高中数学8.2立体图形的直观图(单元教学设计)

8.2立体图形的直观图一、内容和内容解析1．内容人教版普通高中教科书数学必修第二册第107页至第112页8．2立体图形的直观图．其中重点利用斜二测画法画水平放置的几种特殊多边形的直观图，介绍利用椭圆模板画水平放置的圆的直观图以及画空间几何体的直观图．2．内容解析（1）在初中九年级下册“投影与视图”中，学生学习了平行投影与中心投影以及三视图等相关知识，为画立体图形的直观图奠定了基础．立体图形的直观图，本质是用二维（平面）图形表达三维（立体）图形的问题．根据某种特殊的平行投影所画出的直观图，既保持了空间图形的直观性，又能较好地反映空间图形的几何特征．（2）高一阶段，学习立体图形的直观图，会对平行投影有更加理性的认识．斜二测画法的依据是一种特定的平行投影，其投影结果使空间的纵向（前后）线段在平面（投影面）上倾斜45°且长度为原来的一半．用斜二测画法画出的立体的直观图也接近于人眼观察结果，具有较好的立体感和真实感．掌握斜二测画法有利于提升识图、作图水平，为进一步学习空间几何体奠定了基础．斜二测画法的核心是空间纵向线段的画法，体现在“水平放置的平面图形的直观图”中，画出的两条轴起了重要作用．立体图形的直观图涉及空间的横向、纵向和竖向三个维度．由于斜二测画法和正等测画法竖向线段的方向和长度都不变，因此解决了水平放置的平面图形的直观图的画法，也就解决了几何体底面的画法．因而水平放置的平面图形的画法，是画空间几何体的直观图的基础和关键．（3）画直观图的过程，也是空间想象的过程．如果能规范地画出一个几何体的直观图，说明对这个几何体的结构特征和基本元素的空间关系有了比较清晰的认识．面对的是二维的直观图，看到的是三维的空间图形，这就是立体感．看直观图有立体感，这是空间想象的基础．因此，本节课的教学重点利用斜二测画法画水平放置的多边形的直观图．难点是养成规范画图的习惯和技能．二、目标和目标解析1．目标（1）能运用斜二测画法画出水平放置的多边形的直观图，会用椭圆模板画水平放置的圆的直观图，在此基础上画出立体图形的直观图．在画图过程中．养成规范画图的习惯和技能，逐步形成空间向平面转化的能力．（2）能根据简单的直观图，还原出原来的几何图形，并说明这个几何图形的结构特征和基本元素的位置关系，并在此过程中，训练逆向思维能力．2．目标解析（1）通过观察“矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子”等现象，获得平行投影的直观感受，进而形成斜二测画法规则，是感性认识上升到理性认识的过程；这种经历从现象到理论的抽象过程，体验研究几何体的方法，提升数学抽象素养．（2）画水平放置的正方形、正六边形的直观图，可以完整地体现斜二测画法过程和步骤，对斜二测画法中所取的两条轴的作用能有更好的理解，明确画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．在掌握了画图的基本步骤和规范的前提下，以后画立体图形的直观图，尺寸便可以适当选取，斜二测画法的角度也可以自定，只要图形有立体感，并能反映立体图形的结构特征就行．（3）画几何体的直观图，只需在已有水平面内的x轴、y轴基础上，增加一个竖向的z轴就能解决问题，这也类似于建立空间直角坐标系确定点的位置．长方体是最典型的空间几何体，画长方体的直观图（教科书例2），可以较完整地呈现斜二测画法画立体图形的直观图的过程，并突出空间的三个维度．长方体的直观图画法也可以迁移到直棱柱直观图的画法．画圆柱和圆锥的直观图（教科书例3），仍然要先用轴来定位．其中，将底面椭圆的长轴取为横向、长度等于底面直径；而借助旋转体的轴则可以省去z轴，实际是利用了旋转体的高．画球的直观图，要注意画出经过球心的截面圆（大圆），以衬托出立体感．（4）画组合体的直观图，需要先分析组合体的结构特征，知道这个组合体由什么基本几何体组成，如何组合，然后按“取轴、定点、成图”基本步骤完成画图．（5）画直观图的过程，也是空间想象的过程．如果学生能规范地画出一个几何体的直观图，说明学生对这个几何体的结构特征和基本元素的空间关系有了比较清晰的认识．面对的是二维的直观图，看到的是三维的空间图形，这就是立体感．看直观图有立体感，这是空间想象的基础．三、教学问题诊断分析（1）初中阶段，学生对平行投影与中心投影有了一定的感性认识，并会根据特殊的平行投影画一些常见的几何体（柱体、锥体、球体等）的三视图；初中学生还学习了直线、一些特殊多边形（如正三角形、长方形等）与圆的相关知识；在8.1节基本立体图形中，高一学生学习了基本立体图形，初步理解了棱柱、棱锥、棱台等多面体以及圆柱、圆锥、圆台与球等旋转体的空间结构特征．所有这些，都为学生画立体图形的直观图奠定了知识基础．（2）学习了一个学期高中数学，高一学生的模仿能力、画图能力及表现欲望都很强，但对立体几何的学习还不是很适应，需要加强主动学习的指导．四、教学支持条件分析学生需要准备一块“椭圆模板”，电脑中安装了“几何画板”的画图软件，投影仪．五、教学过程设计1．复习平行投影，提升理性思维问题1

（1）如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？学生：是平行四边形．（2）为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？预设学生回答：在平行投影下，当图中的直线或线段不平行于投影线时，投影的结果仍然是直线或线段；平行直线的投影的结果可能平行或重合；与投影面平行的线段的投影与原线段平行且相等；与投影面平行的几何图形的投影与原图形全等．教师补充：一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关．如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，那么矩形的平行投影是一个平行四边形．设计意图：引导学生利用平行投影的概念及平行投影的“变”或“不变”性质来研究自然现象，促使学生的思维由感性向理性转化，为学习斜二测画法奠定理论基础．2．建立直观图概念，理解斜二测画法规则的合理性问题2

什么是立体图形的直观图？（1）提供一些几何体的直观图（如图）让学生观察,这些分别是什么几何体？（2）正方体的每个面都正方形，画图时，能都画成正方形吗？（3）如图，正方体的底面画成了什么图形？能将这些画法总结成规则吗？教师：上一节，我们认识了柱体、锥体、台体、球体以及简单组合体的结构特征．为了将这些空间几何体画在纸或平面上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识．教师：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．画立体图形的直观图，实际上是不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点来表示．因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同．教师：从前面自然现象及上述给出的几何体的直观图，可以发现：在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形．追问1：上图中正方体的底面正方形的直观图有什么特点（与原正方形比较）？怎样形象地画水平放置的平面图形的直观图？教师：利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法可以形象地画水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法的步骤如下：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O；画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴或y′轴的线段．（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．追问2:

画水平放置平面图形直观图的斜二测画法，体现了哪些平行投影的性质？学生：在平行投影下，当图中的直线或线段不平行于投影线时，投影的结果仍然是直线或线段；平行直线的投影的结果可能平行或重合，与投影面平行的线段的投影与原线段平行且相等，与投影面平行的几何图形的投影与原图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长的比等于这两条线段长的比．设计意图：通过观察一些空间几何体的直观图，让学生感受到它们的直观性；通过师生交流，建立空间几何体的直观图概念及画水平放置的平面图形的直观图斜二测画法．3．讲解典型例题，熟悉斜二测画法规则问题3

怎样用斜二测画法，画水平放置的正六边形的直观图？例1

用斜二测画法，画水平放置的正六边形的直观图．请两个学生到板演，学生甲使用∠x′O′y′=45°，学生乙使用∠x′O′y′=135°，其他学生自由选择方式在纸上画，然后选择一些学生的作品用投影仪展示．最后师生共同总结步骤（用投影配合板书画法）及注意事项．画法：（1）建立平面直角坐标系：在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O．教师：（流动观察时，对遇到画图困难的学生进行适当指导）在原图中，充分考虑图形的特征，恰当地建立平面直角坐标系，可以简化一些作图步骤，比如充分利用图形的轴对称与中心对称特征，又比如尽量让多一些特征点在坐标轴上等等；当然建坐标系的方法不是唯一的（这一点刚才同学们的展示可以印证）．追问3:怎样画多面体的直观图？比如画出长方体的直观图．教师：观察长方体，可以在水平放置的长方形的基础上，多画一个与x轴和y轴都垂直的z轴，相应地，在水平放置的长方形直观图的基础上，多画一个与x′轴垂直的z′轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变即可．例2

已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图．教师：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．请学生在纸上画图，随后利用投影仪展示一个同学的作业，并请该同学说明画法．画法：（1）画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O（A），且使∠xOy=45°(或135°)，∠xOz=90°．（2）画底面：在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm．过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.（3）画侧棱：在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′=1.5cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB′，CC′，DD′．（4）成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分线段改为虚线），便得到长方体的直观图了．追问4：画水平放置的多边形或多面体的直观图的关键是确定多边形或多面体顶点的位置．怎样用斜二测画法，画出下图中水平放置的斜线段EF的直观图？先生后师共同完成（如下图）．设计意图：通过画图，让学生体会斜二测画法的规律性：横竖不变，纵减半，平行性不变．4．巩固练习，养成规范画图的习惯和技能问题4

如何画水平放置的正五边形、正五棱柱、正五棱锥的直观图？追问5：已知画水平放置的平面图形的直观图，如何还原为原平面图形？教师：展示一些学生练习，教师及时讲评．斜二测画法的规律性：横竖不变，纵减半，平行性不变；逆用斜二测画法的规律性：横竖不变，纵增倍，平行性不变．设计意图：让全体学生参与，及时巩固；培养顺、逆向思维能力．追问6：我们会利用斜二测画法画水平放置的多边形的直观图，但怎样画圆的直观图呢？怎样画圆柱、圆锥、球等旋转体的直观图呢？教师：我们也可以利用斜二测画法画出圆的直观图，但立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图（有兴趣的同学还可以课后去了解）．这里介绍利用椭圆模板的画法．请同学们利用椭圆模板画出圆的直观图，在此基础上类似用斜二测画法画多面体的直观图，画出圆柱的直观图．师生活动：现在我们先想象一下画圆锥、球直观图的思路，然后在作业纸上画图，再利用投影仪展示一两个同学的作业，最后老师总结画法．圆锥的直观图的画法：一般先利用椭圆模板画出圆锥的底面直观图（椭圆），再借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（如图）．球的直观图的画法：一般画出球的轮廓线（圆），同时一般还画出经过球心的两个截面（水平方向与竖直方向）（以椭圆形式呈现），用于衬托球的立体感（如图）．例3

某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．（1）请同学们想象一下这个几何体的形状，现实生活中有这种形状的实物呢？（2）请同学们画出这个几何体的直观图．（3）总结画组合体的直观图大致思路．总结画法：1．先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到该几何体的直观图（如图）．2．画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．设计意图：多让学生画一些常见旋转体的直观图，培养学生的随手画图的技能，养成通过画图来表达几何体的结构特征，提升学生的直观想象素养．5．归纳小结，提升能力问题5

利用斜二测画法画水平放置的多边形的直观图，关键是什么？你有什么感想？教师：评价同学们的发言，然后总结．利用斜二测画法画水平放置的多边形的直观图，除了按步骤作图外，比较关键的地方有两点：一是充分利用图形的对称性等特征建立平面直角坐标系，尽量多一些点在坐标轴上；二是考虑多边形顶点与坐标轴的相对位置，确定直观图多边形的顶点．学习立体几何，画好图很重要；画出美观的直观图对学习美术、建筑、平面设计也很重要；做任何事情既要按规则行事，又要灵活创新．设计意图：通过归纳小结，学生将经验转化为能力，升华了一些生活感悟；另外留点问题，可以发挥学生自主学习的空间．6．布置作业1．一个菱形的边长为4cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图；并计算直观图的面积与原菱形面积之比．2．用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形，得到的直观图是一个菱形，这个菱形的边长为4cm，一个内角为60°，较长的对角线成横向．请画出原来的平面图形，并计算直观图的面积与原菱形面积之比．3．用斜二测画法画出一个正六棱柱与一个正六棱锥的直观图．4．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心.画出这个组合体的直观图．5．思考题（供有兴趣的同学思考）：如图1平面直角坐标系xOy中，水平放置的直角三角形AOB，OA⊥OB，OA=a，OB=b，点A，B分别在第一、第二象限．（1）在图2中用斜二测画法画出直角三角形AOB的直观图，求出直观图的面积与原图形面积之比.与题1题2比较，你能建立什么猜想吗？（2）直角三角形AOB的直观图可能为直角三角形吗？设计意图：通过作业第1题、第2题，巩固学生正反两方面使用斜二测画法的画图技能；供有兴趣的同学思考的问题，目的为了提供学生研究数学的机会，提升综合能力，为高校自主招生作准备．六、目标检测设计1．作出水平放置的直角梯形ABCD的直观图，不必写画法.2．已知斜二测画法得到的直观图△A′B′C′是正三角形，画出原三角形的图形．3．已知正△A