：(2)2(x－1)＋5＜3x；解：去括号，得2x－2＋5＜3x.移项，得2x－3x＜2－5.合并同类项，得－x＜－3.系数化为1，得x＞3.其解集在数轴上表示为：(3)eq\f(x－2,2)≤eq\f(7－x,3).解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x).去括号，得3x－6≤14－2x.移项、合并同类项，得5x≤20.解得x≤4.其解集在数轴上表示为：9.(2022·舟山)小明解不等式eq\f(1＋x,2)－eq\f(2x＋1,3)≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.①去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.②移项，得3x－4x≤1－3－1.③合并同类项，得－x≤－3.④两边都除以－1，得x≤3.⑤解：错误的是①②⑤，正确的解答过程如下：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6.去括号，得3＋3x－4x－2≤6.移项，得3x－4x≤6－3＋2.合并同类项，得－x≤5.两边都除以－1，得x≥－5.中档题10.(2022·丽水)若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是(C)≥2＞2＜2≤211.不等式eq\f(1,3)(x－m)>2－m的解集为x＞2，则m的值为(B)\f(3,2)\f(1,2)12.要使4x－eq\f(3,2)的值不大于3x＋5，则x的最大值是(B)D.不存在13.(2022·南充)不等式eq\f(x＋1,2)>eq\f(2x＋2,3)－1的正整数解的个数是(D)14.(2022·大庆)若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为(D)15.(2022·烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作.若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是x＜8.16.解不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)2(x＋1)－1≥3x＋2；解：去括号，得2x＋2－1≥3x＋2.移项，得2x－3x≥2－2＋1.合并同类项，得－x≥1.系数化为1，得x≤－1.其解集在数轴上表示为：(2)(2022·晋江月考)3(x－1)＜4(x－eq\f(1,2))－3；解：去括号，得3x－3＜4x－2－3.移项，得3x－4x<3－2－3.合并同类项，得－x<－2.系数化为1，得x＞2.其解集在数轴上表示为：(3)eq\f(2x－1,3)－eq\f(9x＋2,6)≤1；解：去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6.去括号，得4x－2－9x－2≤6.移项，得4x－9x≤6＋2＋2.合并同类项，得－5x≤10.系数化为1，得x≥－2.其解集在数轴上表示为：(4)eq\f(x＋1,2)≥3(x－1)－4.解：去分母，得x＋1≥6(x－1)－8.去括号，得x＋1≥6x－6－8.移项，得x－6x≥－6－1－8.合并同类项，得－5x≥－15.系数化为1，得x≤3.其解集在数轴上表示为：综合题17.已知关于x的方程4(x＋2)－2＝5＋3a的解不小于方程eq\f(（3a＋1）x,3)＝eq\f(a（2x＋3）,2)的解，试求a的取值范围.解：解方程4(x＋2)－2＝5＋3a，得x＝eq\f(3a－1,4).解方程eq\f(（3a＋1）x,3)＝eq\f(a（2x＋3）,2)，得x＝eq\f(9a,2).依题意，得eq\f(3a－1,4)≥eq\f(9a,2).解得a≤－eq\f(1,15).故a的取值范围为a≤－eq\f(1,15).

第2课时一元一次不等式的应用基础题知识点1一元一次不等式的简单应用1.(2022·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元.若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买(A)个个个个2.某校举行关于“保护环境”的知识竞赛，共有25道题，答对一题得10分，答错(或不答)一题倒扣5分，小明参加本次竞赛，得分超过了100分，则他至少答对的题数是(B)3.某市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收元(不足1千米按1千米计).某人打车从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是(B)4.(2022·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了万元.这批电话手表至少有(C)块块块块5.为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球作道具，并买一些乒乓球拍作奖品，已知乒乓球每个元，球拍每个22元.如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？解：设孔明应该买x个球拍，根据题意，得×20＋22x≤200，解得x≤7eq\f(8,11).由于x取整数，故x的最大值为7.答：孔明应该买7个球拍.知识点2利用一元一次不等式设计方案6.某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案.方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？解：(1)120×＝114(元).答：实际应支付114元.(2)设购买商品的价格为x元，由题意得＋168＜，解得x>1120.答：当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算.7.某景区售出的门票分为成人票和儿童票，成人票每张100元，儿童票每张50元，若干家庭结伴到该景区旅游，成人和儿童共30人.售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售，请你帮助他们选择花费最少的购票方式.解：设参加旅游的儿童有m人，则成人有(30－m)人.根据题意，得按团体票购买时，总费用为100×80%×30＝2400(元).分别按成人票、儿童票购买时，总费用为100(30－m)＋50m＝(3000－50m)元.①若3000－50m＝2400，解得m＝12.即当儿童为12人时，两种购票方式花费相同.②若选择购买团体票花费少，则有3000－50m＞2400，解得m＜12.即当儿童少于12人时，选择购买团体票花费少.③若选择分别按成人票、儿童票购票花费少，则有3000－50m＜2400，解得m＞12.即当儿童多于12人时，选择分别按成人票、儿童票购票花费少.中档题8.(2022·雅安)“一方有难，八方支援”，雅安芦山4·20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为(C)9.(2022·牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打8折.10.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为78cm.年的5月20日是第28个全国学生营养日，某市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？信息1.快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他.2.快餐总质量为400克.3.碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍.解：设这份快餐含有x克的蛋白质，则这份快餐含有4x克的碳水化合物，根据题意，得x＋4x≤400×70%，解得x≤56.答：这份快餐最多含有56克的蛋白质.12.某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费元.假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由.解：设纸箱的个数为x，则当两种方案费用一样时，4x＝＋16000，解得x＝10000；当方案一费用低时，4x＜＋16000，解得x＜10000；当方案二费用低时，4x＞＋16000，解得x＞10000.答：当需要纸箱的个数为10000时，两种方案都可以；当需要纸箱的个数小于10000时，方案一便宜；当需要纸箱的个数大于10000时，方案二便宜.综合题13.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条.(1)若x＝30，通过计算可知方案一购买较为合算；(只填“方案一”或“方案二”，不要求解题过程)(2)当x＞20时，①该客户按方案一购买，需付款(40x＋3__200)元；(用含x的式子表示)②该客户按方案二购买，需付款(36x＋3__600)元；(用含x的式子表示)③这两种方案中，哪一种方案更省钱？解：若按方案一购买更省钱，则有40x＋3200＜36x＋3600.解得x＜100.即当买的领带数少于100时，方案一付费较少.若按方案二购买更省钱，则有40x＋3200＞36x＋3600.解得x＞100.即当买的领带数超过100时，方案二付费较少；若40x＋3200＝36x＋3600，解得x＝100.即当买100条领带时，两种方案付费一样.周周练～(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.下列各式中，是一元一次不等式的是(C)＋4＞8－1≤5\f(1,x)－3x≥02.下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D)3.(2022·六盘水)不等式3x＋6≥9的解集在数轴上表示正确的是(C)4.(2022·杭州)若x＋5＞0，则(D)＋1＜0－1＜0\f(x,5)＜－1D.－2x＜125.下列解不等式eq\f(2＋x,3)＞eq\f(2x－1,5)的过程中，出现错误的一步是(D)①去分母，得5(x＋2)＞3(2x－1)；②去括号，得5x＋10＞6x－3；③移项，得5x－6x＞－10－3；④系数化为1，得x＞13.A.①B.②C.③D.④6.设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平秤两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排列正确的是(A)＜b＜a＜c＜a＜a＜b＜a＜c7.(2022·毕节)关于x的一元一次不等式eq\f(m－2x,3)≤－2的解集为x≥4，则m的值为(D)C.－28.某射击运动员在一次比赛中(共10次射击，每次射击最多是10环)，前6次射击共中52环.如果他要打破89环的记录，那么第7次射击不能少于(D)环环环环二、填空题(每小题3分，共18分)9.用不等式表示“y的eq\f(1,2)与5的和是正数”为eq\f(1,2)y＋5＞0.10.不等式eq\f(2,3)x＋1＜eq\f(7,3)x－3的解集是x＞eq\f(12,5).11.若不等式(a－2)x＜1的两边同时除以a－2后变成x>eq\f(1,a－2)，则a的取值范围是a＜2.12.不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有3个.13.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，则她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考x分，可列不等式为40%×85＋60%x≥90.14.已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x＋y＝6a))的解满足不等式x＋y＞3，则a的取值范围是a＞1.三、解答题(共50分)15.(8分)解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来.(1)8x－1≥6x＋3；解：移项，得8x－6x≥3＋1.合并同类项，得2x≥4.系数化为1，得x≥2.其解集在数轴上表示为：(2)2x－1<eq\f(10x＋1,6).解：去分母，得12x－6＜10x＋1.移项，得12x－10x＜1＋6.合并同类项，得2x＜7.系数化为1，得x<eq\f(7,2).其解集在数轴上表示为：16.(6分)已知式子eq\f(1－3x,2)与x－2的差是负数，求x的取值范围.解：∵eq\f(1－3x,2)与x－2的差是负数，∴eq\f(1－3x,2)－(x－2)<0.解得x＞1.17.(6分)已知关于x的方程x＋m＝3(x－2)的解是正数，求m的取值范围.解：解方程x＋m＝3(x－2)，得x＝3＋eq\f(1,2)m.∵方程的解是正数，∴3＋eq\f(1,2)m＞0.∴m＞－6，即m的取值范围是m＞－6.18.(8分)已知：不等式eq\f(2－x,3)≤2＋x.(1)解该不等式，并把它的解集表示在数轴上；(2)若实数a满足a＞2，说明a是不是该不等式的解.解：(1)2－x≤3(2＋x)，2－x≤6＋3x，－4x≤4，x≥－1.解集表示在数轴上如下：(2)∵a＞2，不等式的解集为x≥－1，而2＞－1，∴a是该不等式的解.19.(10分)(2022·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格.(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？解：(1)设甲队胜了x场，则负了(10－x)场，根据题意，得2x＋10－x＝18，解得x＝8.则10－x＝2.答：甲队胜了8场，负了2场.(2)设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意，得2a＋(10－a)＞15，解得a＞5.答：乙队在初赛阶段至少要胜6场.20.(12分)某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务.甲厂的优惠条件是：按每份定价元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价元的价格不变，而制版费900元六折优惠.且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份.如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选择哪个厂？需要多少费用？解：设印刷数量为x份，则当＋900＝＋540，此时x＝1200.∴当印刷数量为1200份时，两个印刷厂费用一样，二者任选其一.当＋900＜＋540，此时x＞1200.∴当印刷数量大于1200份时，选择甲印刷厂费用少，比较合算.当＋900＞＋540，此时500≤x＜1200.∴当印刷数量大于或等于500且小于1200份时，选择乙印刷厂费用少，比较合算.当印制2000份时，选择甲印刷厂比较合算，所需费用为×2000＋900＝3300(元).∴如果要印制2000份录取通知书，应选择甲印刷厂，需要3300元.一元一次不等式组基础题知识点1一元一次不等式组1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是(A)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2,x<－3))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,y－2<0))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2>0,（x－2）（x＋3）>0))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2>0,x＋1>\f(1,x)))知识点2解一元一次不等式组2.如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是(D)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2,x＞－3))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2,x＜－3))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2,x＜－3))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2,x＞－3))3.下列四个数中，为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－6<0，,3＋x>3))的解的是(C)A.－14.(2022·湖州)一元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＞x－1，,\f(1,2)x≤1))的解集是(C)＞－1≤2C.－1＜x≤2＞－1或x≤25.(2022·德州)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋9≥3，,\f(1＋2x,3)＞x－1))的解集是(B)≥－3B.－3≤x＜4C.－3≤x＜2＞46.(2022·自贡)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞2，,3x－4≤2))的解集表示在数轴上正确的是(C)7.(2022·襄阳)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞x＋1，,x＋8≥4x－1))的解集为2＜x≤3.8.(2022·天津)解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥2，①,5x≤4x＋3.②))请结合题意填空，完成本题的解答.(1)解不等式①，得x≥1；(2)解不等式②，得x≤3；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为1≤x≤3.9.解不等式组：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3<1，①,4x－4≥x＋2；②))解：解不等式①，得x＜4.解不等式②，得x≥2.∴不等式组的解集为2≤x＜4.(2)(2022·郴州)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，①,3（x－1）<2x.②))解：解不等式①，得x＞1.解不等式②，得x＜3.∴不等式组的解集是1＜x＜3.知识点3一元一次不等式组的运用10.已知点P(3－m，m－1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(A)11.已知不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＜2a，,x－b＞1))的解集是2＜x＜3，则a＝2，b＝1.中档题12.一元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0，,x－5≤0))的解集中，整数解的个数是(C)13.(2022·鄂州)对于不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－6≤1－\f(5,3)x，,3（x－1）＜5x－1，))下列说法正确的是(A)A.此不等式组的正整数解为1，2，3B.此不等式组的解集为－1＜x≤eq\f(7,6)C.此不等式组有5个整数解D.此不等式组无解14.如果不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1>3（x－1），,x<m))的解集是x＜2，那么m的取值范围是(D)＝2＞2＜2≥215.若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a≥0，,1－2x>x－2))无解，则实数a的取值范围是(D)≥－1＜－1≤1≤－116.(2022·绵阳)在关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝m＋7，,x＋2y＝8－m))中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为(C)17.解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来.(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（x＋2）>x＋8，①,\f(x,4)≥\f(x－1,3)；②))解：解不等式①，得x＞1.解不等式②，得x≤4.∴这个不等式组的解集是1＜x≤4.其解集在数轴上表示为：(2)(2022·仙桃)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋1＞3（x－1），①,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x.②))解：解不等式①，得x＞－2.解不等式②，得x≤4.则不等式组的解集为－2＜x≤4.将解集表示在数轴上如下：18.解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5≤3（x＋2），①,2x－\f(1＋3x,2)<1，②))把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.解：解不等式①，得x≥－1.解不等式②，得x＜3.∴原不等式组的解集是－1≤x＜3.其解集在数轴上表示如下：∴不等式组的非负整数解为0，1，2.综合题19.(2022·黄石)已知关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋1＞3（x－1），,\f(1,2)x≤8－\f(3,2)x＋2a))恰好有两个整数解，求实数a的取值范围.解：解不等式5x＋1＞3(x－1)，得x＞－2.解不等式eq\f(1,2)x≤8－eq\f(3,2)x＋2a，得x≤4＋a.则不等式组的解集是－2＜x≤4＋a.不等式组只有两个整数解，是－1和0.根据题意，得0≤4＋a＜1.解得－4≤a＜－3.小专题(六)解一元一次不等式(组)类型1解一元一次不等式1.解不等式：eq\f(x,3)>1－eq\f(x－3,6).解：去分母，得2x＞6－(x－3).去括号，得2x＞6－x＋3.移项、合并同类项，得3x＞9.系数化为1，得x＞3.2.解不等式2(x＋1)＜3x，并把解集在数轴上表示出来.解：去括号，得2x＋2＜3x.移项、合并同类项，得－x＜－2.系数化为1，得x＞2.其解集在数轴上表示为：3.解不等式eq\f(15－3x,2)≥7－x，并把它的解集在数轴上表示出来.解：去分母，得15－3x≥2(7－x).去括号，得15－3x≥14－2x.移项，得－3x＋2x≥14－15.合并同类项，得－x≥－1.系数化为1，得x≤1.其解集在数轴上表示为：4.解不等式eq\f(2x－1,3)－eq\f(9x＋2,6)≤1，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解.解：去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6.去括号，得4x－2－9x－2≤6.移项，得4x－9x≤6＋2＋2.合并同类项，得－5x≤10.系数化为1，得x≥－2.将不等式解集表示在数轴上如图：由数轴可知该不等式的负整数解为－2，－1.类型2解一元一次不等式组5.解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1>3，①,2＋2x≥1＋x.②))解：解不等式①，得x>2.解不等式②，得x≥－1.∴不等式组的解集为x>2.6.解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>2x，①,\f(1,2)x＋3<－1.②))解：解不等式①，得x＜－1.解不等式②，得x＜－8.∴不等式组的解集为x＜－8.7.解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2（x－1）≤7，①,\f(1＋2x,3)＋1＞x，②))并把它的解集在数轴上表示出来.解：解不等式①，得x≥－2.解不等式②，得x＜4.所以原不等式组的解集是－2≤x＜4.在数轴上表示如图：8.解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋2）≤x＋3，①,\f(x,3)<\f(x＋1,4)，②))并把它的解集表示在数轴上.解：解不等式①，得x≤－1.解不等式②，得x＜3.∴不等式组的解集是x≤－1.不等式组的解集在数轴上表示为：9.解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3x≥2x－8，①,\f(2－x,3)－2＜\f(x－1,2)②，))把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解.解：解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x＞－1.所以，不等式组的解集是－1＜x≤2.其解集在数轴上表示如图：则不等式组的整数解为0，1，2.类型3解含字母系数的不等式(组)10.若关于x的不等式x－m＞0恰有两个负整数解，则m的取值范围是(B)A.－3＜m＜－2B.－3≤m＜－2C.－3≤m≤－2D.－3＜m≤－211.(2022·金华)若关于x的一元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞3（x－2），,x＜m))的解是x＜5，则m的取值范围是(A)≥5＞5≤5＜512.(2022·恩施)如果关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－m＜0，,3x－1＞2（x－1）))无解，那么m的取值范围为(A)≤－1＜－1C.－1＜m≤0D.－1≤m＜013.(2022·百色)若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,2x＋3a＞0))的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是(B)\f(2,3)14.若关于x的一元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2m＜0，,x＋m＞2))有解，则m的取值范围为m＞eq\f(2,3).15.若关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝－3m＋2，,x＋2y＝4))的解满足x＋y>－eq\f(3,2)，求出满足条件的m的所有正整数值.解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝－3m＋2，①,x＋2y＝4.②))①＋②，得3(x＋y)＝－3m＋6，∴x＋y＝－m＋2.∵x＋y>－eq\f(3,2)，∴－m＋2>－eq\f(3,2).∴m<eq\f(7,2).∵m为正整数，∴m＝1，2或3.16.已知：2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围.解：由2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，可得a＝eq\f(3x－1,2)，b＝eq\f(2x＋16,3).∵a≤4＜b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3x－1,2)≤4，①,\f(2x＋16,3)>4.②))解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＞－2.∴x的取值范围是－2＜x≤3.章末复习(五)不等式与不等式组基础题知识点1不等式及解集的概念1.下列数学表达式：①－8＜0；②4a＋3b＞0；③a＝3；④a＋2＞b＋3中，不等式有(C)个个个个2.下列说法正确的是(A)＝4是不等式2x＞－8的一个解＝－4是不等式2x＞－8的解集C.不等式2x＞－8的解集是x＞4D.不等式2x＞－8的解集是x＜－4知识点2不