普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3含解析)

2018年一般高等学校招生全国一致考试数学试题理（全国卷3）注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名和准考据号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.已知会合

，

，则A.

B.

C.

D.【答案】C【分析】剖析：由题意先解出会合A,从而获得结果。详解：由会合A得,所以故答案选C.点睛：此题主要观察交集的运算，属于基础题。2.A.B.C.D.【答案】D【分析】剖析：由复数的乘法运算睁开即可。详解：应选D.点睛：此题主要观察复数的四则运算，属于基础题。中国古建筑借助榫卯将木构件连结起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右侧的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图能够是【答案】A【分析】剖析：察看图形可得。详解：观擦图形图可知，俯视图为故答案为A.点睛：此题主要考擦空间几何体的三视图，观察学生的空间想象能力，属于基础题。4.若，则A.B.C.D.【答案】B【分析】剖析：由公式可得。详解：故答案为B.点睛：此题主要观察二倍角公式，属于基础题。5.的睁开式中的系数为【答案】C【分析】剖析：写出，而后可得结果详解：由题可得2令,则所以应选C.点睛：此题主要观察二项式定理，属于基础题。6.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【分析】剖析：先求出A，B两点坐标获得再计算圆心到直线距离，获得点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：此题主要观察直线与圆，观察了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。7.函数的图像大概为3【答案】D【分析】剖析：由特别值清除即可详解：当时，，清除A,B.,当时，,清除C故正确答案选D.点睛：此题观察函数的图像，观察了特别值清除法，导数与函数图像的关系，属于中档题。8.某集体中的每位成员使用挪动支付的概率都为，各成员的支付方式互相独立，设为该集体的10位成员中使用挪动支付的人数，，，则【答案】B【分析】剖析：判断出为二项散布，利用公式进行计算即可。或，可知4故答案选B.点睛：此题主要观察二项散布有关知识，属于中档题。9.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A.B.C.D.【答案】C【分析】剖析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以应选C.点睛：此题主要观察解三角形，观察了三角形的面积公式和余弦定理。10.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A.B.C.D.【答案】B【分析】剖析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，而后进行计算可得。详解：以下图，5点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的重心中，有应选B.点睛：此题主要观察三棱锥的外接球，观察了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很重点，由M为三角形ABC的重心，计算获得，再由勾股定理获得OM，从而获得结果，属于较难题型。11.设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A.B.2C.D.【答案】C【分析】剖析：由双曲线性质获得，而后在和在中利用余弦定理可得。详解：由题可知在中，在中,6应选C.点睛：此题主要观察双曲线的有关知识，观察了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。12.设，，则A.B.C.D.【答案】B详解：.即又即应选B.点睛：此题主要观察对数的运算和不等式，属于中档题。二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13.已知向量，，．若，则________．【答案】【分析】剖析：由两向量共线的坐标关系计算即可。详解：由题可得即故答案为点睛：此题主要观察向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。714.曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【分析】剖析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解：则所以故答案为-3.点睛：此题主要观察导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。15.函数在的零点个数为________．【答案】【分析】剖析：求出的范围，再由函数值为零，获得的取值可得零点个数。详解：由题可知，或解得,或故有3个零点。点睛：此题主要观察三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。16.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【分析】剖析：利用点差法进行计算即可。详解：设则所以所以8取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.点睛：此题主要观察直线与抛物线的地点关系，观察了抛物线的性质，设，利用点差法获得，取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质获得，从而获得斜率。三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或（2）【分析】剖析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．9若，则．由得，解得．综上，．点睛：此题主要观察等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。某工厂为提升生产效率，睁开技术创新活动，提出了达成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选用40名工人，将他们随机分红两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．依据工人达成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了以下茎叶图：（1）依据茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高？并说明原因；（2）求40名工人达成生产任务所需时间的中位数，并将达成生产任务所需时间超出和不超出的工人数填入下边的列联表：超出不超出第一种生产方式第二种生产方式（3）依据（2）中的列联表，可否有99%的掌握以为两种生产方式的效率有差别？附：，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高.原因看法析2）803）能【分析】剖析：（1）计算两种生产方式的均匀时间即可。102）计算出中位数，再由茎叶图数据达成列联表。3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。详解：（1）第二种生产方式的效率更高.原因以下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人达成生产任务所需时间起码80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人达成生产任务所需时间至多79分钟.所以第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.所以第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间低于80分钟，所以第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间散布在茎8上的最多，对于茎8大致呈对称散布；用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间散布在茎7上的最多，对于茎7大概呈对称散布，又用两种生产方式的工人达成生产任务所需时间散布的区间同样，故能够以为用第二种生产方式达成生产任务所需的时间比用第一种生产方式达成生产任务所需的时间更少，所以第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种原因，考生答出此中随意一种或其余合理原因均可得分.（2）由茎叶图知.列联表以下：超出不超出第一种生产方式155第二种生产方式515（3）因为，所以有99%的掌握以为两种生产方式的效率有差别.点睛：此题主要观察了茎叶图和独立性查验，观察学生的计算能力和剖析问题的能力，切近生活。19.如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．11【答案】（1）看法析（2）【分析】剖析：（1）先证平面CMD,得,再证，从而达成证明。（2）先成立空间直角坐标系，而后判断出的地点，求出平面和平面的法向量，从而求得平面与平面所成二面角的正弦值。详解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故⊥.BCDM因为为上异于，D的点,且为直径，所以⊥.MCDCDMCM又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,成立以下图的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,所以，12，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.点睛：此题主要观察面面垂直的证明，利用线线垂直获得线面垂直，再获得面面垂直，第二问主要观察成立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，观察数形联合，将几何问题转变为代数问题进行求解，观察学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题。20.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【分析】剖析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。（2）解出m,从而求出点P的坐标，获得,再由两点间距离公式表示出，获得直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.13又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.21.已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）看法析（2）【分析】剖析：（1）求导，利用函数单一性证明即可。（2）分类议论和,结构函数,议论的性质即可获得a的范围。详解：（1）当时，，.14设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单一递加.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.因为当时，，故与符号同样.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..假如，则当，且时，，故不是的极大值点.假如，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.假如，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：此题观察函数与导数的综合应用，利用函数的单一性求出最值证明不等式，第二问分类议论和,当时结构函数时重点，议论函数的性质，此题难度较大。（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；152）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【分析】剖析：（1）由圆与直线订交，圆心到直线距离可得。（2）联立方程，由根与系数的关系求解详解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，知足．于是，．又点的坐标知足所以点的轨迹的参数方程是为参